2017河北中考数学2.1一次方程与方程组及应用教材知识梳理

第二章　方程(组)与不等式(组)
第一节　一次方程与方程组及应用
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
22
一元二次方程
用一元一次方程确定多边形的边
9
24(1)
二元一次方程组
用待定系数法确定一次函数解析式
3
12
2015
11
二元一次方程组的解法
考查二元一次方程组如何消元
2
2
2012
20(2)
一元一次方程的应用
与梯形结合，以行程问题为背景通过列一元一次方程求公路的长
5
5
2011
19
二元一次方程的应用
二元一次方程解的运用(与整式运算结合)
4
4
2010
8
一元一次方程的应用
以买书为背景，根据题意判断所列一元一次方程正确的是
2
2
2009
18
一次方程(组)的应用
以水桶中铁棒的长度为背景，通过列一元一次方程组或二元一次方程求水的深度
3
3
命题规律
纵观河北八年中考，一次方程(组)及应用在中考中最多只考1题，分值2－5分，以填空、解答为主，难度中偏下，注重基础，其中二元一次方程组的解法考了2次，二元一次方程(组)的应用在解答题中考了1次，填空题中考了2次(也可用一元一次方程来解)，一元一次方程在解答、选择题中各考了1次.2016年还专门考查了一元一次方程解决实际问题中整数解的问题．
命题预测
预计2017年，本考点仍为重点考查内容，难度中下等，故平时应分类强化训练.
,河北8年中考真题及模拟)
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点.TIF"
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MERGEFORMAT
　一次方程(组)的应用(7次)
1．(2015河北11题2分)利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是(　D　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
2．(2010河北8题2分)小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是(　A　)
A．x＋5(12－x)＝48
B．x＋5(x－12)＝48
C．x＋12(x－5)＝48
D．5x＋(12－x)＝48
3．(2009河北18题3分)如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为55
cm，此时木桶中水的深度是__20__cm.
4．(2016河北22题9分)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
解：(1)甲对，乙不对．
∵θ＝360°，∴(n－2)×180＝360.解得n＝4.
∵θ＝630°，∴(n－2)×180＝630，解得n＝.
∵n为整数，∴θ不能取630°；
(2)依题意，得(n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180.解得x＝2.
5．[2012河北20(2)题5分]如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD－DC－CB.这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB∶AD∶DC＝10∶5∶2.
(1)求外环公路总长和市区公路长的比；
(2)某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40
km/h.返回时沿外环公路行驶，平均速度是80
km/h，结果比去时少用了
h．求市区公路的长．
解：(1)设AB＝10x
km，则AD＝5x
km，CD＝2x
km.∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BC＝AD＝5x
km.∴AD＋CD＋CB＝12x(km)．∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x∶10x＝6∶5；(2)由(1)可知，市区公路的长为10x
km，外环公路的总长为12x
km，由题意得＝＋，解得x＝1，∴10x＝10.
答：市区公路的长为10
km.
6．(2016石家庄新华区模拟)若是关于x、y的二元一次方程ax－3y＝1的解，则a的值为(　A　)
A．7
B．2
C．－1
D．－5
7．(2016唐山路南区三模)小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得则△和 代表的数分别是(　B　)
A．△＝1， ＝5
B．△＝5， ＝1
C．△＝－1， ＝3
D．△＝3， ＝－1
8．(2016石家庄二模)希望中学九年级1班共有学生49人，当该班少一名男生时，男生的人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x人，则下列方程中，正确的是(　A　)
A．2(x－1)＋x＝49
B．2(x＋1)＋x＝49
C．x－1＋2x＝49
D．x＋1＋2x＝49
9．(2016原创)已知关于x，y的二元一次方程ax＋by＝10(ab≠0)的两个解分别为和求1－a2＋4b2的值．
解：将x＝－1，y＝2代入方程ax＋by＝10中得：－a＋2b＝10，将x＝－2，y＝－4同样代入方程得：－a－2b＝5，∴(－a＋2b)(－a－2b)＝50，∴－a2＋4b2＝－50，∴1－a2＋4b2＝1－50＝－49.
,中考考点清单)
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点1.TIF"
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MERGEFORMAT
　方程、方程的解与解方程
1．含有未知数的__等式__叫方程．
2．使方程左右两边相等的__未知数__的值叫方程的解．
3．求方程__解__的过程叫解方程．
INCLUDEPICTURE"考点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点2.TIF"
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MERGEFORMAT
　等式的基本性质
4.
性质1
等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍①__相等__．如果a＝b，那么a±c②__＝__b±c.
续表
性质2
等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为0)，所得结果仍③__相等__．如果a＝b，那么ac＝bc(c≠0)，＝(c≠0).
INCLUDEPICTURE"考点3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点3.TIF"
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MERGEFORMAT
　一次方程(组)
5.
概念
解法
一元一次方程
含有①__一个__未知数且未知数的次数是②__1__，这样的方程叫做一元一次方程．
解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
续表
二元一次方程
含有两个③__未知数__，并且含有未知数的项的④__次数__都是1的方程叫做二元一次方程．
一般需找出满足方程的整数解即可．
二元一次方程组
两个⑤__二元一次方程__所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
解二元一次方程组的基本思路是⑥__消元__．基本解法有：⑦__代入__消元法和⑧__加减__消元法.
【易错提示】(1)解一元一次方程去分母时常数项不要漏乘，移项一定要变号；(2)二元一次方程组的解应写成的形式．
INCLUDEPICTURE"考点4.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点4.TIF"
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MERGEFORMAT
　列方程(组)解应用题的一般步骤
6.
(1)审
审清题意，分清题中的已知量、未知量；
(2)设
设①__未知数__，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数；
续表
(3)列
弄清题意，找出②__相等关系__；根据③__相等关系__，列方程(组)；
(4)解
解方程(组)；
(5)验
检验结果是否符合题意；
(6)答
答题(包括单位).
【方法点拨】一次方程(组)用到的思想方法：
(1)消元思想：将二元一次方程组通过消元使其变成一元一次方程．
(2)整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷．
(3)转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax＝b；解二元一次方程组先转化成一元一次方程．
(4)数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题．
(5)方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．　　　　　
,中考重难点突破)
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MERGEFORMAT
　一元一次方程及解法
【例1】(1)(2015娄底中考)已知关于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2，则a的值为________；
(2)解方程：－x＝－.
【学生解答】(1)1；(2)原方程可化为：－x＝－，解得x＝－5.
【点拨】(1)把x＝2代入即可；(2)先“化零为整”，再按去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1来解．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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MERGEFORMAT
1．(2016厦门中考)方程x＋5＝(x＋3)的解是__x＝－7__.
2．(2016滨州中考)解方程2－＝.
解：去分母得：12－2(2x＋1)＝3(1＋x)，去括号得：12－4x－2＝3＋3x，解得x＝1.
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型2.TIF"
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MERGEFORMAT
　二元一次方程组及解法
【例2】(2016无锡中考)解方程组：
【学生解答】由②得2x－2y＝1③.
①－③，得y＝4.
把y＝4代入①，得x＝.
∴原方程组的解为
【点拨】解二元一次方程组的两种方法(代入法和加减法)用到的都是“消元”的思想，具体解题时两种方法可根据方程组中未知数系数的特点灵活运用．
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MERGEFORMAT
3．(2016杭州中考)设实数x，y满足方程组则x＋y＝__8__．
4．解方程组：
解：由①，得x－2y＝－2.
由②，得3x－4y＝2.
①×2－②，得x＝6.把x＝6代入①得y＝4，
所以原方程组的解为
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型3.TIF"
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MERGEFORMAT
　一次方程(组)的应用
【例3】某公园的门票价格如下表：
购票人数
1～50
51～100
100以上
票价(元/人)
10
8
5
　　某校九年级甲、乙两个班共有100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要515元．问：甲、乙两班分别有多少人？
【解析】由两班单独购票时甲班票价8元/人，乙班票价10元/人，两个班共付920元及购团体票时票价5元/人，共付款515元，可列方程组求解．
【学生解答】设甲、乙两班分别有x人和y人，得
解得
答：甲班55人，乙班48人．
【方法归纳】综合表格中的信息与文字叙述，理解题意是解决本题的关键．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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MERGEFORMAT
5．(2016江西中考)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．
解：设每支中性笔x元，每盒笔芯y元，根据题意得
解得
答：每支中性笔2元，每盒笔芯8元．
6．(2016资阳改编)学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．求篮球和足球的单价．
解：设一个篮球x元，则一个足球(x－30)元，由题意得2x＋3(x－30)＝510.解得x＝120.
答：一个篮球120元，一个足球90元．
,中考备考方略)
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
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MERGEFORMAT
1．(2015重庆中考)已知关于x的方程2x＋m－8＝0的解是x＝3，则m的值为(　A　)
A．2
B．3
C．4
D．5
2．(2016邯郸十一中模拟)若2a＝3b，则下列各式中不成立的是(　D　)
A．4a＝6b
B．2a＋5＝3b＋5
C.＝
D．a＝3b
3．(2016株洲中考)在解方程＋x＝时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是(　B　)
A．2x－1＋6x＝3(3x＋1)
B．2(x－1)＋6x＝3(3x＋1)
C．2(x－1)＋x＝3(3x＋1)
D．(x－1)＋x＝3(x＋1)
4．(2016广州中考)已知a，b满足方程组则a＋b的值为(　B　)
A．－4
B．4
C．－2
D．2
5．(2016廊坊二模)已知是二元一次方程组的解，则m－n的值是(　D　)
A．1
B．2
C．3
D．4
6．(2016杭州中考)已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为(　C　)
A．518＝2(106＋x)
B．518－x＝2×106
C．518－x＝2(106＋x)
D．518＋x＝2(106－x)
7．(2016聊城中考)在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是(　D　)
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
A.27
B．51
C．69
D．72
8．(2016台湾中考)若二元一次联立方程式的解为x＝a，y＝b，则a＋b的值为(　D　)
A.
B.
C．7
D．13
9．(2016温州中考)已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是(　A　)
A.
B.
C.
D.
10．(2016临沂中考)为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是(　D　)
A.
B.
C.
D.
11．(2016深圳中考)某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为________元(　B　)
A．140
B．120
C．160
D．100
12．(1)(2016永州中考)方程组的解是____　,；)
(2)(2016温州中考)方程组的解是____　,.)
13．(2016扬州中考)以方程组的解为坐标的点(x，y)在第__二__象限．
14．(2016原创)已知是方程组的解，则代数式(a＋b)(a－b)的值为__－8__．
15．(2016石家庄四十二中一模改编)若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，求k的值．
解：解方程组得
代入2x＋3y＝6中得k＝.
16．(2016福州中考)某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么甲、乙两种票各买了多少张？
解：设甲种票买了x张，则乙种票买了(35－x)张，由题意得24x＋18(35－x)＝750，解得x＝20，∴35－x＝15.
答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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MERGEFORMAT
17．(2016原创)按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是(　D　)
A．x＝5，y＝－2
B．x＝3，y＝－3
C．x＝－4，y＝2
D．x＝－3，y＝－9
18．(2016原创)小亮解二元一次方程组
的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则●＋★＝__6__．
19．(2016盐城中考)李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55
min；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85
min，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需__40__min.
20．(2016石家庄41中一模)定义一种新运算“ ”：a b＝a－2b，比如：2 (－3)＝2－2×(－3)＝2＋6＝8.
(1)求(－3) 2的值；
(2)若(x－3) (x＋1)＝1，求x的值．
解：(1)(－3) 2＝(－3)－2×2＝－3－4＝－7；
(2)∵(x－3) (x＋1)＝1，∴(x－3)－2(x＋1)＝1.∴x＝－6.
21．(2016石家庄四十一中模拟)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用)．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
解：(1)裁剪出的侧面个数为6x＋4(19－x)＝(2x＋76)个，裁剪出的底面个数为5(19－x)＝(－5x＋95)个；
(2)由题意得＝，解得x＝7.
当x＝7时，＝30.
答：能做30个盒子．
22．(2016沧州八中模拟)P表示n边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P与n的关系式是：P＝·(n2－an＋b)(其中a，b是常数，n≥4)．
(1)填空：通过画图可得：
四边形时，P＝__1__(填数字)，五边形时，P＝__5__(填数字)；
(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．(注：本题的多边形均指凸多边形)
解：将上述值代入公式可得
化简得
解得
23．(2016连云港中考)某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
(1)求该店有客房多少间？房客多少人？
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
解：(1)设该店有客房x间，有房客y人，
根据题意得：
解得
答：该店有客房8间，房客63人；
(2)若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16＝320钱；若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8＝288钱<320钱；
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．