本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第六节
二次函数的实际应用
贵阳五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
选择
9
二次函数的实际应用
求最值
3
3
命题规律
纵观贵阳近五年中考，此考点仅考查一次且以选择题的形式出现，但二次函数的数学模型在初中数学所处的地位以及“学以致用”的原则，此考点不能忽视.
命题预测
预计2017年会以考查一次函数与二次函数结合的实际应用问题为主，一般设问求函数的表达式，然后通过表达式求最值.
贵阳五年中考真题及模拟)
1．(2016贵阳中考3分)某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x2的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50
m架设两固定电缆的位置离地面高度为20
m的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为(
C
)www.21-cn-jy.com
A．12.75
m
B．13.75
m
C．14.75
m
D．17.75
m
2．(2016贵阳考试说明)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．2·1·c·n·j·y
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每
( http: / / www.21cnjy.com )个月的利润恰为2
200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2
200元？21·世纪
教育网
解：(1)y＝(210－10x)(50
( http: / / www.21cnjy.com )＋x－40)＝－10x2＋110x＋2
100(0402.5.∵a＝－10<0，∴当x＝5.5时，y有最大值2
402.5.∵0400(元)，当x＝6时，50＋x＝56，y＝2
400元，∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2
400元；(3)当y＝2
200时，－10x2＋110x＋2
100＝2
200，解得x1＝1，x2＝10.∴当x＝1时，50＋x＝51，当x＝10时，50＋x＝60.∴当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2
200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2
200元(或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2
200元)www-2-1-cnjy-com
3．(2016贵阳模拟)工艺商
( http: / / www.21cnjy.com )场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．21
cnjy
com
(1)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
(2)若每件工艺品按(1)中求得的进价
( http: / / www.21cnjy.com )进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售时，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？21cnjy.com
(3)在(2)的情况下，物价部门规定该商场在该工艺品的经营上每天获得的利润不能超过4
800元，而商场在该商品的经营中，每天所获得的利润不想低于4
704元，应该如何定价该工艺品？【来源：21cnj
y.co
m】
解：(1)设该工艺品标价为x元/件，则进价为(x－45)元，由题意可得：8[85%x－(x－45)]＝12[x－35－(x－45)]，解得x＝200，∴进价为：200－45＝155.答：这种工艺品的进价为155元，标价为200元；(2)设每天所获得的利润为W元，每件降价m元，则W＝(45－m)(100＋4m)＝－4m2＋80m＋4
500＝－4(m－10)2＋4
900，当m＝10时，W得到最大值为4
900，即当每件降价10元时，获利最多，为4
900元；(3)W＝－4m2＋80m＋4
500，当W＝4
800时，4
800＝－4m2＋80m＋4
500，解得：m＝15或m＝5，标价为195元或185元；当W＝4
704时，4
704＝－4m2＋80m＋4
500，解得m＝17或m＝3，标价为183元或197元，由函数图象性质得，商品的售价不小于183元且不大于185元，或者售价不小于195元且不大于197元．【出处：21教育名师】
中考考点清单)
二次函数的实际应用
解二次函数应用题步骤及关键点
步骤
关键点
(1)分析问题
明确题中的常量与变量及其它们之间的关系，确定自变量及函数
(2)建立模型，确定函数表达式
根据题意确定合适的表达式或建立恰当的坐标系
续表
(3)求函数表达式
变量间的数量关系表示及自变量的取值范围
(4)应用性质，解决问题
熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围
中考重难点突破)
二次函数的实际应用
【例】(2015贵阳考试说明)某电子厂商投
( http: / / www.21cnjy.com )产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100.(利润＝售价－制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？
(3)根据相关部门规定，这种
( http: / / www.21cnjy.com )电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？21世纪教育网版权所有
【解析】(1)根据每月的利润z＝(x－18)y，再把y＝－2x＋100代入即可求出z与x之间的函数关系式．
(2)把z＝440代入z＝－2x2＋136x－1
800，解这个方程即可．
(3)根据厂商每月的制造成本不超过540万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．21·cn·jy·com
【学生解答】
解：(1)z＝(x－18)y＝(x－18)(－2x＋100)＝－2x2＋136x－1
800；(2)由z＝440，得440＝－2x2＋136x－1
800，解这个方程得x1＝28，x2＝40，所以，销售单价定为28元或40元；(3)∵厂商每月的制造成本不超过540万元，每件制造成本为18元，∴每月的生产量为：小于等于30万件，y＝－2x＋100≤30，解得x≥35，又由限价40元，得35≤x≤40，∵z＝－2x2＋136x－1
800＝－2(x－34)2＋512，∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，∴x＝35时，z最大为510万元．当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
1．(2016咸宁中考)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．21教育网
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？
(3)若该网店每星期想要获得不低于6
480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
解：(1)y＝300＋30(60－x)＝－30x＋2
100；(2)设每星期的销售利润为W元，依题意，得W＝(x－40)(－30x＋2
100)＝－30x2＋3
300x－84
000＝－30(x－55)2＋6
750.∵a＝－30＜0，∴x＝55时，W最大值＝6
750(元)．即每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6
750元；(3)由题意，得－30(x－55)2＋6
750＝6
480，解这个方程，得x1＝52，x2＝58.∵抛物线W＝－30(x－55)2＋6
750的开口向下，∴当52≤x≤58时，每星期的销售利润不低于6
480元．∴在y＝－30x＋2
100中，k＝－30＜0，y随x的增大而减小．∴当x＝58时，y最小值＝－30×58＋2
100＝360.即每星期至少要销售该款童装360件．【来源：21·世纪·教育·网】
2．(2016丹东中考)某片果园有果树
( http: / / www.21cnjy.com )80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(kg)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示．2-1-c-n-j-y
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6
750
kg
(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(kg)最大？最大产量是多少？
解：(1)设函数的表达式为y＝kx＋b，该一次函数过点(12，74)，(28，66)，根据题意，得解得∴该函数的表达式为y＝－0.5x＋80；(2)根据题意，得(－0.5x＋80)(80＋x)＝6
750，解这个方程得，x1＝10，x2＝70.∵投入成本最低，∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6
750
kg；(3)根据题意，得w＝(－0.5x＋80)
(80＋x)＝－0.5x2＋40x＋6
400＝－0.5(x－40)2＋7
200.∵a＝－0.5<0，则抛物线开口向下，函数有最大值．∴当x＝40时，w最大值为7
200
kg.∴当增种果树40棵时，果园的最大产量是7
200
kg.
21世纪教育网
--
中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第六节
二次函数的实际应用
1．(2016郴州中考)某商店原来平均每
( http: / / www.21cnjy.com )天可销售某种水果200
kg，每千克可盈利6元．为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20
kg.2·1·c·n·j·y
(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
(2)若要平均每天盈利960元，则每千克降价多少元？
解：(1)y＝(200＋20x)(6－x)
( http: / / www.21cnjy.com )，即y＝－20x2－80x＋1
200；(2)令y＝960，得－20x2－80x＋1
200＝960，即x2＋4x－12＝0.解得x1＝2或x2＝－6(舍去)．答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．
2．(2016绍兴中考)课本中有一个例题：
( http: / / www.21cnjy.com )有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6
m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35
m时，透光面积最大值约为1.05
m2.www.21-cn-jy.com
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6
m，利用图3，解答下列问题：21教育网
(1)若AB为1
m，求此时窗户的透光面积？
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
解：(1)由已知可得：AD＝，∴S＝
m2；(2)设AB＝x
m，则AD＝3－x，∵3－x>0，∴0m2>1.05
m2，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．21cnjy.com
3．(2016内江中考)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30
m的篱笆围成．已知墙长为18
m(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x
m.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)若苗圃园的面积为72
m2，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8
m，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；21·cn·jy·com
(3)当这个苗圃园的面积不小于100
m2时，直接写出x的取值范围．
解：(1)苗圃园与墙平行的
( http: / / www.21cnjy.com )一边长为(30－2x)m.依题意可列方程x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0.解得x1＝3，x2＝12；(2)依题意，得8≤30－2x≤18.解得6≤x≤11.面积S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)．①当x＝时，S有最大值，S最大＝；②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88；(3)5≤x≤10.
4．(2016枣庄中考)如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝(k＞0)的图象与BC边交于点E.21·世纪
教育网
(1)当F为AB的中点时，求该函数的表达式；
(2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
解：(1)∵在矩形OABC中，OA＝3
( http: / / www.21cnjy.com )，OC＝2，∴B(3，2)，∵F为AB的中点，∴F(3，1)，∵点F在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3，∴该函数的表达式为y＝；(2)由题意知E，F两点坐标分别为E(，2)，F(3，)，∴S△EFA＝AF·BE＝×(3－)＝－k2＋k＝－(k－3)2＋，∴当k＝3时，S有最大值，S最大值＝.
5．(2016襄阳中考)襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：y＝
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价(元/件)的函数表达式；
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．
解：(1)W＝(2)由(1)知，当40≤x<60时，W＝－2(x－50)2＋800.∵－2<0，，∴当x＝50时，W有最大值800.当60≤x≤70时，W＝－(x－55)2＋625.∵－1＜0，∴当60≤x≤70时，W随x的增大而减小．∴当x＝60时，W有最大值600.∵800>600，∴当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；(3)当40≤x＜60时，令W＝750，得－2(x－50)2＋800＝750，解得x1＝45，x2＝55.由函数W＝－2(x－50)2＋800的性质可知，当45≤x≤55时，W≥750.当60≤x≤70时，W最大值为600＜750，∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.
6．(2016随州中考)九年级(3
( http: / / www.21cnjy.com ))班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．21世纪教育网版权所有
时间x(天)
1
30
60
90
每天销售量p(件)
198
140
80
20
(1)求出w与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5
600元？请直接写出结果．
解：(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y＝kx＋b(k、b为常数且k≠0)，∵y＝kx＋b经过点(0，40)，(50，90)，∴解得∴y＝x＋40；当50000；当50＜x≤90时，w＝(90－30)(－2x＋200)＝－120x＋12
000.综上所述，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w＝(2)当0≤x≤50时，w＝－2x2＋180x＋2
000＝－2(x－45)2＋6
050.∵a＝－2＜0且0≤x≤50，∴当x＝45时，w最大＝6
050(元)．当50＜x≤90时，w＝－120x＋12
000，∵k＝－120＜0，w随x增大而减小，∴当x＝50时，w最大＝6
000(元)．∵6
050＞6
000，∴x＝45时，w最大＝6
050元，即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6
050元；(3)24天．
21世纪教育网
--
中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
版权所有@21世纪教育网
