2017河北中考数学3.4反比例函数的图象及性质教材知识梳理

第四节　反比例函数的图象及性质
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
26(1)
反比例函数的解析式的确定
在压轴综合题中以反比例函数二次函数为背景综合考查
3
3
2015
10
实际问题中反比例函数图象的判断
实际问题以印刷书本数量和使用时间成比例关系
3
3
2014
14
反比例函数的图象及性质
新定义分段函数，由所给数值判断满足所得解析式的函数图象
3
3
2013
10
反比例函数的图象及性质
以判断所给结论是否正确的设问形式考查反比例函数的图象及性质
3
3
2012
22(1)
反比例函数图象及性质
反比例函数与一次函数、平行四边形结合，(1)利用平行四边形的性质，求反比例函数的解析式
3
3
2011
12
反比例函数的性质及几何意义
程序图、反比例函数与三角形结合，利用反比例函数的性质及k的几何意义判断所给结论的正确性
3
3
2010
22(2)
反比例函数的图象及性质
反比例函数与一次函数、矩形结合，(2)根据定点求反比例函数的解析式，判断某点是否在图象上
3
3
2009
6
反比例函数的图象及性质
已知反比例函数解析式及图象判断增减性
2
2
命题规律
反比例函数在中考中一般设置1道题，分值为2—3分，主要在选择题或解答题中考查，纵观近8年河北中考题可以看出，一般有如下类型：(1)反比例函数解析式的确定，在解答题中考查了3次；(2)反比例函数图象的分析与判断，在选择题中考查了3次；(3)反比例函数图象与性质的相关计算，在选择题中考查了2次，在填空题中考查了1次，解答题中考查了1次．
命题预测
预计2017年中考的考查会以反比例函数图象及性质的相关计算为主要考查内容.
,河北8年中考真题及模拟)
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点.TIF"
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　反比例函数的图象及性质(8次)
1．(2009河北6题2分)反比例函数y＝(x＞0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值(　B　)
A．增大　　　　　B．减小
C．不变
D．先减小后增大
2．(2014河北14题3分)定义新运算：a b＝例如：4 5＝，4 (－5)＝.则函数y＝2 x(x≠0)的图象大致是(　D　)
,A)　,B)　,C)　,D)
3．(2013河北10题3分)反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：
①常数m＜－1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；④若P(x，y)在图象上，则P′(－x，－y)也在图象上．其中正确的是(　C　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
4．(2015河北10题3分)一台印刷机每年印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20，则y与x的函数图象大致是(　C　)
,A)
,B)
,C)
,D)
5．(2011河北12题3分)根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②.若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ，则以下结论：
①x＜0时，y＝；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ＝2PM；⑤∠POQ可以等于90°.
其中正确的结论是(　B　)
A．①②④
B．②④⑤
C．③④⑤
D．②③⑤
6．(2016石家庄二十八中模拟)反比例函数y＝的图象在(　B　)
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、三象限
D．第二、四象限
7．(2016沧州八中模拟)下列说法中不正确的是(　D　)
A．函数y＝2x的图象经过原点
B．函数y＝的图象位于第一、三象限
C．函数y＝3x－1的图象不经过第二象限
D．函数y＝－的值随x的值的增大而增大
8．(2016保定模拟)在反比例函数y＝中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝mx2＋mx的图象大致是(　A　)
,A)
,B)
,C)
,D)
9．(2016衡阳四中模拟)如图，函数y＝－x的图象是二、四象限的角平分线，将y＝－x的图象以点O为中心旋转90°与函数y＝的图象交于点A，再将y＝－x的图象向右平移至点A，与x轴交于点B，则点B的坐标为__(2，0)__．
(第9题图)
　　　(第10题图)
10．(2016唐山九中模拟)如图，点A是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，C，矩形ABOC的面积为4，则k＝__－4__．
11．(2010河北22题8分)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(4，2)．过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB，BC交于点M，N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
(3)若反比例函数y＝(x＞0)的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
解：(1)y＝－x＋3；M(2，2)；
(2)y＝，点N在函数y＝的图象上；
(3)4≤m≤8.
12．(2012河北22题8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图象一定过点C；
(3)对于一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)，当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围(不必写过程)．
解：(1)y＝；
(2)当x＝3时，y＝3k＋3－3k＝3.
∴图象一定过点C；
(3)设点P的横坐标为a，则＜a＜3.
,中考考点清单)
INCLUDEPICTURE"考点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点1.TIF"
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　反比例函数的概念
1．一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示成①__y＝__(k是常数，且k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数，k称为比例函数．
INCLUDEPICTURE"考点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点2.TIF"
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　反比例函数的图象和性质
2．函数图象
解析式
y＝(k≠0，k为常数)
k
k＞0
k＜0
图象
3.函数的图象性质
函数
系数
所在象限
增减性质
对称性
y＝(k≠0)
k＞0
第一、三象限(x，y同号)
在每个象限内y随x的②增大而减小
关于③y＝－x对称
k＜0
第二、四象限(x，y异号)
在每个象限内y随x的④增大而增大
关于⑤y＝x对称
　　4.k的几何意义
k的几何意义
设P(x，y)是反比例函数y＝图象上任一点，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|　
【方法技巧】反比例函数与一次函数、几何图形结合
(1)反比例函数与一次函数图象的综合应用的四个方面：
A．探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法．
B．探求两函数解析式常利用两函数的图象的交点坐标．
C．探求两图象中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法．
D．两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图象上、下位置关系，从而写出函数值的大小．
(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．
INCLUDEPICTURE"考点3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点3.TIF"
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　反比例函数解析式的确定
5．步骤
(1)设所求的反比例函数为y＝(k≠0)；
(2)根据已知条件列出含k的方程；
(3)由代入法解待定系数k的值；
(4)把k代入函数解析式y＝中．
6．求解析式的两种途径
求反比例函数的解析式，主要有两条途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x，y具有反比例关系y＝(x≠0)的前提下，根据一对x，y的值，列出一个关于k的方程，求得k的值，确定出函数的解析式．
INCLUDEPICTURE"考点4.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点4.TIF"
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　反比例函数的应用
利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的解析式y＝(k≠0)，再由已知条件确定解析式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数解析式．
,中考重难点突破)
INCLUDEPICTURE"类型1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型1.TIF"
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　反比例函数的图象及性质
【例1】(1)(2016黔东南中考)若ab<0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系的大致图象可能是(　　)
,A)　　　　　　　　,B)
,C)
,D)
(2)(2016安顺中考)如果点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)都在反比例函数y＝(k>0)的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A．y1C．y1D．y3【学生解答】(1)B；(2)B
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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1．(2016遵义中考)已知点A(－2，y1)，B(3，y2)是反比例函数y＝(k<0)图象上的两点，则有(　B　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．y1<0B．y2<0C．y1D．y22．(2016保定博野模拟)已知A(－1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是(　D　)
A．m＞0
B．m＜0
C．m＞－
D．m＜－
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x－1与函数y＝的图象可能是(　C　)
,A)
,B)
,C)
,D)
INCLUDEPICTURE"类型2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型2.TIF"
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　反比例函数k的几何意义
【例2】(2016铁岭中考)如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝(k≠0)上，AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为点D，C.若矩形ABCD的面积是8，则k的值为(　　)
A．12
B．10
C．8
D．6
【学生解答】A
【点拨】由k的几何意义→点A，B对应矩形AEOD，BEOC的面积→k值．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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4．(2016河南中考)如图，直线y＝kx与双曲线y＝(x>0)交于点A(1，a)，则k＝__2__．
(第4题图)
　　　(第5题图)
5．(2016深圳中考)如图，已知点A在反比例函数y＝(x＜0)上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k＝__16__.
INCLUDEPICTURE"类型3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型3.TIF"
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　反比例函数与一次函数结合
【例3】(2015巴中中考)如图，在平面直角坐标xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)．若反比例函数y＝(x＞0)的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F，设直线EF的解析式为y＝k2x＋b.
(1)求反比例函数和直线EF的解析式；
(2)求△OEF的面积；
(3)请结合图象直接写出不等式k2x＋b－＞0的解集．
【解析】(1)先利用矩形的性质确定C点坐标(6，4)，再确定A点坐标为(3，2)，则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k1的值，即可求出反比例函数解析式；然后利用反比例函数解析式确定F点的坐标为(6，1)，E点坐标为(，4)，再利用特定系数法求直线EF的解析式；
(2)利用S△OEF＝S矩形BCDO－S△ODE－S△OBF－S△CEF进行计算；
(3)观察函数图象得到当＜x＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k2x＋b＞.
【学生解答】解：(1)y＝，y＝－x＋5；(2)S△OEF＝；(3)不等式k2＋b－＞0的解集为＜x＜6.
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
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6．(2016郴州中考)如图，已知点A(1，2)是正比例函数y1＝kx(k≠0)与反比例函数y2＝(m≠0)的一个交点．
(1)求正比例函数及反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1解：(1)y1＝2x，y2＝；(2)07．(2016济宁中考)在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上一点，过点F的反比例函数y＝(k>0)图象与AC边交于点E.
(1)请用k表示点E，F的坐标；
(2)若△OEF的面积为9，求反比例函数的解析式．
解：(1)∵E，F是反比例函数y＝(k>0)图象上的点，且OB＝6，OA＝4，
∴点E坐标为，点F坐标为；
(2)由题意知：S△ECF＝EC×CF＝，
∴S△EOF＝S矩形AOBC－S△AOE－S△BOF－S△EOF＝24－k－k－＝9.
∴12－＝9，解得k＝12(负值舍去)．
∴反比例函数的解析式为y＝.
,中考备考方略)
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
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1．(2016唐山九中模拟)若点A(a，b)在反比例函数y＝的图象上，则代数式ab－4的值为(　B　)
A．0　　　B．－2　　　C．2　　　D．－6
2．(2016龙东中考)已知：反比例函数y＝，当1A．3
B．4
C．5
D．6
3．(2016兰州中考)在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝(k≠0)的图象大致是(　A　)
,A)
,B)
,C)
,D)
4．(2016株洲中考)已知，如图一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝的图象如图所示，当y1A．x<2
B．x>5
C．2D．05
5．(2016孝感中考)“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2
m，则表示y与x函数关系的图象大致是(　B　)
,A)
,B)
,C)
,D)
6．(2016福州中考)一个反比例函数图象过点A(－2，－3)，则这个反比例函数的解析式是__y＝__．
7．(2016原创)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝(x＞0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是__≤a≤＋1__.
8．(2016常德中考)如图，直线AB与坐标轴分别交于A(－2，0)，B(0，1)两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4，n)，求一次函数和反比例函数的解析式．
解：设直线AC的解析式为y＝kx＋b，可得解得
∴直线AC的解析式为y＝x＋1.
把x＝4，y＝n代入y＝x＋1，得n＝3，∴C(4，3)．
设反比例函数的解析式为y＝，得m＝4×3＝12.
∴反比例函数的解析式为y＝.
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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9．(2016自贡中考)若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，都是反比例函数y＝图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是(　B　)
A．x1＜x2＜x3
B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x1＜x3
D．x2＜x3＜x1
10．(2016保定二模)如图，直线和双曲线分别是函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x＞0)的图象，则以下结论：①两函数图象的交点A的坐标为(2，2)；②当x＞2时，y1＜y2；③当x＝1时，BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是(　A　)
A．①③④
B．①②③
C．②③④
D．①②③④
(第10题图)
　　　(第11题图)
11．(2016原创)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为(　D　)
A．2
B．4
C．2
D．4
12．(2016唐山南路二模)如图所示，已知A(0.5，y1)，B(2，y2)为反比例函数y＝图象上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是(　D　)
A．(0.5，0)
B．(1，0)
C．(1.5，0)
D．(2.5，0)
13．(2016天津中考)若点A(－5，y1)，B(－3，y2)，C(2，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　D　)
A．y1B．y1C．y3D．y214．(2016兰州中考)如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝，则k2－k1＝(　A　)
A．4
B.
C.
D．6
(第14题图)
　　　(第15题图)
15．(2016淄博中考)反比例函数y＝(a>0，a为常数)和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：
①S△ODB＝S△OCA；
②四边形OAMB的面积不变；
③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．
其中正确结论的个数是(　D　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
16．(2015丽水中考)如图，反比例函数y＝的图象经过点(－1，－2)，点A是该图象第一象限分支上的动点，连接AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP.
(1)k的值为__2__；
(2)在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是__(2，－)__．
17．(2016随州中考)如图，直线y＝x＋4与双曲线y＝(k≠0)相交于A(－1，a)，B两点，在y轴上找一点P，当PA＋PB的值最小时，点P的坐标为____．
(第17题图)
　　　(第18题图)
18．(2016内江中考)如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于____．
19．(2016广安中考)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)和反比例函数y2＝(m≠0)的图象交于点A(－1，6)，B(a，－2)．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出y1>y2时，x的取值范围．
解：(1)将A(－1，6)代入y2＝，得
m＝－6，∴y2＝－.
将B(a，－2)代入y2＝－，得
a＝3，∴B(3，－2)．
将A(－1，6)，B(3，－2)代入y1＝kx＋b，得∴
∴y1＝－2x＋4；
(2)∴x<－1或020．(2016聊城中考)如图，在直角坐标系中，直线y＝－x与反比例函数y＝的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将直线y＝－x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数解析式．
解：(1)反比例函数的解析式为y＝－；
(2)设平移后的直线为y＝－x＋b与y轴交于点D.
连接AD，BD.
∵AB∥CD，∴S△ABD＝S△ABC＝48.
∵点A，B关于原点O对称，∴点B的坐标为(6，－3)，即|xA|＝xB＝6.
∴S△ABD＝S△AOD＋S△BOD＝OD·|xA|＋OD·xB＝6OD.
即6OD＝48，OD＝8.
∴平移后的直线解析式为y＝－x＋8.
21．(2016原创)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(2，3)，B(－3，n)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．
解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(2，3)，∴m＝6，∴反比例函数的解析式是y＝，∵点B(－3，n)在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝－2.∴B(－3，－2)．∵一次函数y＝kx＋b的图象经过A(2，3)，B(－3，－2)两点，
∴解得
∴y＝x＋1；
(2)OP的长为3或1.
22．(2016贵阳适应性考试)如图，在平面直角坐标系中， OABC的边OA在x轴上，∠COA＝30°，OC＝8，AC⊥OA，对角线OB与AC相交于点M，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点C.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)将 OABC向右平移，使它的对角线交点M在反比例函数的图象上，求平移的距离．
解：(1)∵AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，在Rt△OAC中，∠COA＝30°，OC＝8，∴AC＝OC＝×8＝4.∵OA＝＝＝4，∴点C的坐标为(4，4)．∵反比例函数y＝的图象过点C(4，4)，∴k＝xy＝4×4＝16，∴反比例函数解析式为y＝；(2)∵四边形OABC是平行四边形，∴AM＝CM＝AC＝×4＝2，设 OABC向右平移a个单位长度，则平移后点M′的坐标为(4＋a，2)．又∵M′(4＋a，2)在反比例函数y＝的图象上，∴2(4＋a)＝16，解得a＝4，∴平移的距离为4.