河北省承德县上板城高中2017届高三（上）适应性数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年河北省承德县上板城高中高三（上）适应性数学试卷（文科）
　
一、选择题
1．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）
A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0
D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0
2．已知i是虚数单位，则复数的模为（　　）
A．1
B．2
C．
D．5
3．已知正项等比数列{an}的首项a1=1，a2 a4=16，则a8=（　　）
A．32
B．64
C．128
D．256
4．下列函数中，既是偶函数，又在（1，+∞）上单调递增的为（　　）
A．y=ln（x2+1）
B．y=cosx
C．y=x﹣lnx
D．y=（）|x|
5．在△ABC中，已知向量=（2，2），||=2，
=﹣4，则∠A=（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知α，β为锐角，且cos（α+β）=，sinα=，则cosβ的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．“双曲线C的渐近线为y=±x”是“双曲线C的离心率为”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（　　）
A．i＜5
B．i＜6
C．i＜7
D．i＜8
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．2
B．
C．
D．
10．已知点P（x，y）在不等式组，表示的平面区域上运动，则取值范围是（　　）
A．[﹣2，﹣1]
B．[﹣2，1]
C．[﹣1，2]
D．
11．圆C经过直线x+y﹣1=0与x2+y2=4的交点，且圆C的圆心为（﹣2，﹣2），则过点（2，4）向圆C作切线，所得切线方程为（　　）
A．5x﹣12y+38=0或3x﹣4y+10=0
B．12x﹣5y+4=0或3x﹣4y+10=0
C．5x﹣12y+38=0或x=2
D．3x﹣4y+10=0或x=2
12．已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
　
二、填空题
13．若抛物线C：x=2py2过点（2，5），则抛物线C的准线方程为　　．
14．在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为　　．
15．已知点P，A，B，C在同一球面上，PA⊥平面ABC，AP=2AB=2，AB=BC，且 =0，则该球的表面积是　　．
16．观察下列等式：1=++；1=+++；1=++++；…，以此类推，1=++++++，其中m＜n，m，n∈N
，则m﹣n=　　．
　
三、解答题
17．在△ABC中，△ABC的外接圆半径为R，若C=，且sin（A+C）= cos（A+B）．
（1）证明：BC，AC，2BC成等比数列；
（2）若△ABC的面积是1，求边AB的长．
18．某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/°C
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率．
（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：，）
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．
（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：A1N∥平面APM；
（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．
20．已知椭圆+y2=1，A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD相交于原点O，设A（x1，y1），B（x2，y2），满足=．
（Ⅰ）证明：
+=；
（Ⅱ）求直线AB的斜率，并求出四边形ABCD面积的最大值．
21．已知f（x）=ax﹣﹣10lnx，h（x）=﹣x2+（m﹣2）x+6．
（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=4时，对于任意x1，x2∈（0，1），均有h（x1）≥f（x2）恒成立，试求参数m的取值范围．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．
（1）若CG=1，CD=4．求的值．
（2）求证：FG∥AC．
　
[选修4-4：坐标系和参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程．
极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．
（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；
（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1．
（Ⅰ）求++的最小值m；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若|x﹣d|+|x+16|≥m恒成立，求实数d的取值范围．
　
2016-2017学年河北省承德县上板城高中高三（上）适应性数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）
A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0
D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0
【考点】命题的否定．
【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．
【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题
∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0
故选C．
　
2．已知i是虚数单位，则复数的模为（　　）
A．1
B．2
C．
D．5
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可化为﹣1+2i，再利用复数模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵复数===﹣1+2i，
∴==．
故选C．
　
3．已知正项等比数列{an}的首项a1=1，a2 a4=16，则a8=（　　）
A．32
B．64
C．128
D．256
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设正项等比数列{an}的公比是q（q＞0），根据等比数列的通项公式和a1=1化简a2 a4=16，列出关于q的方程求出q的值，由等比数列的通项公式求出a8．
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比是q（q＞0），
∵a1=1，a2 a4=16，∴（a1q） （a1q3）=16，
解得q=2或q=﹣2（舍去），
∴a8=1×27=128，
故选：C．
　
4．下列函数中，既是偶函数，又在（1，+∞）上单调递增的为（　　）
A．y=ln（x2+1）
B．y=cosx
C．y=x﹣lnx
D．y=（）|x|
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据偶函数的定义、复合函数的单调性判断A；由余弦函数的奇偶性、单调性判断B；由对数函数的定义域和奇偶性判断C；由指数函数的单调性判断D．
【解答】解：A．y=ln（x2+1）满足f（﹣x）=f（x），所以是偶函数，
由复合函数的单调性知在（1，+∞）上单调递增，则A满足条件；
B．y=cosx是偶函数，在（1，+∞）上不是单调函数，则B不满足条件；
C．y=x﹣lnx在定义域（0，+∞）上为非奇非偶函数，则C不满足条件；
D．y=（）|x|是偶函数，由指数函数的单调性知在（1，+∞）上单调递减，则D不满足条件，
故选：A．
　
5．在△ABC中，已知向量=（2，2），||=2，
=﹣4，则∠A=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用平面向量的数量积公式求出向量、的夹角的余弦值，根据夹角范围求A．
【解答】解：在△ABC中，
=（2，2），||=2，
=﹣4，则，A∈[0，π]，所以A=；
故选：D．
　
6．已知α，β为锐角，且cos（α+β）=，sinα=，则cosβ的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用．
【分析】根据题意，由cos（α+β）与sinα的值，结合同角三角函数基本关系式计算可得sin（α+β）与cosα的值，进而利用β=[（α+β）﹣α]可得cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，代入数据计算可得答案．
【解答】解：根据题意，α，β为锐角，若sinα=，则cosα=，
若cos（α+β）=，则（α+β）也为锐角，
则sin（α+β）=，
则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+×=，
故选：A．
　
7．“双曲线C的渐近线为y=±x”是“双曲线C的离心率为”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据双曲线渐近线和离心率之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：当双曲线焦点在x轴上时，两条渐近线方程为y=±x，
又∵已知两条渐近线方程为y=±x，∴
=，b=a，
则c==a
离心率e==，
当双曲线焦点在y轴上时，两条渐近线方程为y=±x，
又∵已知两条渐近线方程为y=±x，∴
=，b=，
则c===a
离心率e==，
则离心率e为或，即充分性不成立，
反之若双曲线C的离心率为，则双曲线不一定是标准方程，故渐近线不一定是y=±x，即必要性不成立，
故“双曲线C的渐近线为y=±x”是“双曲线C的离心率为”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
　
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（　　）
A．i＜5
B．i＜6
C．i＜7
D．i＜8
【考点】程序框图．
【分析】根据题意，模拟程序框图的执行过程，计算输出结果即可．
【解答】解：模拟程序框图执行过程，如下；
开始，i=1，s=0，不输出，进入循环，1是奇数？是，s=0﹣12=﹣1，i=1+1=2，
不输出，进入循环，2是奇数？否，s=﹣1+22=3，i=2+1=3，不输出，进入循环，
3是奇数？是，s=3﹣32=﹣6，i=3+1=4，不输出，进入循环，
4是奇数？否s=﹣6+42=10，i=4+1=5，不输出，进入循环，
5是奇数？是，s=10﹣52=﹣15，i=5+1=6，不输出，进入循环，
6是奇数？否，s=﹣15+62=21，i=6+1=7，退出循环，输出21，
∴判断框中的条件是：i＜7？
故选C．
　
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．2
B．
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体是由底面是边长为2的等边三角形、高为2的三棱柱截取一个三棱锥P﹣ABC（其中点P是侧棱的中点）得到的．
【解答】解：如图所示，
由三视图可知：该几何体是由底面是边长为2的等边三角形、高为2的三棱柱截取一个三棱锥P﹣ABC（其中点P是侧棱的中点）得到的．
∴该几何体的体积V=×1=．
故选：B．
　
10．已知点P（x，y）在不等式组，表示的平面区域上运动，则取值范围是（　　）
A．[﹣2，﹣1]
B．[﹣2，1]
C．[﹣1，2]
D．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式的性质结合直线斜率的公式，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
==2+，
设k=，
则k的几何意义是区域内的点到点D（4，4）的斜率，
其中A（0，1），B（2，0），
由图象知AD的斜率最小，BD的斜率最大，
则kAD==，kBD==2，
则≤k≤2，≤k+2≤4，
即≤z≤4，
故选：D
　
11．圆C经过直线x+y﹣1=0与x2+y2=4的交点，且圆C的圆心为（﹣2，﹣2），则过点（2，4）向圆C作切线，所得切线方程为（　　）
A．5x﹣12y+38=0或3x﹣4y+10=0
B．12x﹣5y+4=0或3x﹣4y+10=0
C．5x﹣12y+38=0或x=2
D．3x﹣4y+10=0或x=2
【考点】圆的切线方程．
【分析】设所求圆的方程为：（x2+y2﹣4）+a（x+y﹣1）=0即x2+y2+ax+ay﹣4﹣a=0，由圆心为（﹣2，﹣2）求出a的值，即可求出圆的半径，然后讨论：当过点（2，4）的直线斜率不存在时，方程是x=2，通过验证圆心到直线的距离，得到x=2符合题意；当过点（2，4）的直线斜率存在时，设直线方程为y﹣4=k（x﹣2），根据圆心到直线的距离等于半径4，建立关于k的方程，解之得k，进而得到直线的方程．最后综合可得答案．
【解答】解：设所求圆的方程为：（x2+y2﹣4）+a（x+y﹣1）=0即x2+y2+ax+ay﹣4﹣a=0，
∵圆心为（﹣2，﹣2），
∴a=4．
∴圆的方程为x2+y2+4x+4y﹣8=0，即（x+2）2+（y+2）2=16．
则圆心为：（﹣2，﹣2），半径为4．
（1）当过点（2，4）的直线垂直于x轴时，
此时直线斜率不存在，方程是x=2，
∵圆心（﹣2，﹣2）到直线的距离为d=4=r，
∴直线x=2符合题意；
（2）当过点（2，4）的直线不垂直于x轴时，设直线方程为y﹣4=k（x﹣2）
即kx﹣y﹣2k+4=0，
由点到直线的距离公式可得：，
解得：k=．
∴切线方程为：5x﹣12y+38=0．
综上切线方程为：5x﹣12y+38=0或x=2．
故选：C．
　
12．已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点．
【分析】分段求出函数的零点，即可得到结论．
【解答】解：由题意，x≥0时，g（x）=ln（x+1）﹣x，求导数得g′（x）=﹣
∵x≥0，∴﹣＜0，∴函数单调递减，∴g（x）≤g（0）
∴g（x）=ln（x+1）﹣x有唯一零点0；
﹣2≤x＜0时，由=x，可得x=﹣1，即函数g（x）=f（x）﹣x的零点为﹣1
综上，函数g（x）=f（x）﹣x的零点个数为2个
故选C．
　
二、填空题
13．若抛物线C：x=2py2过点（2，5），则抛物线C的准线方程为　x=﹣　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的标准方程，然后求解抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线C：x=2py2过点（2，5），
可得：2=2p×25，
解得p=，
抛物线的标准方程为：y2=x，
抛物线C的准线方程为：x=﹣．
给答案为：x=﹣．
　
14．在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为　　．
【考点】几何概型．
【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣1，2]的长度求比值即得．
【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
∵|x|≤1得﹣1≤x≤1，
∴|x|≤1的概率为：
P（|x|≤1）=．
故答案为：．
　
15．已知点P，A，B，C在同一球面上，PA⊥平面ABC，AP=2AB=2，AB=BC，且 =0，则该球的表面积是　6π　．
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】利用PA⊥平面ABC，AP=2AB=2，AB=BC，且 =0，可扩充为长方体，长宽高分别为1，1，2，其对角线长度为=，可得球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：∵
=0，
∴AB⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，
∴可扩充为长方体，长宽高分别为1，1，2，其对角线长度为=，
∴球的半径为，
∴球的表面积是4πR2=4=6π．
故答案为：6π．
　
16．观察下列等式：1=++；1=+++；1=++++；…，以此类推，1=++++++，其中m＜n，m，n∈N
，则m﹣n=　﹣6　．
【考点】类比推理．
【分析】裂项相消，求出m，n，即可得出结论．
【解答】解：1=++++++=++﹣+﹣+﹣++=++
∴+=
∵2＜m＜7，7＜n＜20，m，n∈N
，
∴m=6，n=12．
∴m﹣n=﹣6．
故答案为：﹣6．
　
三、解答题
17．在△ABC中，△ABC的外接圆半径为R，若C=，且sin（A+C）= cos（A+B）．
（1）证明：BC，AC，2BC成等比数列；
（2）若△ABC的面积是1，求边AB的长．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）根据内角和定理、诱导公式、正弦定理化简已知的式子，即可证明BC，AC，2BC成等比数列；
（2）根据题意和三角形的面积公式列出方程，结合已知的方程求出a、b，根据余弦定理求出AB的值．
【解答】证明：（1）∵A+B+C=π，sin（A+C）= cos（A+B），
∴sinB=﹣2sinAcosC，
在△ABC中，由正弦定理得，b=﹣2acosC，即AC=﹣2BCcosC，
∵C=，∴AC=BC，则AC2=2BC2=BC 2BC，
∴BC，AC，2BC成等比数列；
解：（2）记角A、B、C的对边分别为a、b、c，
∴=，则ab=2，
由（1）知，b=a，
联立两式解得a=，b=2，
由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC
=2+4+4=10，
∴AB=c=．
　
18．某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/°C
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率．
（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：，）
【考点】回归分析的初步应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m，n的所有取值情况，分析可得m，n均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；
（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．
（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．
【解答】解：（1）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，
m，n的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），
（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个
设“m，n均不小于25”为事件A，
则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）
所以，
故事件A的概率为
（2）由数据得，，
，，
由公式，得，
所以y关于x的线性回归方程为
（3）当x=10时，，|22﹣23|＜2，
当x=8时，，|17﹣16|＜2
所以得到的线性回归方程是可靠的．
　
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．
（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：A1N∥平面APM；
（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）由已知推导出AM⊥BC，BB1⊥底面ABC，BB1⊥AM，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明平面APM⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C，则四边形A1AMD为平行四边形，从而A1D∥AM，进而A1D∥平面APM；进一步推导出DN∥B1C，MP∥B1C，则DN∥MP，从而DN∥平面APM，进而平面A1DN∥平面APM，由此能证明A1N∥平面APM．
（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，则BC1⊥PM．设PB=x，．推导出，从而得到直线BC1与平面APM不能垂直．
【解答】（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．
又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．
因为AM 底面ABC，所以BB1⊥AM，
又BB1∩BC=B，
所以AM⊥平面BB1C1C．
又因为AM 平面APM，
所以平面APM⊥平面BB1C1C．
…
（Ⅱ）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C．
由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DM∥A1A，且DM=A1A．
则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM．
又A1D 平面APM，AM 平面APM，所以A1D∥平面APM．
由于D，N分别为C1B1，C1C的中点，所以DN∥B1C．
又P，M分别为B1B，CB的中点，所以MP∥B1C．
则DN∥MP．又DN 平面APM，MP 平面APM，所以DN∥平面APM．
由于A1D∩DN=D，所以平面A1DN∥平面APM．
由于A1N 平面A1DN，所以A1N∥平面APM．…10分
解：（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，
由PM 平面APM，则BC1⊥PM．
设PB=x，．当BC1⊥PM时，∠BPM=∠B1C1B，
所以∽Rt△∠B1C1B，所以．
由已知，
所以，得．
由于，
因此直线BC1与平面APM不能垂直．
…
　
20．已知椭圆+y2=1，A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD相交于原点O，设A（x1，y1），B（x2，y2），满足=．
（Ⅰ）证明：
+=；
（Ⅱ）求直线AB的斜率，并求出四边形ABCD面积的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）分别连接AB，BC，CD，AD，推导出四边形ABCD为平行四边形，由此能证明+=0．
（Ⅱ）由已知得4y1y2=x1x2，设直线AB的方程为y=kx+m，由，得（1+4k2）x+8kmx+4（m2﹣1）=0，由韦达定理、根的判别式、点到直线的距离公式先求出△AOB的最大值，由此能求出四边形ABCD面积最大值．
【解答】证明：（Ⅰ）分别连接AB，BC，CD，AD，
因为AC，BD相交于原点O，根据椭圆的几何对称可知，AC，BD互相平分且原点O是它们的中点，
则四边形ABCD为平行四边形，
故+=0．…
解：（Ⅱ）因为=，所以4y1y2=x1x2．
由题可知直线AB的斜率一定存在，
设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（1+4k2）x+8kmx+4（m2﹣1）=0，
△＞0，x1+x2=，x1x2=，…
因为4y1y2=x1x2，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，
所以，
整理得，…
不妨设，则，…
设原点到直线AB的距离为d，
则|AB|d=|x2﹣x1|=≤1，
当m2=1时，S四边珙ABCD=4S△AOB≤4，
∴四边形ABCD面积最大值为4．…
　
21．已知f（x）=ax﹣﹣10lnx，h（x）=﹣x2+（m﹣2）x+6．
（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=4时，对于任意x1，x2∈（0，1），均有h（x1）≥f（x2）恒成立，试求参数m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为a≥，而≤5，从而求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，根据h（x1）≥f（x2）恒成立，满足h（x）min≥f（x）max，得到故m的不等式组，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=，
对于任意（0，+∞）上，满足f′（x）≥0，即ax2﹣10x+a≥0，a≥，
而≤5，当且仅当x=1时，取最大值5，所以a≥5．
（Ⅱ）f（x）=4x﹣﹣10lnx，
f′（x）=，
令f′（x）=0，可得x1=或x2=2，
所以函数f（x）在（0，）单调递增，在（，1）单调递减，
所以f（x）max=f（）=﹣6+10ln2，
h（x1）≥f（x2）恒成立，满足h（x）min≥f（x）max，
即 m≥﹣9+10ln2，
所以m的取值范围是[﹣9+10ln2，+∞）．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．
（1）若CG=1，CD=4．求的值．
（2）求证：FG∥AC．
【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；
（2）根据切割线定理证出AB2=AD AE，所以AC2=AD AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．
【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，
∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．
因此△CGF∽△CDE，可得=，
又∵CG=1，CD=4，
∴=4；
证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，
∴AB2=AD AE，
∵AB=AC，
∴AC2=AD AE，可得=，
又∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，
∵四边形DEGF内接于⊙O，
∴∠ADC=∠EGF，
因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．
　
[选修4-4：坐标系和参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程．
极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．
（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；
（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．
【分析】（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．
（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…
则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，
=|OA|．…
（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．
化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…
C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，
又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…
所以m=2，α=．…
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1．
（Ⅰ）求++的最小值m；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若|x﹣d|+|x+16|≥m恒成立，求实数d的取值范围．
【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．
【分析】（Ⅰ）由正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，运用三元均值不等式，可得ab2c3≤，再由均值不等式即可得++的最小值m．
（Ⅱ）利用绝对值不等式的几何意义可求得|x﹣d|+|x+16|≥|x﹣d﹣x﹣16|=|d+16|，由题意及（Ⅰ）得，|d+16|≥27，从而可求得实数d的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，
所以a+b2+c3=1≥，即ab2c3≤，当且仅当a=b2=c3时取等号，
所以++≥≥27，
所以++的最小值m=27；
（Ⅱ）因为|x﹣d|+|x+16|≥|x﹣d﹣x﹣16|=|d+16|，
由题意及（Ⅰ）得，|d+16|≥27，得d≥11或d≤﹣43．
　
2016年12月29日
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