2017河北中考数学2.4一元一次不等式(组)及应用教材知识梳理

第四节　一元一次不等式(组)及应用
,河北8年中考命题规律)
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2015
23
一元一次不等式的应用
以往装水容器中球为背景考查列一次函数解析式和列一元一次不等式解决实际问题
10
10
2014
6
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解集在数轴上的表示(结合一次函数图象所经过象限求出未知系数的取值范围)
2
2
2013
21(2)
一元一次不等式的解法
新定义下求一元一次不等式解集，并将解集在数轴上表示出来
5
5
2012
4
一元一次不等式组的解法
求一元一次不等式组的其中一个整数解
2
2
2011
22(2)
一元一次不等式的实际应用
以工程问题为背景，考查不等式的实际应用(与分式方程相结合)
4
4
2010
5
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式并将解集表示在数轴上
2
2
命题规律
纵观河北8年中考，一元一次不等式(组)在中考中每年最多设一道题，分值2－5分，题型有两种，选择、解答．难度中等，属基础题．其中一元一次不等式的解法在选择题中考了2次，解答题中考了1次，一元一次不等式组的解法考查了2次(选择)，而一元一次不等式的应用只在2011、2015年各考查了1次，难度也不大．
命题预测
预计2017年河北中考中一元一次不等式(组)的解法仍为重点考查对象且有轮流考查规律，当然，也有可能考实际应用．故需分类强化训练.
,河北8年中考真题及模拟)
INCLUDEPICTURE"命点.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/命点.TIF"
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　解一元一次不等式(组)(6次)
1．(2014河北6题2分)如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y＝(m－2)x＋n，则m的取值范围在数轴上表示为(　C　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
,A)　　　,B)
,C)　　　,D)
2．(2010河北5题2分)把不等式－2x<4的解集表示在数轴上，正确的是(　A　)
,A)　　　　　　,B)
,C)　　　　　　,D)
3．(2012河北4题2分)下列各数中，为不等式组解的是(　C　)
A．－1
B．0
C．2
D．4
4．[2013河北21(2)题5分]定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2 5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.若3 x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
解：由3 x小于13有3(3－x)＋1<13，解得x>－1.图略．
5．(2015河北23题10分)水平放置的容器内原有210
mm高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4
mm，每放入一个小球水面就上升3
mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y
mm.
(1)只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式；(不必写出x大的范围)
(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小．
①求y与x小的函数关系式；(不必写出x小的范围)
②限定水面高不超过260
mm，最多能放入几个小球？
解：(1)y＝4x大＋210；(2)①当x大＝6时，y＝4×6＋210＝234，∴y＝3x小＋234；②依题意，得3x小＋234≤260，解得x小≤8，∵x小为自然数，∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．
6．(2016石家庄长安区质检)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是(　A　)
A.
B.
C.
D.
7．(2016邯郸一模)下图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图(支点在中点处)，则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是(　B　)
,A)
,B)
,C)
,D)
8．(2016邯郸初二十三中模拟)已知x＝3是关于x的不等式3x－>的解，求a的取值范围．
解：∵x＝3是关于x的不等式3x－>的解，∴9－>2.解得a<4.
故a的取值范围是a<4.
9．(2016原创)我们定义一种新运算：a b＝2a－b＋ab.(等号右边为通常意义的运算)
(1)计算2 (－3)的值；
(2)解不等式： x>2，并在数轴上表示其解集．
解：(1)∵a b＝2a－b＋ab，∴2 (－3)＝2×2－(－3)＋2×(－3)＝4＋3－6＝1；(2)由题意得2×－x＋x>2，解得x<－2.在数轴上表示为：
中考考点清单)
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"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点1.TIF"
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　不等式的概念及性质
1．不等式：一般地，用不等号连接的式子叫做__不等式__．
2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的__值__叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的__解集__．
3．不等式的基本性质：
性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向__不变__；
性质2：不等式两边同乘(或除)以一个正数，不等号的方向__不变__；
性质3：不等式两边同乘(或除)以一个负数，不等号的方向__改变__．
【温馨提示】不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，性质3不等号的方向会发生改变这是不等式独有的性质．
INCLUDEPICTURE"考点2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点2.TIF"
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　一元一次不等式的解法及数轴表示
4．一元一次不等式：只含有__一个__未知数，且未知数的次数是__1次__的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式是__ax＋b>0__或ax＋b<0(a≠0)．
5．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)__合并同类项__；(5)系数化为1.
6．一元一次不等式的解集在数轴上的表示
解集在数轴上的表示
__x__x>a__
__x≤a__
__x≥a__
【温馨提示】(1)已知一元一次不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的方法是：①逆用不等式(组)的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助于数轴确定．
(2)解决实际应用题：应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“等于”“大于”“小于”等关键词．注意分析题中的不等关系，列出不等式(组)，然后根据不等式(组)的解法，结合题意求解．
INCLUDEPICTURE"考点3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点3.TIF"
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　一元一次不等式组的解法及数轴表示
7．一元一次不等式组：含有相同未知数的若干个__一元一次__不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．
8．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的__解集__的公共部分．
9．解一元一次不等式组的步骤：(1)先求出各个不等式的__解集__；(2)再利用数轴找它们的__公共部分__；(3)写出不等式组的解集．
10．几种常见的不等式组的解集(a不等式组(其中a图示
解集
口诀
__x≥b__
同大取大
__x≤a__
同小取小
__a≤x≤b__
大小，小大中间找
__空集__
小小，大大找不到
11.求不等式(组)的特殊解，一方面要先求不等式(组)的__解集__，然后在解集中找__特殊__解．
INCLUDEPICTURE"考点4.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/考点4.TIF"
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　列不等式(组)解应用题
12．列不等式(组)解应用题的步骤：(1)找出实际问题中的__不等__关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案．
,中考重难点突破)
INCLUDEPICTURE"类型1.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型1.TIF"
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　一元一次不等式(组)的解法
【例1】(1)(2015台州中考)不等式2x－4≥0的解集是________；
(2)(2015乐山中考)求不等式组的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．
【解析】解一元一次不等式组时，一般是先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找出它们的公共部分，这样就可以确定出不等式组的解集．
【学生解答】(1)x≥2；(2)解不等式①得：x<3.
解不等式②得：x≥－1.
∴不等式组的解集为：－1≤x<3.
解集在数轴上表示为：
【点拨】先分别解出两个不等式，再利用数轴确定解集的公共部分．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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1．(2016滨州中考)a、b都是实数，且a　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．a＋x>b＋x
B．－a＋1<－b＋1
C．3a<3b
D.>
2．(2016株洲中考)不等式的解集在数轴上表示为(　C　)
,A)
,B)
,C)
,D)
3．(2016湘西中考)不等式组的解集是(　B　)
A．x>1
B．1C．x≤2
D．无解
4．(2016安徽中考)不等式x－2≥1的解集是__x≥3__．
INCLUDEPICTURE"类型2.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型2.TIF"
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MERGEFORMAT
　根据不等式组的整数解确定字母的取值范围
【例2】(2016承德二中模拟)若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是(　　)
A．6B．6≤m<7
C．6≤m≤7
D．6【解析】不等式7－2x≤1的解为x≥3，不等式x－m<0的解为x【学生解答】D
【点拨】此题用数形结合比较直观，要注意验证m能否在两端取等号．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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5．(2016保定八中二模)不等式组的解集为x<2，则m取值范围为__m≥2__．
6．(2016沧州九中模拟)若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围为__a≥1__．
INCLUDEPICTURE"类型3.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/类型3.TIF"
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　一元一次不等式的应用
【例3】(2016衡水模拟)阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，获利不低于20%，则这种电子产品的标价最低为多少元？
【解析】题目当中的获利不低于20%，即本电子产品的利润率不低于20%，利润率＝×100%，由此可以得到相应的不等关系．
【学生解答】设这种电子产品的标价为x元，则
×100%≥20%.
解得x≥28.
答：这种电子产品的最低标价为28元．
【方法归纳】不等式的应用题，有时在解出不等式之后，还要根据实际情境写出符合要求的答案．
INCLUDEPICTURE"针对.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/针对.TIF"
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7．(2016黔西南模拟)为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见下表：
一户居民一个月用电量的范围
电费价格(单位：元/千瓦时)
不超过160千瓦时的部分
x
超过160千瓦时的部分
x＋0.15
某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元．
(1)求x和超出部分电费单价；
(2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围．
解：(1)根据题意，得160x＋(190－160)(x＋0.15)＝90，
解得x＝0.45，
则超出部分的电费单价为x＋0.15＝0.6元/千瓦时；
(2)设该户居民六月份的用电量为a千瓦时，
则75≤160×0.45＋0.6(a－160)≤84，
解得165≤a≤180.
则该户居民六月份的用电量范围为165千瓦时到180千瓦时．
,中考备考方略)
INCLUDEPICTURE"基础训练.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/基础训练.TIF"
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1．(2016南充中考)若m>n，下列不等式不一定成立的是(　D　)
　
　　　　　
　　　　　
　　　　
A．m＋2>n＋2
B．2m>2n
C.>
D．m2>n2
2．(2016江西中考)将不等式3x－2<1的解集表示在数轴上，正确的是(　D　)
,A)
,B)
,C)
,D)
3．(2016丽水中考)如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是(　A　)
A．x≥2
B．x>2
C．x>1
D．14．(2016怀化中考)不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有(　C　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．(2016滨州中考)对于不等式组下列说法正确的是(　B　)
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是－3，－2，－1
D．此不等式组的解集是－6．(2016南充中考)不等式>－1的正整数解的个数是(　D　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．(2016湖北中考)不等式组的整数解的个数为(　C　)
A．0个
B．2个
C．3个
D．无数个
8．(2016聊城中考)不等式组的解集是x>1，则m的取值范围是(　D　)
A．m≥1
B．m≤1
C．m≥0
D．m≤0
9．(2016金华中考)不等式3x＋1<－2的解集是__x<－1__．
10．(2016绍兴中考)不等式>＋2的解是__x>－3__．
11．(2016安顺中考)不等式组的最小整数解是__－3__．
12．(2016沧州八中模拟)不等式组
的整数解为__－1，0，1__．
13．(2016毕节中考)不等式组
的解集为__－4≤x≤1__．
14．(2016苏州中考)解不等式2x－1>，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得：4x－2>3x－1，
移项，得：4x－3x>2－1，
合并同类项，得：x>1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
15．(2016十堰中考)x取哪些整数值时，不等式5x＋2>3(x－1)与x≤2－x都成立？
解：根据题意解不等式组
解不等式①，得：x>－，
解不等式②，得：x≤1，
∴－故满足条件的整数有－2、－1、0、1.
16．(2016北京中考)解不等式组并写出它的所有非负整数解．
解：解集为－2≤x<，∵x为非负整数，∴x＝0，1，2，3.
17．(2016沧州九中模拟)为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？
解：设购买球拍x个，依题意得：1.5×20＋22x≤200，解得x≤7，又x为整数，∴x＝7.
答：孔明应该买7个球拍．
INCLUDEPICTURE"能力提升.TIF"INCLUDEPICTURE
"../../../../../../中考王——河北数学/中考王%20%20河北数学Word/能力提升.TIF"
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MERGEFORMAT
18．(2016泰安中考)若不等式组有解，则实数a的取值范围是(　C　)
A．a<－36
B．a≤－36
C．a>－36
D．a≥－36
19．(2016台湾中考)若满足不等式20<5－2(2＋2x)<50的最大整数解为a，最小整数解为b，则a＋b的值为(　C　)
A．－15
B．－16
C．－17
D．－18
20．(2016凉山中考)已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是__－≤a<0__．
21．(2016石家庄模拟)已知不等式组：的最大整数解满足ax＋6＝x－2a，则a＝__－1__．
22．(2016原创)定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b＝ab－a－b＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4＝2×4－2－4＋1＝8－6＋1＝3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．
解：3△x＝3x－3－x＋1＝2x－2，根据题意得：解得23．(2016呼和浩特中考)已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．
解：解不等式组
解不等式①得：x>－，
解不等式②得：x≤a＋4，
∵不等式组有四个整数解，∴1≤a＋4<2，
解得－3≤a<－2.
24．(2016益阳中考)某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．
(1)该班男生和女生各有多少人？
(2)某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1
460个，那么至少要招录多少名男学生？
解：(1)设该班男生有x人，女生有y人，
依题意得：解得
∴该班男生有27人，女生有15人．
(2)设招录的男生为m名，则招录的女生为(30－m)名，依题意得：50m＋45(30－m)≥1
460，即5m＋1
350≥1
460，解得m≥22.
答：工厂在该班至少要招录22名男生．
25．(2016漳州中考)国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170
000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：
类别
彩电
冰箱
洗衣机
进价(元/台)
2
000
1
600
1
000
售价(元/台)
2
300
1
800
1
100
若在现有资金允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍．设该商店购买冰箱x台．
(1)商店至多可以购买冰箱多少台？
(2)购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？
解：(1)依题意，得：2
000·2x＋1
600x＋1
000(100－3x)≤170
000，解得x≤26.∵x为正整数，∴x至多为26.
答：商店至多可以购买冰箱26台；
(2)设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，则y＝(2
300－2
000)2x＋(1
800－1
600)x＋(1
100－1
000)(100－3x)，∴y＝500x＋10
000，∵500>0，∴y随x的增大而增大．∵x≤26且x为正整数，∴当x＝26时，y最大＝500×26＋10
000＝23
000.
答：当购买冰箱26台时，商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为23
000元．