课件16张PPT。18．1 平行四边形的性质第18章 平行四边形第1课时 平行四边形的性质(一)知识点?：平行四边形的定义
1．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是_____________．平行四边形2．(2017·柳州模拟)如图，在?ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形个数共有( )
A．12个 B．9个
C．7个 D．5个B知识点?：平行四边形的边、角特征
3．已知，在?ABCD中，BC－AB＝2 cm，BC＝4 cm，则?ABCD的周长是( )
A．6 cm B．12 cm
C．8 cm D．10 cm
4．在?ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1
C．1∶1∶2∶2 D．2∶1∶2∶1BD5．(2016·衢州)如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( )
A．45° B．55°
C．65° D．75°A6．(2016·丹东)如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为( )
A．8 B．10 C．12 D．14B7．(2016·大连)如图，BD是?ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：AE＝CF.知识点?：平行线之间的距离
8．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( )
A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度 D9．如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB，CD之间的距离是____．310．如图，l1∥l2，点D是BC的中点，S△ABC＝8 cm2，则S△BDE＝____cm2.411．如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A．7 B．10 C．11 D．12B12．(2016·河北)如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B的度数为________.114°13．(2016·陕西)如图，在?ABCD中，连结BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连结AF，CE.
求证：AF∥CE.14．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，BC＝6.
(1)求边CF的长；
(2)求∠DAE的度数．15．在?ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为____________________．
16．(2016·永州)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连结BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．55°或35°方法技能：
1．平行四边形的定义两用，既可当性质用，又可当判定用．
2．平行四边形的边角性质为证明线段的平行和相等，角的互补与相等提供了很重要的依据．注意常和全等三角形一起综合运用．
3．平行线间的距离是指垂线段的长度，平行线的位置确定了它们之间的距离就是定值，不随着垂线段的位置的改变而改变．
易错提示：
对几何图形判断错误，导致错解或漏解．课件16张PPT。18．1 平行四边形的性质第18章 平行四边形第2课时 平行四边形的性质(二)知识点：平行四边形的对角线的性质
1．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是( )
A．AO＝OD B．AO⊥OD
C．AO＝OC D．AO⊥ABC2．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是( )
A．8 B．9 C．10 D．11C3如图，O为?ABCD的对角线AC，BD的交点，EF经过点O，且与边AD，BC分别交于点E，F，则图中的全等三角形有( )
A．4对 B．5对
C．6对 D．7对C4．(2016·泸州)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( )
A．10 B．14 C．20 D．22B5．(2016·巴中)如图，?ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是_________________．1＜a＜74 7．如图，?ABCD和?EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上．求证：AE＝CF.连结BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，又∵四边形EBFD是平行四边形，∴OE＝OF，∴AO－OE＝CO－OF，即AE＝CF8．(2017·南京模拟)如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且BE∥DF.
求证：BE＝DF.9．如图，在?ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A．3 B．6 C．12 D．24C10．如图，过?ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的?AEMG的面积S1与?HCFM的面积S2的大小关系是( )
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．2S1＝S2C11．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，∠BAE＝45°，AE＝2 cm，AC＋BD＝12 cm，求△COD的周长．12．(例7变式)如图，?ABCD的周长为60 cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8 cm，求平行四边形各边的长度．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，∵△AOB的周长比△BOC的周长多8 cm，∴(OA＋OB＋AB)－(OB＋OC＋BC)＝8 cm，即AB－BC＝8 cm①，∵平行四边形ABCD的周长为60 cm，∴2(AB＋BC)＝60 cm②，∴由①②得AB＝19 cm，BC＝11 cm，∴CD＝AB＝19 cm，AD＝BC＝11 cm13．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EO⊥AC.
(1)若△ABE的周长为10 cm，求?ABCD的周长；
(2)若∠ABC＝78°，AE平分∠BAC，试求∠DAC的度数．(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC.∵OE⊥AC，∴AE＝CE，故△ABE的周长为AB＋BC＝10 cm，根据平行四边形的对边相等可得?ABCD的周长为2×10＝20 (cm) (2)∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠ABC＝78°，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，∴3∠ECA＋78°＝180°，∴∠ECA＝34°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ECA＝34°14．(1)如图①，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.
求证：AE＝CF；
(2)如图②，将?ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.
求证：EI＝FG.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠1＝∠2，易证△AOE≌△COF(ASA)，∴AE＝CF (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，由(1)得AE＝CF，由折叠可得AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵∠5＝∠3，∠6＝∠4，∴∠5＝∠6，易证△A1IE≌△CGF(AAS)，∴EI＝FG方法技能：
1．平行四边形的每一条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线将平行四边形分成两对全等的三角形，对角线是把四边形转化为三角形的桥梁，既可将平行四边形转化为三角形来解决，也是证明两条线段互相平分的重要依据．
2．若一条直线过平行四边形对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积．
易错提示：
求有关平行四边形对角线问题时，易将对角线的一半误以为是对角线的长．课件16张PPT。18．2 平行四边形的判定第18章 平行四边形第1课时 从边判定平行四边形知识点?：平行四边形的判定定理1——两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB＝AD，CD＝BC
C．AB＝BC＝CD D．AB＝AD，∠B＝∠D
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，AC，BD相交于点O，图中全等的三角形有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对AC3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠A＝110°，则∠B＝____°.704．(2017·长春模拟)如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为________．65°5．如图，在?ABCD中，M，N分别是CD，AB上的点，E，F分别是AC上的两点，若CM＝AN，AE＝CF.求证：四边形MENF是平行四边形．知识点?：平行四边形的判定定理2——一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边分别相等
D．一组对边平行且相等B7．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是( )
A．AD＝BC B．CD＝BF
C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDED8．如图，点E，F分别为?ABCD边AD与BC上的一点，要使四边形BFDE为平行四边形，可以添加的条件为______________________．(只填一个你认为正确的答案)DE＝BF(答案不唯一)9．(2016·新疆)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．易证△AED≌△CFB(AAS)，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形10．四个点A，B，C，D在同一平面内，现有下列四个条件：①AB＝CD；②AD＝BC；③AB∥CD；④AD∥BC，从这些条件中任选两个能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
11．已知一四边形的四边依次是a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形的形状是_______________．B平行四边形1 13．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.
(1)求证：AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．(1)易证△AFE≌△BCA(AAS)，∴AC＝EF (2)∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，∴DA⊥AB，又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形14．(2016·黄冈)如图，在?ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.15．如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD＝60°，连结ED，CF.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)求证：四边形EFCD是平行四边形．方法技能：
由边的关系判定四边形是平行四边形有三种方法：
1．证明两组对边分别平行；
2．证明两组对边分别相等；
3．证明一组对边平行且相等．
易错提示：
因对平行四边形的判定条件不清楚而导致误判．课件17张PPT。18．2 平行四边形的判定第18章 平行四边形第2课时 从对角线判定平行四边形知识点?：平行四边形的判定定理3——对角线互相平分的四边形是平行四边形
1．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．AB∥DC，AD＝BC
2．如图，AO＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝____cm时，四边形ABCD是平行四边形．D83．如图，DE∥BC，AE＝EC，延长DE到点F，使EF＝DE，连结AF，FC，CD，则图中四边形DBCF是______________．平行四边形4．如图，在平行四边形AECF中，对角线AC，EF相交于点O，还需要添加一个条件：__________________，使得四边形ABCD是平行四边形．(填一个即可)BE＝DF5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.连结BF，CE.求证：四边形BECF是平行四边形．易证△CDF≌△BDE(ASA)，∴DF＝DE，DC＝DB，∴四边形BECF是平行四边形知识点?：由角的数量关系判定平行四边形(拓展)
6．下面给出四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．3∶4∶4∶3 B．2∶2∶3∶3
C．4∶3∶2∶1 D．4∶3∶4∶3D7．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．知识点?：平行四边形的判定方法的综合应用
8．(2017·荆门模拟)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种B9．如图，已知?ABCD，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连结AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形．10．A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．(2017·泉州模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是( )
A．5 B．10 C．15 D．20CB12．如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，则____秒后四边形ABQP为平行四边形．213．如图，E，F分别为?ABCD中AD，BC的中点，分别连结AF，BE交于点G，连结CE，DF交于点H，连结GH.求证：EF与GH互相平分．14．(2016·徐州)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，△ACD是等边三角形，E是AC的中点，连结BE并延长，交DC于点F，求证：
(1)△ABE≌△CFE；
(2)四边形ABFD是平行四边形．(1)易证△ABE≌△CFE(ASA) (2)∵E是AC的中点，∴BE＝EA，∵∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴△CEF是等边三角形，∴∠CFE＝60°，∵△ACD是等边三角形，∴∠CDA＝∠DCA＝60°，∴∠CFE＝∠CDA，∴BF∥AD，∵∠DCA＝∠BAC＝60°，∴AB∥DC，∴四边形ABFD是平行四边形方法技能：
平行四边形的判定方法较多，一般地，当有一组对边相等时，选择判定定理1或判定定理2；当有一组对边平行时，选择定义或判定定理2；当有对角线条件时，选择判定定理3.第18章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
(每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1.若?ABCD中，∠A＋∠C＝160°，则∠D的度数是( B )
A．120° B．100° C．60° D．70°
2．如图，在?ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( A )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
,第2题图) ,第3题图) ,第5题图) ,第6题图)
3．如图，?ABCD的周长是48，对角线AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长多6，若设AD＝x，AB＝y，则可用列方程组的方法求AD，AB的长，这个方程组可以是( A )
A. B. C. D.
4．(2016·湘西州)下列说法错误的是( D )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
5．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，M是?ABCD的边AD上任意一点，若△CMB的面积为S，△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2，则下列S，S1，S2的大小关系中正确的是( B )
A．S＞S1＋S2 B．S＝S1＋S2
C．S＜S1＋S2 D．S与S1＋S2的大小关系无法确定
7．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有( D )
A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种
8．根据下列条件，能作出平行四边形的是( C )
A．两边长分别是4和5，一条对角线为10 B．一边长为1，两条对角线长分别为2和5
C．两条对角线的长分别为3和5，它们的夹角为45° D．以上均作不出
9．如图，E是?ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是( B )
A．AD＝CF B．BF＝CF C．AF＝CD D．DE＝EF
10.如图，在?ABCD中，分别以AB，AD为边向外作等边三角形△ABE，△ADF，延长CB交AE于点G(点G在点A，E之间)，连结CE，CF，EF，则以下四个结论中，正确的个数是( C )
①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△CEF是等边三角形；④CG⊥AE.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
,第9题图) ,第10题图) ,第12题图) ,第13题图)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．平行四边形的两邻角的平分线相交所成的夹角为__90°__．
12．如图，四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD＝11－x，BC＝x－5，则当x＝__8__时，四边形ABCD是平行四边形．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12 cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D.则四边形BDEF的周长是__24__cm.
14．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，在AD上取DE＝DC，则∠ECB的度数是__65__度．
,第14题图) ,第15题图) ,第16题图) ,第17题图)
15．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长为a，那么平行四边形ABCD的周长是__2a__．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为__10＋2__.
17．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，?ABCD的周长为40，则S?ABCD＝__48__.
18．在?ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，则?ABCD的周长等于__12或20__．
点拨：①如图1所示，∵在?ABCD中，BC边上的高为4，AE＝4，AB＝5，AC＝2，∴在Rt△ABE中，BE＝＝3，在Rt△ACE中 ，EC＝＝2，则BC＝BE＋CE＝5，?ABCD的周长为2×(5＋5)＝20；②如图2所示，BC＝BE－EC＝1，则?ABCD的周长为2×(5＋1)＝12，故答案为12或20
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，且BE＝AD，点F在AD上，AF＝AB，求证：CF＝EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∴∠D＝∠EAF，∵BE＝AD，AF＝AB，∴AE＝DF，CD＝AF，∴△DCF≌△AFE(SAS)，∴CF＝EF
20．(8分)如图，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，点G，H分别为AD，BC的中点，GH与BD相交于点O，求证：EF和GH互相平分．
连接BG，DH，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF，又∵G，H分别为AD，BC的中点，易证四边形BHDG为平行四边形，∴OG＝OH，OB＝OD，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，∴EF和GH互相平分
21．(8分)如图，在?ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF相交于点G，连结DG，B′G.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)DG＝B′G.
(1)∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠2＝∠FEC，由折叠得∠1＝∠FEC，∴∠1＝∠2 (2)∵∠1＝∠2，∴EG＝GF，∵AB∥DC，∴∠DEG＝∠EGF，由折叠得EC′∥B′F，∴∠B′FG＝∠EGF＝∠DEG，∵DE＝BF＝B′F，∴△DEG≌△B′FG(SAS)，∴DG＝B′G
22．(10分)如图是某城市部分街道，AF∥BC，EC⊥BC，EF＝CF，BA∥DE，BD∥AE，甲，乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B?A?E?F；乙乘2路车，路线是B?D?C?F，假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，问：谁先到达F站，请说明理由．
两人同时到达F站．理由：∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AB＝DE，∵AF∥BC，EC⊥BC，EF＝CF，∴AF是EC的垂直平分线，∴DE＝CD＝AB，∴BA＋AE＋EF＝BD＋CD＋CF，∵两车速度相同，途中耽误的时间相同，∴甲乙两人同时到达
23．(10分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点E，交CB于点F，过点E作EH∥AB，交BC于点H.求证：CE＝BH.
过E作EG∥BC交BD于点G，∴∠DCB＝∠DEG，∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∴∠ACD＋∠DCB＝90°，∠DEG＋∠DGE＝90°，∴∠ACD＝∠DGE，∵EG∥BC，EH∥AB，∴四边形BGEH是平行四边形，则BH＝EG，∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠GAE，在△CEA和△GEA中，∴△CEA≌△GEA(AAS)，∴CE＝GE，∴CE＝BH
24．(10分)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连结BE并延长与AD的延长线相交于点F.
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
(1)∵∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠DFE，又∵E是边CD的中点，∴CE＝DE，在△BEC与△FED中，∴△BEC≌△FED(AAS)，∴BE＝FE，∴四边形BDFC是平行四边形 (2)①BC＝BD＝3时，由勾股定理得，AB＝＝＝2，∴四边形BDFC的面积＝3×2＝6；②BC＝CD＝3时，过点C作CG⊥AF于点G，则四边形AGCB是平行四边形，∴AG＝BC＝3，∴DG＝AG－AD＝3－1＝2，由勾股定理得，CG＝＝＝，∴四边形BDFC的面积＝3×＝3；③BD＝CD时，BC边上的中线与BC垂直，从而得到BC＝2AD＝2，与BC＝3矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC的面积是6或3
25．(12分)在?ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E，交AB的延长线于点F，连结AC.
(1)如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连结AG，CG.
①求证：BE＝BF；
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连结AG，CG.那么△AGC又是怎样的形状．(直接写出结论不必证明)
(1)①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝90°，∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF＝∠FDC，∴∠F＝∠BEF，∴BE＝BF ②△AGC是等腰直角三角形．理由：连结BG，由①知，BE＝BF，∠FBC＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，∵G是EF的中点，∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，∵∠FAD＝90°，∴AF＝AD，又∵AD＝BC，∴AF＝BC，∴△AFG≌△CBG(SAS)，∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，又∵∠FAG＋∠GAC＋∠ACB＝90°，∴∠BCG＋∠GAC＋∠ACB＝90°，即∠GAC＋∠ACG＝90°，∴∠AGC＝90°，∴△AGC是等腰直角三角形 (2)连结BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，∴△BFG是等边三角形，∴FG＝BG，∠FBG＝60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠CBG＝180°－∠FBG－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴∠AFG＝∠CBG，∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF＝∠FDC，∵AB∥DC，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD＝BC，在△AFG和△CBG中，∴△AFG≌△CBG(SAS)，∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，∴∠GAC＋∠ACG＝∠ACB＋∠BCG＋∠GAC＝∠ACB＋∠BAG＋∠GAC＝∠ACB＋∠BAC＝180°－60°＝120°，∴∠AGC＝180°－(∠GAC＋∠ACG)＝180°－120°＝60°，∴△AGC是等边三角形
