高中数学 必修1 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习+练习

第二章
基本初等函数（Ⅰ）
一、指数与指数幂的运算
1．根式的概念
①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．
②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．
③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，
．
2．分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
3．指数幂的运算性质
①
②
③
例1
化简：（1）；
（2）（a＞0，b＞0）；
（3）．
解：（1）原式＝．
（2）原式＝＝＝＝．
（3）原式＝．
点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂．正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键．
例2
化简与求值：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝
＝
＝＝4．
（2）原式＝
＝＝．
点评：形如的双重根式，当是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧．
而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第（2）小题也体现了一种消去法的思想．
第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得．
二、指数函数及其性质
1．指数函数
函数名称
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．
例1
求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）要使有意义，其中自变量x需满足，即，∴
其定义域为．
（2）要使有意义，其中自变量x需满足，即，∴
其定义域为．
（3）要使有意义，其中自变量x需满足，即，∴其定义域为．
例2
求下列函数的值域：
（1）；
（2）．
解：（1）观察易知，
则有．
∴
原函数的值域为．
（2）．
令，易知．
则．
结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到在上为增函数，
所以．
∴
原函数的值域为．
例3
函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
解：从曲线的变化趋势，可以得到函数为减函数，从而0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数的图象向左平移|－b|个单位而得，所以－b＞0，即b＜0．
所以选D．
点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a的范围．
根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b的范围．
也可以取x＝1时的特殊点，得到，从而b＜0．
例4
已知．
（1）讨论的奇偶性；
（2）讨论的单调性．
解：（1）的定义域为R．
∵
．
∴
为奇函数．
（2）设任意，且，则
．
由于，从而，即．
∴
，即，
∴
为增函数．
点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决．需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果．
例5
求下列函数的单调区间：（1）；
（2）．
解：（1）设．
由知，在上为减函数，在上为增函数．
根据的单调性，当时，y关于u为增函数；当时，y关于u为减函数．
∴
当时，原函数的增区间为，减区间为；
当时，原函数的增区间为，减区间为．
（2）函数的定义域为．
设．
易知为减函数．
而根据的图象可以得到，在区间与上，y关于u均为减函数．
∴在上，原函数为增函数；在上，原函数也为增函数．
点评：研究形如的函数的单调性，可以有如下结论：当时，函数的单调性与的单调性相同；当时，函数的单调性与的单调性相反．
而对于形如的函数单调性的研究，也需结合的单调性及的单调性进行研究．
复合函数的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出与两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数．为何有“同增异减”？我们可以抓住
“x的变化→的变化→的变化”这样一条思路进行分析．
三、对数与对数运算
1．对数的定义
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：．
2．几个重要的对数恒等式
，，．
3．常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
4．对数的运算性质
如果，那么
加法：；
减法：；
数乘：；
；
；
四、对数函数及其性质
1．对数函数
函数名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
2．反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
反函数的求法：
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式中反解出；
③将改写成，并注明反函数的定义域．
例1
比较大小：（1），，；
（2），，．
解：（1）∵
在上是减函数，且，
∴
．
又
，所以．
（2）由
，得．
又，，
所以．
例2求下列函数的定义域：（1）；（2）．
解：（1）由，得，解得．
所以原函数的定义域为．
（2）由，即，
所以，解得．
所以，原函数的定义域为．
例3已知函数的区间上总有，求实数a的取值范围．
解：∵
，
∴
当时，，即．
∵
，
∴
，
解得．
当时，，即．
∵
，
∴
，
解得．
综上可得，实数a的取值范围是．
点评：先对底数a分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a的不等式组，解不等式（组）而得到参数的范围．解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论．
例4讨论函数的单调性．
解：先求定义域，由，
解得．
设，易知为减函数．
又∵
函数是减函数，故函数在上单调递增．
例5
比较、、的大小．
解：在同一坐标系中分别画出的图象，分别作出当自变量x取3，0．4，0．3时的函数值．
观察图象容易得到：．
五、幂函数
1．幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
2．幂函数的图象
3．幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
例1已知幂函数与的图象与、轴都没有公共点，且的图象关于y轴对称，求的值．
解：∵
幂函数图象与、轴都没有公共点，∴
，解得．
又
∵
的图象关于y轴对称，
∴
为偶数，即得．
例2幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则（
）．
A．
B．
C．
D．
答案：C
解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线的右侧，图象由下至上，依次是，，，，，所以有．选B．
点评：观察第一象限内直线的右侧，结合所记忆的分布规律．
注意比较两个隐含的图象与．
本章整合：
0
1
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1
0
1
基
本
初
等
函
数
（Ⅰ）
指
数
与
指
数
函
数
指
数
根式
分数指数幂
无理数指数幂
运算性质
指
数
函
数
定义
图象:
“一撇或一捺”，
过点（0，1）．
性质:
位于x轴上方，以x轴为渐近线
对数与对数函数
对
数
定义：
运算性质
对
数
函
数
定义：
图象：位于y轴右侧，以y轴为渐近线．
性质：过点（1，0）
幂函数
定义
具体的五
个幂函数
特征：过点（1，1），当时在上递增；当时，在上递减。
换底公式：
图象