高中数学 必修1 第一章 集合与函数的概念 复习+练习

第一章
集合与函数的概念
一、集合
1．集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
2．常用数集及其记法
表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集．
3．集合与元素间的关系
对象与集合的关系是，或者，两者必居其一．
4．集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合．
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合．
③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素．
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合．
5．集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集．
②含有无限个元素的集合叫做无限集．
③不含有任何元素的集合叫做空集（），例如．
6．子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
（或）
A中的任一元素都属于B
（1）AA（2）（3）若且，则（4）若且，则
或
真子集
AB（或BA）
，且B中至少有一元素不属于A
（1）（A为非空子集）（2）若且，则
集合相等
A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
（1）AB（2）BA
7．已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集．
8．交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
且
（1）（2）（3），
并集
或
（1）（2）（3），
补集
例1设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（
）．
答案：A
解析：简单列举两个集合的一些元素，，，
易知BA，故答案选A．
另解：由，易知BA，故答案选A．
例2若集合，且，求实数的值．
解：由，因此，．
（i）若时，得，此时，；
（ii）若时，得．
若，满足，解得．
故所求实数的值为或或．
点评：在考察“”这一关系时，不要忘记“”
，因为时存在．
从而需要分情况讨论．
题中讨论的主线是依据待定的元素进行．
例3已知集合A＝{a，a+b，a+2b}，B＝{a，ax，ax2}．
若A＝B，求实数x的值．
解：若a+ax2－2ax＝0，
所以a（x－1）2＝0，即a＝0或x＝1．
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均相同，故舍去．
若2ax2－ax－a＝0．
因为a≠0，所以2x2－x－1＝0，
即（x－1）（2x+1）＝0．
又x≠1，所以只有．
经检验，此时A＝B成立．
综上所述．
例4已知集合，，且，求实数m的取值范围．
解：由，可得．
在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示：
由图形可知，．
点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题．
例5已知全集，，，求，，，
，并比较它们的关系．
解：由，则．
由，则，
由，，则，
．
由计算结果可以知道，，．
另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出结果．
点评：可用Venn图研究与，在理解的基础上记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题．
训练1设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
（1）若B A，求实数m的取值范围；
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
（3）当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解:
（1）当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝ ，满足B A．
当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B A成立，
只需，即2≤m≤3．
综上，当B A时，m的取值范围是{m|m≤3}．
（2）当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
∴集合A的非空真子集个数为28－2＝254．
（3）∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
又不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，
∴当B＝ ，即m＋1＞2m－1，得m＜2时，符合题意；
当B≠ ，即m＋1≤2m－1，得m≥2时，
或，解得m＞4．
综上，所求m的取值范围是{m|m＜2或m＞4}．
二、【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
1．含绝对值的不等式的解法
不等式
解集
把看成一个整体，化成，型不等式来求解
2．一元二次不等式的解法
判别式
二次函数的图象
一元二次方程的根
（其中
无实根
的解集
或
R
的解集
三、函数的概念与性质
1．函数的概念
（1）函数的概念，函数三要素（定义域、值域和对应法则，当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数）．
（2）区间:
闭区间{x|a≤x≤b}＝[a，b]，
开区间{x|a＜x＜b}＝（a，b）；
半开半闭区间{x|a≤x＜b}＝，
{x|a＜x≤b}＝；
，，，，．
例1
求下列函数的定义域：（1）；（2）．
解：（1）由，解得且，所以原函数定义域为．
（2）由，解得且，所以原函数定义域为．
例2
求下列函数的值域：（1）；（2）．
解：（1），
所以值域为．
（2）令，则
，，根据二次函数的图像和性质得原函数的值域是．
例3
（1）已知函数，求的表达式
；
（2）已知函数满足，求的表达式．
解：（1）设，解得，所以，即．
（2）把中的替换成得，然后把和当作未知数联立方程求解得．
点评：此题解法中突出了换元法的思想．
这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等．
例4
已知函数．
（1）求的值；
（2）计算：．
解：（1）由．
（2）原式
点评：对规律的发现，能使我们实施巧算．
正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键．
2．函数的表示法
（1）函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）．
（2）分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）．
（3）一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．记作“”．
判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f．
例1已知f（x）＝
，求f[f（0）]的值．
解：∵
，
∴
f（0）＝．
又
∵
＞1，
∴
f（）＝（）3+（）－3＝2+＝，即f[f（0）]＝．
例2
（1）画出函数的图象；
（2）用表示不超过x的最大整数，例如，，当时，作出函数
的图象．
解：（1），
所以，函数的图象如右图所示．
（2）由题意当时，，
则，，图像如右图．
点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象．
3．函数的单调性和最大（小）值
（1）增函数：设函数y＝f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数．
仿照增函数的定义可定义减函数．
（2）如果函数f（x）在某个区间D上是增函数或减函数，就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f（x）的单调区间．在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如图1），减函数的图象从左向右是下降的（如图2）．由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性．
（3）判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x＜x→计算f（x）－f（x）
→判断符号→下结论．
（4）最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有≤M或（≥M）；存在x0∈I，使得
＝
M．
那么，称M是函数的最大（小）值．
（5）最值的求法：
单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值．
图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值．
（6）对勾函数：形如，如图，在上单调增，在上单调减，值域为．
例1
求下列函数的单调区间：
（1）；（2）；
（3）
．
解：（1），其图象如右．
由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数．
（2），其图象如右．
由图可知，函数在、上是增函数，
在、上是减函数．
（3）∵
，
∴
把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，
再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示．
由图象得在上单调递增，在上单调递增．
例2
已知函数的最小值为，写出的表达式．
解：，所以对称轴为固定，而区间[t，t+1]是变动的，因此有
（1）当t+1≤－，即t≤－时，h（t）＝f（t+1）＝
；
（2）当＞－时，；
（3）当t≤－＜
t+1，即－＜≤－时，．
综上可知＝
－
4．函数的奇偶性
（1）奇函数:，图形关于原点对称；偶函数：，图象关于y轴对称．
（2）判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别与的关系．
例1
已知是偶函数，时，，求时的解析式．
解：当时，，又由于是偶函数，则，
所以，当时，．
例2
设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围．
解：∵
在区间上是减函数，
∴
的图象在y轴左侧递减．
又
∵
是奇函数，
∴的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减．
又
，解得，
所以的图象在R上递减．
∵
，
∴
，解得．
本章整合
B
A．
B．
C．
D．
-2
4
m
x
B
A
4
m
x