江西省2017届高三（上）第一次联考数学试卷+（文科）（解析版）

2016-2017学年江西省高三（上）第一次联考数学试卷
（文科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，则（ UA）∪B为（　　）
A．{1}
B．{1，5}
C．{1，4}
D．{1，4，5}
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
3．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（　　）
A．（﹣3，1]
B．（﹣3，1）
C．[1，2）
D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）
4．函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（　　）
A．（﹣2，1）
B．（﹣2，1]
C．[﹣2，1）
D．[﹣2，﹣1]
5．命题p： x∈R，x＞1的否定是（　　）
A．￢p： x∈R，x≤1
B．￢p： x∈R，x≤1
C．￢p： x∈R，x＜1
D．￢p： x∈R，x＜1
6．已知函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于（　　）
A．
B．
C．2
D．16
7．已知tan（π﹣α）=﹣，且α∈（﹣π，﹣），则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．函数f（x）=满足f（）+f（a）=2，则a的所有可能值为（　　）
A．
B．
C．1
D．
9．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（　　）
A．50元
B．60元
C．70元
D．100元
10．若a=2，b=ln2，c=log5sin，则（　　）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
11．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=alnx﹣ax+1，当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，则a=（　　）
A．﹣2
B．2
C．±1
D．1
12．函数y=的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠C=60°，b=2，c=2，则a=　　．
14．若方程x2﹣mx﹣1=0有两根，其中一根大于2，另一根小于2的充要条件是　　．
15．函数f（x）=loga（3﹣ax）在区间（2，6）上递增，则实数a的取值范围是　　．
16．若函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，则下列结论中正确的序号是　　．
①图象C关于直线x=对称；
②图象C关于点（，0）对称；
③函数f（x）在区间（﹣，）内不是单调的函数；
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18．若函数f（x）=ex+x2﹣mx，在点（1，f（1））处的斜率为e+1．
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值．
19．已知函数f（x）=msin2x﹣cos2x﹣，x∈R，若tanα=2且f（α）=﹣．
（1）求实数m的值及函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，π]上的递增区间．
20．已知f（x）=x2+ax+．
（1）若b=﹣2，对任意的x∈[﹣2，2]，都有f（x）＜0成立，求实数a的取值范围；
（2）设a≤﹣2，若任意x∈[﹣1，1]，使得f（x）≤0成立，求a2+b2﹣8a的最小值，当取得最小值时，求实数a，b的值．
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 （cosB+cosA）=1．
（1）求角C；
（2）若c=，△ABC的周长为5+，求△ABC的面积S．
22．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x）+5，其中a∈R．
（1）当a∈[﹣1，1]时，f'（x）≥0恒成立，求x的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由．
　
2016-2017学年江西省高三（上）第一次联考数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，则（ UA）∪B为（　　）
A．{1}
B．{1，5}
C．{1，4}
D．{1，4，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}先求出CUA={1，5}，再由B={1，4}，能求出（CUA）∪B．
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，
∴CUA={1，5}，
∵B={1，4}，
∴（CUA）∪B={1，4，5}．
故选：D．
　
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
【考点】四种命题．
【分析】将原命题的条件与结论进行交换，得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，
因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
故选B．
　
3．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（　　）
A．（﹣3，1]
B．（﹣3，1）
C．[1，2）
D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：由x2﹣4x+3≥0，得：x≤1或x≥3．
所以B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}={x∈R|x≤1或x≥3}，
又A={x∈R|﹣3＜x＜2}，
所以A∩B={x∈R|﹣3＜x＜2}∩{x∈R|x≤1或x≥3}={x|﹣3＜x≤1}．
故选A．
　
4．函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（　　）
A．（﹣2，1）
B．（﹣2，1]
C．[﹣2，1）
D．[﹣2，﹣1]
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
【分析】根据题意可得，解不等式可得定义域．
【解答】解：根据题意可得
解得﹣2＜x≤1
所以函数的定义域为（﹣2，1]
故选B
　
5．命题p： x∈R，x＞1的否定是（　　）
A．￢p： x∈R，x≤1
B．￢p： x∈R，x≤1
C．￢p： x∈R，x＜1
D．￢p： x∈R，x＜1
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是特称命题，
则命题的否定是： x∈R，x≤1，
故选：A
　
6．已知函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于（　　）
A．
B．
C．2
D．16
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】由题意可得2α=，求出
α=﹣，由此求出f（4）=
运算求得结果．
【解答】解：函数f（x）=xα
的图象经过点，
故有
2α=，∴α=﹣．
∴f（4）===，
故选B．
　
7．已知tan（π﹣α）=﹣，且α∈（﹣π，﹣），则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解．
【解答】解：∵α∈（﹣π，﹣），tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣，可得：tanα=，
∴====﹣．
故选：A．
　
8．函数f（x）=满足f（）+f（a）=2，则a的所有可能值为（　　）
A．
B．
C．1
D．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用函数的解析式，通过讨论a的范围，列出方程求解即可．
【解答】解：函数f（x）=满足f（）+f（a）=2，
当a∈（﹣1，0）时，可得：
+2cosaπ=2，
可得cosa，
解得a=．
当a＞0时，f（）+f（a）=2，
化为：
+e2a﹣1=2，
即e2a﹣1=1，
解得a=．
则a的所有可能值为：．
故选：D．
　
9．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（　　）
A．50元
B．60元
C．70元
D．100元
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】设售价，利用销售额减去成本等于利润，构建函数，利用配方法，即可求得结论．
【解答】解：设销售定价为a元，那么就是提高了（a﹣50）元，则销售件数减少10（a﹣50）个，所以一个月能卖出的个数是[500﹣10（a﹣50）]，每单位商品的利润的是（a﹣40）元，
则一个月的利润y=（a﹣40）[500﹣10（a﹣50）]=﹣10a2+1400a﹣40000=﹣10（a﹣70）2+9000，
∴当a=70时，y取得最大值9000，
∴当定价为70时，能获得最大的利润9000元，
故选：C．
　
10．若a=2，b=ln2，c=log5sin，则（　　）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】根据指数函数和对数函数的性质，比较和0，1的大小关系即可．
【解答】解：a=2＞1，0＜b=ln2＜1，c=log5sin＜0，
∴a＞b＞c，
故选：A
　
11．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=alnx﹣ax+1，当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，则a=（　　）
A．﹣2
B．2
C．±1
D．1
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】由奇函数f（x）的图象关于原点对称，由题意可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为﹣1，求得当x∈（0，2）时，f（x）的导数和单调区间，确定a＞0，f（1）取得最大值﹣1．解方程可得a的值．
【解答】解：y=f（x）是奇函数，可得f（x）的图象关于原点对称，
由当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，
可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为﹣1，
由f（x）=alnx﹣ax+1的导数为f′（x）=﹣a=，
由最大值可得a＞0，f（x）在（1，2）递减，在（0，1）递增．
最大值为f（1）=1﹣a=﹣1，
解得a=2．
故选：B．
　
12．函数y=的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数在x=0时，解析式无意义，可得函数图象与y轴无交点，利用排除法，可得答案．
【解答】解：当x=0时，解析式的分母为0，解析式无意义，
故函数图象与y轴无交点，
故排除A，B，D，
故选：C
　
二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠C=60°，b=2，c=2，则a=　4　．
【考点】余弦定理．
【分析】由已知及余弦定理可得：a2﹣2a﹣8=0，即可解得a的值．
【解答】解：∵∠C=60°，b=2，c=2，
∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：12=a2+4﹣2a，整理可得：a2﹣2a﹣8=0，
∴解得：a=4或﹣2（舍去），
故答案为：4．
　
14．若方程x2﹣mx﹣1=0有两根，其中一根大于2，另一根小于2的充要条件是　（，+∞）　．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】设f（x）=x2﹣mx﹣1，则由题意可得f（2）=3﹣2m＜0，由此求得m的范围．
【解答】解：设f（x）=x2﹣mx﹣1，则由方程x2﹣mx﹣1=0的两根，一根大于2，另一根小于2，
可得f（2）=4﹣2m﹣1＜0，求得m＞，
故答案为：（，+∞）．
　
15．函数f（x）=loga（3﹣ax）在区间（2，6）上递增，则实数a的取值范围是　　．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】由题意可知内函数为减函数，则外函数对数函数为减函数，求出a的范围，再由内函数在区间（2，6）上恒大于0求出a的范围，取交集得答案．
【解答】解：∵a＞0且a≠1，
∴内函数g（x）=3﹣ax为定义域内的减函数，
要使函数f（x）=loga（3﹣ax）在区间（2，6）上递增，
则外函数y=logag（x）为定义域内的减函数，则0＜a＜1；
又g（x）=3﹣ax在区间（2，6）上递减，
∴g（x）≥g（6）=3﹣6a≥0，即a≤．
∴实数a的取值范围是．
故答案为：．
　
16．若函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，则下列结论中正确的序号是　①②　．
①图象C关于直线x=对称；
②图象C关于点（，0）对称；
③函数f（x）在区间（﹣，）内不是单调的函数；
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据三角函数y=Asin（ωx+φ）图象“对称中心为零点，对称轴处取最值”的结论，验算可得①正确，②是真命题．由正弦函数的单调性，得函数f（x）的一个增区间是[﹣，]，得③是假命题；根据函数图象平移的公式，可得④中的平移得到的函数为y=3sin（2x﹣），故④不正确．
【解答】解：因为当x=时，f（x）=3sin（2×﹣）=3sin，
所以直线x=是图象的对称轴，故①正确；
因为当x=时，f（x）=3sin（2×﹣）=0，
所以函数图象关于点（，0）对称，故②正确；
令﹣≤2x﹣≤，解得x∈[﹣，]，
所以函数的一个增区间是[﹣，]，因此f（x）在区间[0，]上是增函数，故③不正确；
由y=3sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数表达式为
y=3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣），所以所得图象不是函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象C，故④不正确
故答案为：①②．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先化简p，q，（1）p是q的充分不必要条件得到，解得即可；
（2）非p”是“非q”的充分不必要条件，得到q是p的充分不必要条件，得到，解得即可．
【解答】解：p：﹣x2+7x+8≥0，即x2﹣7x﹣8≤0，解得﹣1≤x≤8，
q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0，得到1﹣2m≤x≤1+2m
（1）∵p是q的充分不必要条件，
∴[﹣1，8]是[1﹣2m，1+2m]的真子集．
∴
∴m≥．
∴实数m的取值范围为m≥．
（2）∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件．∴，
∴1≤m≤．
∴实数m的取值范围为1≤m≤．
　
18．若函数f（x）=ex+x2﹣mx，在点（1，f（1））处的斜率为e+1．
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率，求解即可．
（2）求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
【解答】解：（1）f'（x）=ex+2x﹣m，∴f'（1）=e+2﹣m，即e+2﹣m=e+1，解得m=1；
实数m的值为1；…
（2）f'（x）=ex+2x﹣1为递增函数，∴f'（1）=e+1＞0，f'（﹣1）=e﹣1﹣3＜0，
存在x0∈[﹣1，1]，使得f'（x0）=0，所以f（x）max=max{f（﹣1），f（1）}，
f（﹣1）=e﹣1+2，f（1）=e，
∴f（x）max=f（1）=e…
　
19．已知函数f（x）=msin2x﹣cos2x﹣，x∈R，若tanα=2且f（α）=﹣．
（1）求实数m的值及函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，π]上的递增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
【分析】（1）利用同角三角函数关系和已知条件f（α）=﹣求得，由此得到m的值；则易得函数f（x）=sin（2x﹣）﹣1，根据正弦函数的性质来求最小正周期；
（2）利用（1）中得到的函数解析式和正弦函数的单调增区间解答．
【解答】解：（1），
又∵，
∴，即；
故，
∴函数f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的递增区间是，
∴，所以在[0，π]上的递增区间是[0，]∪[，π]．
　
20．已知f（x）=x2+ax+．
（1）若b=﹣2，对任意的x∈[﹣2，2]，都有f（x）＜0成立，求实数a的取值范围；
（2）设a≤﹣2，若任意x∈[﹣1，1]，使得f（x）≤0成立，求a2+b2﹣8a的最小值，当取得最小值时，求实数a，b的值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）由题意可得，解得即可，
（2）由题意可得f（x）max=f（﹣1）≤0，再根据基本不等式即可求出a2+b2﹣8a的最小值．
【解答】解：（1），对于x∈[﹣2，2]恒有f（x）＜0成立，
∴，解得，…
（2）若任意x∈[﹣1，1]，使得f（x）≤0成立，又a≤﹣2，
f（x）的对称轴为，在此条件下x∈[﹣1，1]时，f（x）max=f（﹣1）≤0，
∴，
及a≤﹣2得a+b﹣1≥0， b≥1﹣a＞0 b2≥（1﹣a）2，
于是，
当且仅当a=﹣2，b=3时，a2+b2﹣8a取得最小值为29．
　
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 （cosB+cosA）=1．
（1）求角C；
（2）若c=，△ABC的周长为5+，求△ABC的面积S．
【考点】余弦定理．
【分析】（1）由题意和正、余弦定理化简已知的式子，由两角和的正弦公式、诱导公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；
（2）由题意求出a+b的值，由余弦定理化简后求出ab的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵，
∴由正、余弦定理得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
则2cosCsin（A+B）=sinC，即2sinCcosC=sinC，
∵sinC≠0，∴，
由0＜C＜π得，；…
（2）由条件得，，且，
∴a+b=5，由余弦定理得：a2+b2﹣2abcosC=7，
则（a+b）2﹣3ab=7，解得ab=6，
∴△ABC的面积…
　
22．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x）+5，其中a∈R．
（1）当a∈[﹣1，1]时，f'（x）≥0恒成立，求x的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数的导数，令h（a）=2（x2+x﹣1）a+1，要使f′（x）≥0，则使h（a）≥0即可，而h（a）是关于a的一次函数，列出不等式求解即可．
（2）令g（x）=2ax2+ax﹣a+1，x∈（﹣1，+∞），
当a=0时，当a＞0时，①当时，②当时，当a＜0时，求解函数的极值以及判断函数的单调性．
【解答】解：（1）f′（x）=+a（2x﹣1）=，x∈（﹣1，+∞），（1）
令h（a）=2（x2+x﹣1）a+1，要使f′（x）≥0，则使h（a）≥0即可，而h（a）是关于a的一次函数，
∴，解得或，
所以x的取值范围是…
（2）令g（x）=2ax2+ax﹣a+1，x∈（﹣1，+∞），
当a=0时，g（x）=1，此时f（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上递增，无极值点；
当a＞0时，△=a（9a﹣8），
①当时，△≤0，g（x）≥0 f（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上递增，无极值点；
②当时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个根为x1，x2（不妨设x1＜x2），
因为，所以，由g（﹣1）=1＞0，∴，
所以当x∈（﹣1，x1），g（x）＞0 f（x）＞0，函数f（x）递增；
当x∈（x1，x2），g（x）＜0 f（x）＜0，函数f（x）递减；
当x∈（x2，+∞），g（x）＞0 f（x）＞0，函数f（x）递增；因此函数有两个极值点，
当a＜0时，△＞0，由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1，
所以当x∈（﹣1，x2），g（x）＞0 f（x）＞0，函数f（x）递增；
当x∈（x2，+∞），g（x）＜0 f（x）＜0，函数f（x）递减；因此函数有一个极值点，
综上，当a＜0时，函数有一个极值点；
当时，函数无极值点；
当时，函数有两个极值点…
　
2016年12月29日