2017河北中考数学2.2一元二次方程及应用教材知识梳理

第二节　一元二次方程及应用
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
14
一元二次方程根的判别式
利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况
2
2
2015
12
一元二次方程根的判别式
考一元二次方程无实数根求参数的取值范围
2
2
2014
21
解一元二次方程
(1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式；(2)用配方法解一元二次方程
10
10
2012
8
解一元二次方程
判断一元二次方程配方后所得的方程
3
3
2010
16
一元二次方程的应用
已知一元二次方程的一个根，求代数式的值(整体代入思想)
2
2
命题规律
纵观河北8年中考只有2010、2012、2014、2015、2016年考查了一元二次方程，分值2－10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过一次，一元二次方程根的判别式考查了2次，属基础题．
命题预测
预计2017年河北中考考查一元二次方程的应用可能性较大，应强化训练.
,河北8年中考真题及模拟)
INCLUDEPICTURE"命点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点1.TIF"
\
MERGEFORMAT
　解一元二次方程(2次)
1．(2012河北8题3分)用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是(　A　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．(x＋2)2＝3
B．(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5
D．(x＋2)2＝5
2．(2014河北21题10分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b2－4ac>0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0变形为：
x2＋x＝－，第一步
x2＋x＋＝－＋，第二步
＝，第三步
x＋＝(b2－4ac>0)，第四步
x＝.第五步
(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为__x＝__．
(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.
解：x1＝6，x2＝－4.
INCLUDEPICTURE"命点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点2.TIF"
\
MERGEFORMAT
　一元二次方程根的判别式(2次)
3．(2016河北14题2分)a，b，c为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(　B　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．有一根为0
4．(2015河北12题2分)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是(　B　)
A．a<1
B．a>1
C．a≤1
D．a≥1
5．(2016河北唐山十三中三模)已知关于x的方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m＝__1__，另一个根为__－__．
6．(2016河北石家庄二十八中一模)若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＋＝__－1__．
7．(2016石家庄二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x的值是(　B　)
A．－4或－1
B．4或－1
C．4或－2
D．－4或2
8．(2015河北保定十三中二模)关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是(　B　)
A．1
B．－1
C．1或－1
D．2
9．(2016邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为(　D　)
A．48(1－x)2＝36
B．48(1＋x)2＝36
C．36(1－x)2＝48
D．36(1＋x)2＝48
10．(2016石家庄十八县区重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2014年投入教育经费2
500万元，预计2016年要投入教育经费3
600万元．已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．
11．(2016原创)对于实数a，b，定义新运算“
”：a
b＝例如：4
2，因为4>2，所以4
2＝42－4×2＝8.
(1)求(－5)
(－3)的值；
(2)若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，求x1
x2的值．
解：(1)∵－5<－3，∴(－5)
(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6；(2)方程x2－5x＋6＝0的两根为2或3；①2
3＝2×3－9＝－3；②3
2＝32－2×3＝3.
,中考考点清单)
INCLUDEPICTURE"考点1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点1.TIF"
\
MERGEFORMAT
　一元二次方程的概念
1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__．
【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．
INCLUDEPICTURE"考点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点2.TIF"
\
MERGEFORMAT
　一元二次方程的解法
2.
直接开平方法
这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程．
配方法
配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的①__完全平方__式，右边是一个非负常数.
续表
公式法
求根公式为②__x＝(b2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程．
因式分解法
因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为③__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
【温馨提示】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法：
(1)当b＝0，c≠0时，x2＝－，考虑用直接开平方法解；(2)当c＝0，b≠0时，用因式分解法解；(3)当a＝1，b为偶数时，用配方法解简便．
INCLUDEPICTURE"考点3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点3.TIF"
\
MERGEFORMAT
　一元二次方程根的判别式
3．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由__b2－4ac__来判定，我们将__b2－4ac__称为根的判别式．
4．判别式与根的关系：
(1)当b2－4ac>0 方程有__两个不相等__的实数根；
(2)当b2－4ac<0 方程没有实数根；
(3)当b2－4ac＝0 方程有__两个相等__的实数根．
【易错提示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0.(2)当a、c异号时Δ>0.
INCLUDEPICTURE"考点4.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点4.TIF"
\
MERGEFORMAT
　一元二次方程的应用
5．列一元二次方程解应用题的步骤：
①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验；⑥做结论．
6．一元二次方程应用问题常见的等量关系：
(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；
(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；
(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价．
,中考重难点突破)
INCLUDEPICTURE"微07.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/微07.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"类型1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型1.TIF"
\
MERGEFORMAT
　一元二次方程的解法
【例1】(2016保定十七中二月调研)解下列方程：
(1)(x－2)2＝；(2)x2－4x＋1＝0；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－3x－4＝0.
【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b＝－4是偶数，可以用配方法；(3)因为b＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解(十字相乘法)．
【学生解答】(1)直接开平方，得x－2＝±，即x1＝2＋，x2＝2－；
(2)配方，得(x－2)2＝3，直接开平方，得x－2＝±，即x1＝2＋，x2＝2－；
(3)∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x＝，即x1＝，x2＝；
(4)分解因式，得(x－4)(x＋1)＝0.即x1＝4，x2＝－1.
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．(2015河北中考)若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，则m＋n的值为(　A　)
A．－2　　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．2
2．(2016唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为(　A　)
A．(x＋2)2＝9
B．(x－2)2＝9
C．(x＋2)2＝1
D．(x－2)2＝1
3．用公式法解方程：
(1)(2016广东中考)x2－3x＋2＝0；
解：x1＝1，x2＝2；
(2)(2016兰州中考)解方程：x2－1＝2(x＋1)．
解：x1＝－1，x2＝3.
INCLUDEPICTURE"类型2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型2.TIF"
\
MERGEFORMAT
　一元二次方程根与系数关系和判别式
【例2】(2016唐山龙泉中学模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1、x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值．
【学生解答】(1)由题意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1；(2)由两根关系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1·x2＝m2－1，(x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0，∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0，解得m＝－9或m＝1，∵m≥－1，∴m＝1.
【点拨】通过根与系数关系求得的m值必须满足Δ≥0.
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
\
MERGEFORMAT
4．(2016唐山九中一模)若x1，x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是(　C　)
A．－2
B．2
C．3
D．1
5．(2016唐山丰润区二模)方程x2－x＋3＝0根的情况是(　D　)
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
6．(2016保定博野模拟)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　C　)
A．a>2
B．a<2
C．a<2且a≠1
D．a<－2
INCLUDEPICTURE"类型3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型3.TIF"
\
MERGEFORMAT
　一元二次方程的应用
【例3】(2016随州中考)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)
【解析】(1)根据分段函数可以表示出当0【学生解答】(1)由题意，得
当0当5∴y＝
(2)当0当5解得x1＝－25(舍去)，x2＝10.
答：该月需售出10辆汽车．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
\
MERGEFORMAT
7．(2016原创)为了纪念抗日战争及世界反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日，我国在首都北京举行了声势浩大的“九三阅兵”活动仪式．在仪式上，习主席郑重向全世界承诺：在两个五年计划内共裁军30万．假设第一个五年计划初裁军8万，第一个五年计划末及第二个五年计划末裁军人数按相同的增长率增长，求裁军人数的增长率．(提示：≈1.73)
解：设增长率为x.
则8＋8(1＋x)＋8(1＋x)2＝30，
1＋(1＋x)＋(x＋1)2＝3.75，
(x＋1)2＋(x＋1)＝2.75，
＝3，x＋＝±≈±1.73，
∴x1≈0.23，x2≈－3.23(舍去)．
答：裁军人数的增长率约为23%.
8．(2017唐山九中一模)唐山市某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，若商店准备获利2
000元，则应进货多少个？定价为多少元？
解：设每个商品的定价是x元，由题意，得(x－40)[180－10(x－52)]＝2
000，整理，得x2－110x＋3
000＝0，解得x1＝50，x2＝60.当x＝50时，进货180－10×(50－52)＝200(个)，不符合题意，舍去；当x＝60时，进货180－10×(60－52)＝100(个)，符合题意．
答：该商品每个定价为60元，进货100个．
中考备考方略)
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．(2016攀枝花中考)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一个根，则a的值为(　C　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．－1或4
B．－1或－4
C．1或－4
D．1或4
2．(2016新疆中考)一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为(　A　)
A．(x－3)2＝14
B．(x－3)2＝4
C．(x＋3)2＝14
D．(x＋3)2＝4
3．(2016邵阳中考)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是(　B　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．(2016河北唐山友谊中学一模)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是(　C　)
A．x1＝x2＝1
B．x1＝1＋，x2＝－1－
C．x1＝1＋，x2＝1－
D．x1＝－1＋，x2＝－1－
5．(2016泸州中考)若关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是(　D　)
A．k≥1
B．k>1
C．k<1
D．k≤1
6．(2016雅安中考)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为(　D　)
A．4，－2
B．－4，－2
C．4，2
D．－4，2
7．(2016沧州一模)已知关于x的方程x2－(m－2)x＋m2＝0有两个相等的实数根，则方程的根为(　B　)
A．x1＝x2＝1
B．x1＝x2＝－2
C．x1＝x2＝－1
D．x1＝x2＝2
8．(2015廊坊二模)关于x的方程x2－4x＋m＝0有唯一实数根，(－)÷的值为(　B　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
9．(2016烟台中考)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则x－x1＋x2的值为(　D　)
A．－1
B．0
C．2
D．3
10．(2016衡阳中考)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得(　A　)
A．10(1＋x)2＝16.9
B．10(1＋2x)＝16.9
C．10(1－x)2＝16.9
D．(1－2x)＝16.9
11．(2016台州中考)有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(　A　)
A.x(x－1)＝45
B.x(x＋1)＝45
C．x(x－1)＝45
D．x(x＋1)＝45
12．解下列方程：
(1)(2016遂宁中考)x2＋2x－3＝0；
解：x1＝1，x2＝－3；
(2)(2016自贡中考)3x(x－2)＝2(2－x)．
解：x1＝－，x2＝2.
13．(2016唐山南路二模)先化简，再求代数式(－)÷的值，其中m为非负整数，且m满足一元二次方程x2－3x＋m＝0有实数根．
解：因为一元二次方程x2－3x＋m＝0有实数根，所以(－3)2－4m≥0，解得m≤，因为m为非负整数，所以m可取1，2，但是当m＝2时分式的分母为0，所以m＝1.(－)÷＝(－)÷＝÷＝·＝－，当m＝1时，原式＝＝－4.
14．(2016原创)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58
m长的篱笆围成一个面积为200
m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
解：设垂直于墙的一边长为x
m，得：x(58－2x)＝200，解得x1＝25，x2＝4，∴另一边为8
m或50
m.
答：当矩形长为25
m时，宽为8
m，当矩形长为50
m时，宽为4
m.
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
\
MERGEFORMAT
15．(2016河北中考说明)关于x的方程(a－1)x2＋x＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是(　B　)
A．a≥－1
B．a≥－1且a≠1
C．a≥1
D．a>1
16．(2016烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为(　B　)
A．9
B．10
C．9或10
D．8或10
17．(2016聊城中考)如果关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实根，那么k的取值范围是__k>－且k≠0__．
18．(2016巴中中考)定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2－bx＋a＝0的根的情况．
解：∵2☆a的值小于0，∴22a＋a＝5a<0，解得a<0.
在方程2x2－bx＋a＝0中，Δ＝(－b)2－8a≥－8a>0，
∴方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根．
19．(2016临夏中考)已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.
(1)若此方程的一个根为1，求m的值；
(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)根据题意，将x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0，得：1＋m＋m－2＝0，解得m＝；
(2)∵Δ＝m2－4×1×(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20．(2016孝感中考)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)当x＋x＝6x1x2时，求m的值．
解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)≥0，整理得：4－4m＋4≥0，解得m≤2；
(2)∵x1＋x2＝2，x1·x2＝m－1，x＋x＝6x1x2，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝6x1·x2，即4＝8(m－1)，
解得m＝.
∵m＝<2，∴符合条件的m的值为.
21．(2016原创)如图，要利用一面墙(墙长为25
m)建羊圈，用100
m的围栏围成总面积为400
m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．
解：设AB的长度为x
m，则BC的长度为(100－4x)m.根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.
∵80>25，∴x2＝5舍去．即AB＝20
m，BC＝20
m.
答：羊圈的边长AB，BC分别是20
m，20
m.
22．(2016永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3
210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×(1－x%)2＝324，
解得x＝10，或x＝190(舍去)．
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件，
第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)；
第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．
依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2
400≥3
210，
解得m≥22.5.∴m≥23.
答：为使两次降价销售的总利润不少于3
210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．