高中数学 必修2 第四章 圆与方程 复习+练习

第4章
圆与方程
一、圆的标准方程
知识要点：
1．圆的标准方程：方程表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆．
2．求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；
（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程．
例1过点、且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（
）．
A．（x－3）2＋（y＋1）2＝4
B．（x＋3）2＋（y－1）2＝4
C．（x－1）2＋（y－1）2＝4
D．（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
答案：C
解析：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A、C满足条件，再把A点坐标（1，－1）代入圆方程．A不满足条件．所以，选C．
另解：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心C在直线x+y－2=0上，∴b=2－a．由|CA|=|CB|，得
（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得a=1，b=1．因此，所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=4．选C．
例2求下列各圆的方程：
（1）过点，圆心在；（2）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点．
解：（1）设所求圆的方程为．则，解得．
∴圆的方程为．
（2）圆心在线段AB的垂直平分线上，代入直线得，圆心为，
半径．∴圆C的方程为．
二、圆的一般方程
知识要点：
圆的一般方程：方程（）表示圆心是，半径长为的圆．
例1求过三点A(2，2)、B(5，3)、C(3，－1)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为．则，解得．
∴圆的方程为．
例2设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程．
解：配方得，该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消去m，得，由得x=m＋3．
∴所求的轨迹方程是，．
三、直线与圆的位置关系
知识要点：
1．直线与圆的位置关系及其判定
方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或y，化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；
方法二：利用圆心（）到直线的距离，比较d与r的大小．
（1）相交；（2）相切；（3）相离．
2．直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容．同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式．
例1若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为
．
答案：将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式：（x－1）2＋y2＝1，其圆心为（1，0），半径为1，
由直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离，∴
a＝－1．
例2求直线被圆所截得的弦长．
解：由题意，列出方程组，消y得，得，．
设直线与圆交于点，，
则=．
另解：圆心C的坐标是，半径长，
圆心到直线的距离．
所以，直线被圆截得的弦长是．
四、圆与圆的位置关系
知识要点：
两圆的位置关系及其判定：
设两圆圆心分别为，半径分别为，则：
（1）两圆相交；（2）两圆外切；（3）两圆内切；
（4）两圆内含
（5）两圆外离．
例1已知圆：，圆：，试判断两圆的位置关系．
解：（1）∵圆的圆心为（3，0），半径为，圆的圆心为（0，2），半径为，又，
∴＜，∴圆与相交．
例2求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程，
解：设所求圆的方程为，即，
则所求圆的圆心为，
∵圆心在直线上，∴，解得，
∴所求圆的方程为．
五、直线与圆的方程的应用
知识要点：
坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题．
例1有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B两地相距10千米，顾客购物的标准是总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．
解：建立使A(－5，0)、B(5，0)的直角坐标系，设单位距离的运费是a元．
若在A地购货费用较低，则：价格＋A地运费≤价格＋B地运费．
即
．
∵a＞0，∴
8x2＋8y2＋100x＋200≤0，得(x＋)2＋y2≤()2
．
∴两地购物区域的分界线是以点C(－，0)为圆心，为半径的圆．
所以，在圆C内的居民从A地购物便宜，圆C外的居民从B地购物便宜，圆C上的居民从A、B两地购物总费用相等．
例2自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，
其反射光线所在的直线与圆相切，
求光线l所在的直线方程．
解：由已知可得圆C：关于x轴对称的圆的方程为，
其圆心（2，－2），易知l与圆相切．设l：
y－3=k(x＋3)，即kx－y＋3k＋3=0．∴，
整理得12k2＋25k＋12=0，解得或．
所以，所求直线方程为y－3=(x＋3)或
y－3=(x＋3)，即3x＋4y－3=0或4x＋3y＋3=0．
点评：关于求切线问题，利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件，是解决圆的切线方程的常用方法．如果由方程组思想，通过“”求切线方程也可，但过程要复杂些．
六、空间直角坐标系
知识要点：
1．空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3．空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x，
y，
z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，
y，
z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
4．在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零．
例1在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2，　4)．
解：点M的位置可按如下步骤作出：
先在x轴上作出横坐标是6的点，再将沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点，然后将沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M．M点的位置如图所示．
例2在长方体中，AB=12，AD=8，=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
解：以A为原点，射线AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)、B(12，0，0)、C(12，8，0)、D(0，8，0)、(0，0，5)、(12，0，5)、(12，8，5)、(0，8，5)．
例3已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系．
解：∵正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为．
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC、AB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2，0)、B(2，2，0)、C(－2，2，0)、D(－2，－2，0)、P(0，0，)．
点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标．
七、空间两点间的距离公式
知识要点：
1．空间两点、间的距离公式：．
2．坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标；③通过坐标运算得到答案．
3．对称问题，常用对称的定义求解．一般地，点P(x，
y，
z)关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x，
y，－z)、(－x，
y，
z)、(x，－y，
z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x，－y，－z)、(－x，
y，－z)、(－x，－y，
z)；关于原点的对称点的坐标为(－x，－y，－z)．
本章总结：
M（6，－2，4）
O
x
y
z
6
2
4