2017河北中考数学2.3分式方程及应用教材知识梳理

第三节　分式方程及应用
河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
12
列分式方程
以选择题的形式考查学生，根据实际问题列出分式方程
2
2
2013
7
分式方程的实际应用
以修路为背景，考查判断所列分式方程正确的是
3
3
2011
22(1)
分式方程的实际应用
以整理实验器材为背景，利用解分式方程求完工时间
4
4
2010
19
解分式方程
等号两边分别为一个分式，异分母，但分子为常数
8
8
命题规律
纵观河北8年中考，在分式方程及应用考点中，最多设1道题，分值2－8分．题型有选择、解答题两种，难度不大．其中分式方程的解法考查了1次，分式方程的应用考查了3次.
命题预测
预计2017年河北中考，分式方程及应用仍属重点考查内容，难度中等，4分左右，为了在中考中不失分应强化训练.
,河北8年中考真题及模拟)
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　解分式方程(1次)
1．(2010河北19题8分)解方程：＝.
解：方程两边都乘以(x－1)(x＋1)，得x＋1＝2(x－1)，解得x＝3.经检验，当x＝3时，(x－1)(x＋1)＝8≠0.∴x＝3是原分式方程的解．
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　分式方程的实际应用(3次)
2．(2016河北12题2分)在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(　B　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A.＝－5
B.＝＋5
C.＝8x－5
D.＝8x＋5
3．(2013河北7题3分)甲队修路120
m与乙队修路100
m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10
m，设甲队每天修路x
m．依题意，下面所列方程正确的是(　A　)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
4．[2011河北22(1)题4分]甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40
min完工；若甲、乙共同整理20
min后，乙需再单独整理20
min才能完工．
(1)问乙单独整理多少分钟完工？
(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30
min，则甲至少整理多少分钟才能完工？
解：(1)设乙单独整理x
min完工，根据题意得：＋＝1，解得x＝80.经检验，x＝80是原分式方程的解．∴乙单独整理80
min完工；(2)25
min.
5．(2016原创)对于非零实数a、b，规定a b＝－，若2 (2x－1)＝1，则x的值为(　A　)
A.
B.
C.
D．－
6．(2016石家庄新华区模拟)若关于x的分式方程＝1的解为正数，则m的取值范围是(　D　)
A．m>3
B．m≠－2
C．m>－3且m≠1
D．m>－3且m≠－2
7．(2016河北中考说明)已知是二元一次方程组的解，求方程－＝的解．
解：将x＝2，y＝1代入方程组得：解得将m＝3，n＝2代入所求方程得：－＝，去分母得：3－2x＝x－2，解得x＝，经检验，当x＝时，2x－4＝－≠0，所以x＝是原分式方程的解．
8．(2016邯郸二十五中模拟)端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同)．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同．粽子与咸鸭蛋的价格各是多少？
解：设咸鸭蛋的价格是x元，则粽子的价格是(x＋1.8)元，依题意，得＝.
解得x＝1.2，经检验，x＝1.2是原方程的解．
∴x＋1.8＝3.
答：粽子与咸鸭蛋的价格分别是3元和1.2元．
9．(2016唐山丰润区二模)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13
200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28
800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？
解：(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件，由题意可得：＝－10，
解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的根．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件；
(2)设每件衬衫的标价是y元，由题意可得：
≥25%，
∴y≥150.
答：每件衬衫的标价至少是150元．
中考考点清单)
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　分式方程的概念
1．分母中含有__未知数__的方程叫做分式方程．
【温馨提示】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．
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　分式方程的解法
2．解法步骤
(1)去分母：给方程两边都乘以__最简公分母__，把它化为整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)__检验__．
【温馨提示】找最简公分母的方法：
(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
3．检验方法
(1)利用方程的解的概念进行检验；
(2)将解得的整式方程的根代入__最简公分母__，看计算结果__是否为0__，不为0就是原方程的根；若为0，则为增根，必须舍去；
(3)增根：当分母的值为0时，分式方程__无解__，这样的根叫做分式方程的__增根__．
【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
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MERGEFORMAT
　分式方程的应用
4．列分式方程解应用题的六个步骤
(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；
(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；
(3)列：根据等量关系，列出方程；
(4)解：求出所列方程的解；
(5)检：双检验．A.检验是否是分式方程的解；B.检验是否符合实际问题；
(6)答：写出答案．
5．常见关系
分式方程的应用题主要涉及工作量问题，行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系．
如：工作时间＝____，时间＝____．
【方法点拨】列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”．
,中考重难点突破)
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MERGEFORMAT
　分式方程的解法
【例1】(2016深圳中考)解方程：＋＝4.
【学生解答】去分母，得x(3x－2)＋5(2x－3)＝4(2x－3)(3x－2)，化简，得：7x2－20x＋13＝0，解得x1＝1，x2＝.
【点拨】分式方程整式方程→验根，去分母时防漏乘．
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1．(2016济宁中考)解分式方程＋＝3时，去分母后变形正确的为(　D　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
2．(2016无锡中考)分式方程＝的解是__x＝4__．
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　含参数的分式方程
【例2】(2016巴中中考)若分式方程－＝2有增根，则这个增根是________．
【解析】本题主要考查了增根的概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根，由分母x－1＝0，得x＝1，这就是方程的增根．
【学生解答】x＝1
【方法总结】(1)增根的求法：令最简公分母为0得到关于未知数的一元一次方程，解方程求得的解即为增根；(2)求有增根的分式方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程，求解关于参数的方程即可．
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3．(2016黑龙江中考)关于x的分式方程－＝0无解，则m＝__0或－4__．
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　分式方程的应用
【例3】(2016邯郸二中模拟)自2016年12月启动“绿茵行动，青春聚力”邯郸自青林植树活动以来，某单位筹集7
000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3
000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵数．
【学生解答】设樱花树的单价为x元，根据题意，得
＋＝30，
解得x＝200，
经检验，x＝200是所列分式方程的根且符合题意，
则＝＝20(棵)．
答：樱花树的单价是200元，棵数为20棵．
【点拨】审题确定等量关系→设未知数→列方程→解方程根，判断根是否合理→确定根并作答．
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4．(2016河北石家庄四十三中一模)甲种污水处理器处理25
t的污水与乙种污水处理器处理35
t的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20
t的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x
t/h，依题意列方程正确的是(　B　)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
5．(2016河北沧州八中二模)某农场开挖一条长480
m的渠道，开工后，每天比原计划多挖20
m，结果提前4天完成任务，如果设原计划每天挖x
m，那么根据题意可列方程为__＋4＝__．
6．(2016苏州中考)甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，甲、乙每小时各做多少面彩旗？
解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做(x＋5)面彩旗，依题意有＝，解得x＝25.经检验，x＝25是原方程的解．x＋5＝25＋5＝30.故甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗．
中考备考方略)
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1．(2016宜昌中考)分式方程＝1的解为(　A　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．x＝－1
B．x＝
C．x＝1
D．x＝2
2．(2016邯郸二十五中模拟)分式方程＝的解是(　C　)
A．x＝－1
B．x＝1
C．x＝2
D．无解
3．(2016白银中考)若x＝－1是方程－＝0的根，则a的值为(　A　)
A．6
B．－6
C．3
D．－3
4．(2016凉山中考)关于x的方程＝2＋无解，则m的值为(　A　)
A．－5
B．－8
C．－2
D．5
5．(2016临夏中考)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是(　A　)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
6．(2016唐山路北区二模)甲乙两地相距420
km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2
h．设原来的平均速度为x
km/h，可列方程为(　B　)
A.＋＝2
B.－＝2
C.＋＝2
D.－＝2
7．(2016湖州中考)方程＝1的根是x＝__－2__．
8．(2016泸州中考)分式方程－＝0的根是__x＝－1__．
9．(2016东营中考)若分式方程＝a无解，则a的值为__±1__．
10．(2016石家庄四十二中模拟)有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1
500
kg和2
100
kg.已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200
kg.若设第一块试验田每亩的产量为x
kg，则根据题意列出的方程是__＝__．
11．(2015厦门中考)某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产__15__个零件．
12．解方程：
(1)(2016连云港中考)－＝0；
解：去分母，得2＋2x－x＝0，
解得x＝－2，
经检验，x＝－2是分式方程的解．
(2)(2016乐山中考)－3＝.
解：方程两边同乘x－2，得1－3(x－2)＝－(x－1)，即1－3x＋6＝－x＋1，
整理得，－2x＝－6，
解得x＝3，
经检验，当x＝3时，x－2≠0，
则原方程的解为x＝3.
13．(2016河北考试说明)沧州建城2
500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1
200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？
解：设原计划每天栽树x棵，则实际每天栽树的棵数为(1＋20%)x，由题意得，－＝2，解得x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天栽树100棵．
14．(2016威海中考)某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为(x＋6%)，
依题意得：＝，
解得x＝0.9，
经检验，x＝0.9是所列方程的根，并符合题意．
答：乙班的达标率为90%.
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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MERGEFORMAT
15．(2016重庆中考)从－3，－1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程－＝－1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是(　B　)
A．－3
B．－2
C．－
D.
16．(2016德阳中考)已知方程－a＝，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是(　D　)
A．－1B．2C．8≤b<9
D．3≤b<4
17．(2016青岛中考)A，B两地相距180
km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，从而A地到B地的时间缩短了1
h．若设原来的平均车速为x
km/h，则根据题意可列方程为(　A　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
18．(2016原创)若关于x的方程－1＝无解，则a的值是__1或2__．
19．(2016鄂州中考)解方程：－＝.
解：x＝－4.
20．(2016聊城中考)为加快城市群的建设与发展，在A，B两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120
km缩短至114
km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110
km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间．
解：设城际铁路现行速度是x
km/h.
由题意得：×＝.
解得x＝80.
经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意．
则×＝×＝0.6(h)．
答：建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间是0.6
h.
21．(2016常德中考)某服装店用4
500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2
100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1
950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
解；(1)设第一批衬衫每件进价是x元，则第二批每件进价是(x－10)元，根据题意可得：×＝，解得x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解．
∴第一批衬衫每件进价是150元，第二批每件进价是140元，＝30(件)，＝15(件)．
答：第一批衬衫进了30件，第二批进了15件；
(2)设第二批衬衫每件售价y元，根据题意可得：30×(200－150)＋15(y－140)≥1
950，
解得y≥170.
答：第二批衬衫每件至少要售170元．