第三节
等腰三角形与直角三角形
1．(2016咸宁中考)如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为(
C
)
A．50°
B．45°
C．40°
D．30°
,(第1题图))
,(第2题图))
2．(2016深圳中考)如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是(
D
)
A．∠2＝60°
B．∠3＝60°
C．∠4＝120°
D．∠5＝40°
3．(2016荆门中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(
C
)
A．5
B．6
C．8
D．10
,(第3题图))
,(第4题图))
4．(2016陕西中考)如图，在△ABC
( http: / / www.21cnjy.com )中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(
B
)
A．7
B．8
C．9
D．10
5．(2016广州中考)如图，已知△ABC
( http: / / www.21cnjy.com )中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于(
D
)
A．3
B．4
C．6
D．5
,(第5题图))
,(第6题图)
6．(2016达州中考)如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE于点E.若∠A＝42°，则∠D＝__48°__.
7．(2016泰州中考)如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝__20°__．
,(第7题图))
,(第9题图))
8．(2016随州中考)已知等腰三角形的一
( http: / / www.21cnjy.com )边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为__19或21或23__．
9．(2016龙岩中考)如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__．
10．(2016怀化中考)如图，已知AD＝BC，AC＝BD.
(1)求证：△ADB≌△BCA；
(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
证明：(1)在△ADB和△
( http: / / www.21cnjy.com )BCA中，∴△ADB≌△BCA(SSS)；(2)OA＝OB.理由如下：∵△ADB≌△BCA，∴∠DBA＝∠CAB，∴OA＝OB.
11．(2016雅安中考)如图所示，底
( http: / / www.21cnjy.com )边BC为2，顶角∠BAC为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于点D，则△ACE的周长为(
A
)
A．2＋2
B．2＋
C．4
D．3
12．(2016内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(
B
)
A.
B.
C.
D．不能确定
13．(2016连云港中考)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝(
C
)
A．86
B．64
C．54
D．48
14．(2016海南中考)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，如果BC＝6，那么线段BE的长度为(
D
)
A．6
B．6
C．2
D．3
,(第14题图))
,(第15题图))
15．(2016聊城中考)如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……，则正方形OB2
015B2
016C2
016的顶点B2
016的坐标是__(21__008，0)__．
16．(2016宁夏中考)在等边△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDF＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴DE＝CD＝2.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，在Rt△DEF中，EF＝DE·tan60°＝2.
17．(2016呼和浩特中考)已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
求证：(1)△ACE≌△BCD；
(2)2CD2＝AD2＋DB2.
证明：(1)∵△ACB和△ECD都
( http: / / www.21cnjy.com )是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE.∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD，∴∠DCB＝∠ECA.在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)；(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠CAB＝45°.又∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠CAE＝∠B＝45°，∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAB＝45°＋45°＝90°，∴在Rt△EAD中，AE2＋AD2＝ED2，在Rt△ECD中，CE2＋CD2＝ED2，CE＝CD，∴ED2＝2CD2.又∵AE＝BD，∴2CD2＝AD2＋DB2.第三节
等腰三角形与直角三角形)
贵阳五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
解答
18(2)
直角三角
形的判定
以正方形为背景利用全等三角形的性质判定直角三角形
5
5
2015
未考
2014
填空
15
等腰直角三角形
以等腰直角三角形为背景，结合动点，确定时间
4
解答
24
直角三角形的性质
以一副直角三角形为背景，将三角形折叠，求：(1)折痕长；(2)求两线段的最小值；(3)求点到线的距离
12
16
2013
解答
24
勾股定理
以三角形三边长为条件探索三角形的形状
12
12
2012
选择
8
直角三角形的性质
以直角三角形为背景，求线段的长
3
填空
15
等腰三角形的性质
以等腰三角形为背景，求角度
4
7
命题
规律
纵观贵阳市5年中考，本节内容多以选择、
( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答题形式出现，其中选择题考查了1次，填空题考查了2次，解答题考了3次，主要涉及等腰直角三角形，直角三角形的性质与判定．
命题
预测
预计2017年贵阳中考，本节内容仍为重点考查内容，主要利用直角三角形的性质进行计算，题型仍以选择、填空题为主.
贵阳五年中考真题及模拟)
直角三角形的有关计算(3次)
1．
(2012贵阳8题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是(
B
)
A．3
B．2
C.
D．1
(第1题图)
(第2题图)
2．(2014贵阳15题4分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16
cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，
沿A→D方向以
cm/s的速度向点D运动
( http: / / www.21cnjy.com )．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t
s(0＜t＜8)，则t＝__6__
s时，S1＝2S2.
3．(2014贵阳24题12分)如图，将一副
( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB＝6
cm.
(1)AE的长为__4__cm；
(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；
(3)求点D′到BC的距离．
解：∵Rt△ADC中，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝60°.∵E是CD边上的中点，∴AE＝DE，∴△ADE是等边三角形．∵△ADE沿着AE所在直线翻折得到△AD′E，∴△AD′E是等边三角形．∴∠AED′＝60°，∵∠EAC＝∠DAC－∠EAD＝30°，∴∠EFA＝90°，即AC所在直线垂直平分线段ED′，∴点E，D′关于直线AC对称．连接DD′交AC与点P，∴此时DP＋EP值最小，且DP＋EP＝DD′.∵△ADE是等边三角形，AD＝AE＝4，∴DD′＝2×AD·cos30°＝2×4×＝12，即DP＋EP的最小值是12；(3)连接CD′，BD′，过D′作D′G⊥BC于点G.∵AC垂直平分ED′，∴AE＝AD′，CE＝CD′.∵AE＝CE，∴AD′＝CD′＝4.∵AB＝BC，BD′＝BD′，∴△ABD′≌△CBD′(SSS)，∴∠D′BG＝45°，∴D′G＝GB.设D′G＝x
cm，则CG＝(6－x)cm，∴x2＋(6－x)2＝(4)2，解得x1＝3－，x2＝3＋(不合题意，舍去)．∴点D′到BC的距离为(3－)cm.
勾股定理(1次)
4．(2013贵阳24题12分)在△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC三边分别为6，8，9时，△ABC为__锐角__三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为__钝角__三角形；
(2)猜想，当a2＋b2__>__c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2__<__c2时，△ABC为钝角三角形；
(3)判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
解：∵c为最长边，∴4≤c＜6，①a2＋b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c<2时，△ABC是锐角三角形；②a2＋b2＝c2，c2＝20，c＝2，∴当c＝2时，△ABC是直角三角形；③a2＋b2＜c2，c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，△ABC是钝角三角形．
直角三角形的判定(1次)
5．(2016贵阳18题10分)如图，
( http: / / www.21cnjy.com )点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.
(1)求证：△ABF≌△CBE；
(2)判断△CEF的形状，并说明理由．
证明：(1)略；(2)△CEF是直角三角形．理由：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝135°.又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°，∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，∴△CEF是直角三角形．
等腰三角形的性质(1次)
6．(2012贵阳15题4分)如图，在△
( http: / / www.21cnjy.com )ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；……，按此做法进行下去，∠An的度数为____．
(第6题图)
(第7题图)
7．(2016贵阳适应性考试)如图
( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为__4或6__．
8．(2016贵阳模拟)如图，在平面
( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(2，4)或(3，4)或(8，4)__．
中考考点清单)
等腰三角形的性质与判定(高频考点)
1．等腰三角形
定义
有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底
性质
(1)等腰三角形两腰相等(即AB＝AC)；
(2)等腰三角形的两底角相等(即∠B＝∠C)；
(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；
(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；
(5)面积：S△ABC＝BC·AD
判定
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．(简称“__等角对等边__”)
2.等边三角形
定义
三边相等的三角形是等边三角形
性质
(1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)；
(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于60°(即∠A＝∠B＝∠C＝60°)；
(3)等边三角形内、外心重合；
(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；
(5)面积：S△ABC＝BC·AD
判定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
直角三角形的性质与判定(高频考点)
3．直角三角形
定义
有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形
性质
(1)直角三角形的两个锐角之和等于__90°__；
(2)直角三角形斜边上的__中线__等于斜边的一半(即BD＝AC)；
(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB＝AC)；
(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；
(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
判定
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；
(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；
(3)有两个角互余的三角形是直角三角形
4.等腰直角三角形
定义
顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形
性质
等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°
判定
(1)用定义判定；(2)有两个角为45°的三角形
中考重难点突破)
等腰三角形的性质与判定
【例1】(2016原创)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A＝________．
【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝B
( http: / / www.21cnjy.com )D，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠A＝x，则2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.
【学生解答】50°
1．(2016贵阳模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为(
B
)
A．30°
B．36°
C．40°
D．45°
,(第1题图))
,(第2题图))
2．(2016白银中考)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6
cm，则AC＝__6__cm.
3．(2016遵义中考)如图
( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°.AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝__35__°.
4．(2016襄阳中考)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AD＝2，∠DAC＝30°，求AC的长．
解：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AD＝2，∴AC＝＝4.
直角三角形的相关计算
【例2】(2016河南中考
( http: / / www.21cnjy.com ))如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10.DE垂直平分AC
交AB于点E，则DE的长为(
)
A．6
B．5
C．4
D．3
【解析】根据题意，DE是AC的垂直平分线．∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线．∵BC＝＝6，∴DE＝BC＝3.
【学生解答】D
5．(2016宁波中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为
(
B
)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
,(第5题图))
,(第6题图)
6．(2016南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(
A
)
A．1
B．2
C.
D．1＋
7．(2016娄底中考)如图，已知在Rt△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，则BE＋CF的值(
C
)
A．不变
B．增大
C．减小
D．先变大再变小
,(第7题图))
,(第8题图))
8．(2015广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，则连接相邻两边中点EF，以EF为边的正方形EFGH的周长为(
B
)
A.
B．2
C.＋1
D．2＋1
9．(2016株洲中考)如图，以直角三角形a
( http: / / www.21cnjy.com )、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有(
D
)
A．1
B．2
C．3
D．4
10．(2015贵阳考试说明)已知：如图，△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D作DH⊥AB，垂足为点H，交AC于E.若△ABD是等边三角形，求DE的长．
解：∵△ABD为等边三角形，
( http: / / www.21cnjy.com )AB＝10，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10，∵DH⊥AB，∴AH＝AB＝5，∴DH＝5，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠AEH＝45°，∴EH＝AH＝5，∴DE＝DH－EH＝5－5.
