江西省赣中南五校联考2017届高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年江西省赣中南五校联考高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）
　
一、单项选择题（每题5分，共60分）
1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合 R（M∩N）等于（　　）
A．（﹣∞，]
B．（，1）
C．（﹣∞，]∪[1，+∞）
D．[1，+∞）
2．如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（　　）
A．a≥9
B．a≤﹣3
C．a≥5
D．a≤﹣7
3．函数y=的定义域为（　　）
A．（，1）
B．（，∞）
C．（1，+∞）
D．（，1）∪（1，+∞）
4．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（　　）
A．3
B．6
C．9
D．12
5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（　　）
A．2
B．
C．2
D．2
6．已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（　　）
A．2
B．4
C．16
D．不存在
7．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0 a1，h1=h0 a2， 运算规则为：0 0=0，0 1=1，1 0=1，1 1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（　　）
A．11010
B．01100
C．10111
D．00011
8．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（　　）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
11．已知双曲线的方程为，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数y=f（x）的大致图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式应为（　　）
A．f（x）=x﹣
B．f（x）=x+
C．f（x）=
D．f（x）=x+
　
二、填空题（每空5分，共20分）
13．（理）（1+cosx）dx=　　．
14．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2
000户，其中农民家庭1
800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是．（填序号）　　
①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．
15．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：＞1，若“￢q且p”为真，则x的取值范围是　　．
16．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．
上述命题中所有正确命题的序号为　　．
　
三、综合题：必考题每题12分，选考题共10分；总分70分．
17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，f（x）= ﹣（2m+） ||；A、B、C三点满足满足=+．
（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤），的最小值为﹣，求实数m的值．
18．已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N
．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；
（2）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N
），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．
19．2016年里约奥运会在巴西里约举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答．知识问答有A，B，C，D四个题目，答题者必须按A，B，C，D顺序依次进行，答对A，B，C，D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减．答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用．
假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A，B，C，D四个题回答正确的概率依次是，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）
用X表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求X的分布列和数学期
望；
（Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率．
20．四棱锥S﹣ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角S﹣CM﹣D的余弦值．
21．如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限．
（1）求抛物线C的方程及点A、点B的坐标；
（2）若点Q（x0，y0）是抛物线C异于A、B的一动点，分别以点A、B、Q为切点作抛物线C的三条切线l1、l2、l3，若l1与l2、l1与l3、l2与l3分别相交于D、E、H，设△ABQ，△DEH的面积依次为S△ABQ，S△DEH，记λ=，问：λ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
22．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若 x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围；
（3）若a=，证明：ex﹣1f（x）≥x．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
23．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且满足BD BE=BA BF．求证：
（1）EF⊥FB；
（2）∠DFB+∠DBC=90°．
　
[选修4-4：坐标与参数方程]
24．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．
（1）求|AB|的值；
（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．
　
[选修4-5：不等式选讲]
25．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）
（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．
　
2016-2017学年江西省赣中南五校联考高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、单项选择题（每题5分，共60分）
1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合 R（M∩N）等于（　　）
A．（﹣∞，]
B．（，1）
C．（﹣∞，]∪[1，+∞）
D．[1，+∞）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先求出集合M，N，再根据集合的交集个补集计算即可
【解答】解：∵集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，
∴M=（﹣1，1），N=（﹣，2），
∴M∩N=（﹣，1）
∴ R（M∩N）=（﹣∞，]∪[1，+∞）
故选：C
　
2．如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（　　）
A．a≥9
B．a≤﹣3
C．a≥5
D．a≤﹣7
【考点】二次函数的性质．
【分析】求出函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=，令≥4，即可解出a的取值范围．
【解答】解：函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得≥4，，得a≥9．
故选A．
　
3．函数y=的定义域为（　　）
A．（，1）
B．（，∞）
C．（1，+∞）
D．（，1）∪（1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点．
【分析】由log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0可解得，
【解答】解：由题意知log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0，
由此可解得，
故选A．
　
4．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（　　）
A．3
B．6
C．9
D．12
【考点】函数的值．
【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．
【解答】解：函数f（x）=，
即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，
f（log212）==12×=6，
则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．
故选C．
　
5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（　　）
A．2
B．
C．2
D．2
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，
画出图形，结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，
如图所示；
且三棱锥的高为SD=2，底面三角形边长BC=2，高AD=2；
∴该三棱锥的最长棱是SA===2．
故选：C．
　
6．已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（　　）
A．2
B．4
C．16
D．不存在
【考点】基本不等式；直线的两点式方程．
【分析】由点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上可求得直线AB的方程，即点P（x，y）的坐标间的关系式，从而用基本不等式可求得2x+4y的最小值．
【解答】解：由A（3，0）、B（1，1）可求直线AB的斜率kAB=，∴由点斜式可得直线AB的方程为：x+2y=3．
∴2x+4y=2x+22y（当且仅当x=2y=时取“=”）．
故选B．
　
7．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0 a1，h1=h0 a2， 运算规则为：0 0=0，0 1=1，1 0=1，1 1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（　　）
A．11010
B．01100
C．10111
D．00011
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】首先理解 的运算规则，然后各选项依次分析即可．
【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0 a1=1 0=1，h1=h0 a2=1 1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；
B选项原信息为110，则h0=a0 a1=1 1=0，h1=h0 a2=0 0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；
C选项原信息为011，则h0=a0 a1=0 1=1，h1=h0 a2=1 1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；
D选项原信息为001，则h0=a0 a1=0 0=0，h1=h0 a2=0 1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；
故选C．
　
8．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】根据已知中直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．我们分析滚动过程中，M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，及点M，N运动的规律，并逐一对四个答案进行分析，即可得到答案．
【解答】解：如图，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．
设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等．
以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ．
大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，
∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，故点M1与点M′重合，
即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．
点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．
观察各选项，只有选项A符合．故选A．
　
9．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】数列与三角函数的综合．
【分析】根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a2+c2=4b2﹣2ac．代入余弦定理求得b的值．
【解答】解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c．
平方得a2+c2=4b2﹣2ac．
又△ABC的面积为，且∠B=30°，
故由S△=acsinB=ac sin30°=ac=，
得ac=2，
∴a2+c2=4b2﹣4．
由余弦定理
cosB====．
解得b2=．
又∵b为边长，
∴b=．
故选C．
　
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（　　）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可得=，解得tanB=，结合范围0＜B＜π，可求B=，即可得解cosB=．
【解答】解：∵=，
又∵由正弦定理可得：，
∴=，解得：
cosB=sinB，
∴tanB=，0＜B＜π，
∴B=，cosB=．
故选：B．
　
11．已知双曲线的方程为，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】首先写出直线l的方程y=（x﹣c），然后求出线段F1P的中点坐标，进而得到p点坐标并代入双曲线方程，结合c2=a2+b2求出c2=3a2，即可得到结果．
【解答】解：过焦点F1（﹣c，0）的直线L的方程为：y=（x+c），
直线L交双曲线右支于点P，且y轴平分线F1P，
则交y轴于点Q（0，
c）．
设点P的坐标为（x，y），
∴x+c=2c，y=
P点坐标（c，），
代入双曲线方程得：，
又∵c2=a2+b2，
∴c2=3a2，
∴e=
故选C．
　
12．已知函数y=f（x）的大致图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式应为（　　）
A．f（x）=x﹣
B．f（x）=x+
C．f（x）=
D．f（x）=x+
【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】函数y=f（x）的解析求不出来，根据选项结合图象采用排除法进行排除，以及利用特殊值法进行排除．
【解答】解：根据图象不关于原点对称，则该函数不是奇函数，可排除选项D，
取x=时，根据图象可知函数值大于0，而选项B，f（）=+=﹣e2＜0，故B不正确，
由题上图象可以看出当x→﹣∞时，有f（x）＜0，
但C选项，f（x）=，当x→﹣∞时，f（x）=＞0，
∴C错误
故选A．
　
二、填空题（每空5分，共20分）
13．（理）（1+cosx）dx=　　．
【考点】定积分．
【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．
【解答】解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，
故答案为π+2．
　
14．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2
000户，其中农民家庭1
800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是．（填序号）　①②③　
①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．
【考点】收集数据的方法．
【分析】根据抽样方法，可得整个抽样过程三种抽样方法都要用到．
【解答】解：由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程三种抽样方法都要用到．
故答案为：①②③．
　
15．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：＞1，若“￢q且p”为真，则x的取值范围是　（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）　．
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据条件先求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．
【解答】解：因为“￢q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，由＞1得﹣1=＞0，
即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；
p为真命题时，由x2+2x﹣3＞0，解得x＞1或x＜﹣3，
由，得x≥3或1＜x≤2或x＜﹣3，
所以x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）
　
16．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．
上述命题中所有正确命题的序号为　①②④　．
【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
可得f（﹣2）=f（2），
在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得
f（2）=f（﹣2）+f（2），
∴f（﹣2）=f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．
从图中可以得出：
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．
故答案为：①②④．
　
三、综合题：必考题每题12分，选考题共10分；总分70分．
17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，f（x）= ﹣（2m+） ||；A、B、C三点满足满足=+．
（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤），的最小值为﹣，求实数m的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（Ⅰ）根据向量减法的几何意义，在=+两边同减去，进行向量的数乘运算便可得出=，这样便可得出三点A，B，C共线；
（Ⅱ）根据上面容易求出点C的坐标，并求出向量的坐标，从而得出f（x）=（cosx﹣m）2+1﹣m2，这样根据配方的式子，讨论m的取值：m＜0，0≤m≤1，m＞1，这样即可求出m的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得﹣=（﹣）；
即=；
∴∥，
又、有公共点A；
∴A，B，C三点共线；
（Ⅱ）由=+，
得C（1+cosx，cosx）；
∵=（cosx，0），
∴f（x）= ﹣（2m+） ||
=1+cosx+cos2x﹣（2m+）cosx
=（cosx﹣m）2+1﹣m2；
∵x∈[0，]，∴cosx∈[0，1]；
①当m＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值为1，不合题意舍去；
②当0≤m≤1时，当且仅当cosx=m时，f（x）取得最小值为1﹣m2=﹣，解得m=±，不合题意舍去；
③当m＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，令2﹣2m=﹣，解得m=；
综上，m=．
　
18．已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N
．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；
（2）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N
），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．
【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．
【分析】（1）把bn=3n+5代入an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），可得数列{an}是等差数列，并求得公差，再由等差数列的通项公式得答案；
（2）由a1=λ＜0，bn=λn，可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再列式求得λ的范围．
【解答】解：（1）∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，
∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，
∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，
则an=1+6（n﹣1）=6n﹣5；
（2）∵bn=λn，∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（λn+1﹣λn），
当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=2（λn﹣λn﹣1）+2（λn﹣1﹣λn﹣2）+…+2（λ2﹣λ）+λ=2λn﹣λ．
当n=1时，a1=λ适合上式，
∴．
∵λ＜0，∴，．
①当λ＜﹣1时，由指数函数的单调性知数列{an}不存在最大值和最小值；
②当λ=﹣1时，数列{an}的最大值为3，最小值为﹣1，而 （﹣2，2）；
③当﹣1＜λ＜0时，由指数函数的单调性知，数列{an}的最大值M=a2=2λ2﹣λ，
最小值m=a1=λ．
由，解得．
综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．
　
19．2016年里约奥运会在巴西里约举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答．知识问答有A，B，C，D四个题目，答题者必须按A，B，C，D顺序依次进行，答对A，B，C，D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减．答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用．
假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A，B，C，D四个题回答正确的概率依次是，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）
用X表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求X的分布列和数学期
望；
（Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）
设某题M答对记为“M”，答错记为“”，X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（Ⅱ）由互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出志愿者甲能被录用的概率．
【解答】解：（Ⅰ）
设某题M答对记为“M”，答错记为“”
X的可能取值为2，3，4，
P（X=2）=P（AB）=，
P（X=3）=P（）=，
P（X=4）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）=，
X的分布列为：
X
2
3
4
P
EX==．
（Ⅱ）
志愿者甲能被录用的概率
P=P（AB+++++AD）
=+
=．
　
20．四棱锥S﹣ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角S﹣CM﹣D的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）取SD的中点R，连结AR、RN，由已知得四边形AMNR是平行四边形，从而MN∥AR，由此能证明MN∥平面SAD．
（Ⅱ）向量法：取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角S﹣CM﹣D的余弦值．
几何法：取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM=H，连结SH，则∠SHO是二面角S﹣CM﹣D的平面角，由此能求出二面角S﹣CM﹣D的余弦值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如图，取SD的中点R，连结AR、RN，
则RN∥CD，且RN=CD，AM∥CD，
所以RN∥AM，且RN=AM，
所以四边形AMNR是平行四边形，
所以MN∥AR，由于AR平面SAD，MN在平面SAD外，
所以MN∥平面SAD．
（Ⅱ）解法1：取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，
则C（﹣1，2，0），M（1，1，0），S（0，0，），
=（2，﹣1，0），=（1，1，﹣），
设面SCM的法向量为=（x，y，z），
则，
令x=1，得=（1，2，），由已知得面ABCD的法向量=（0，0，1），
则===，
所以二面角S﹣CM﹣D的余弦值为．
解法2：如图，取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM=H，连结SH，由SO⊥AD，且面SAD⊥面ABCD，
所以SO⊥平面ABCD，SO⊥CM，
由已知得△ABO≌△BCM，所以∠ABO=∠BCM，
则∠BMH+∠ABO=∠BMH+∠BCM=90°，
所以OB⊥CM，则有SH⊥CM，
所以∠SHO是二面角S﹣CM﹣D的平面角，
设AB=2，则，，，
OS=，SH==，
则cos∠SHO=，
所以二面角S﹣CM﹣D的余弦值为．
　
21．如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限．
（1）求抛物线C的方程及点A、点B的坐标；
（2）若点Q（x0，y0）是抛物线C异于A、B的一动点，分别以点A、B、Q为切点作抛物线C的三条切线l1、l2、l3，若l1与l2、l1与l3、l2与l3分别相交于D、E、H，设△ABQ，△DEH的面积依次为S△ABQ，S△DEH，记λ=，问：λ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）根据抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，求出p，可得抛物线C的方程，根据，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限，求出点A、点B的坐标；
（2）求出D，E，H的坐标，进而求出S△ABQ，S△DEH，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为x2=4y；
∵点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，
∴A（2，1）；B（﹣2，1）；
（2）y=x2，∴y′=x
∴l1：y=x﹣1；l2：y=﹣x﹣1；l3：y=x0x﹣x02，
∴D（0，﹣1），E（，），H（，﹣），
∴EH=；
=
∴S△ABQ==，S△DEH==
∴λ==2．
　
22．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）
（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若 x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围；
（3）若a=，证明：ex﹣1f（x）≥x．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）求出导数，对a讨论，①a≤时，②当a＞时，求出单调区间，可得最小值，由恒成立思想即可得到a的范围；
（3）a=时，由（Ⅱ）得f（x）min=+ln2a=1，令h（x）=，求出导数，单调区间，运用单调性即可得证．
【解答】解：（1）a=1时，函数f（x）=x2﹣lnx，．
函数f（x）的定义域为（0，+∞），
则由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，
所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．…
（2）由已知得f′（x）=2ax﹣．
若f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，则2a≤恒成立，所以2a≤（）min=1，即a≤．
①a≤时，f（x）在（0，1]单调递减，f（x）min=f（1）=a，与|f（x）|≥1恒成立矛盾．…
②当a＞时，令f′（x）=2ax﹣=0，得x=∈（0，1]．
所以当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（，1]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）min=f（）=a（）2﹣ln=+ln2a．
由|f（x）|≥1得，
+ln2a≥1，所以a≥．
综上，所求a的取值范围是[，+∞）．…
（Ⅲ）证明：a=时，由（Ⅱ）得f（x）min=+ln2a=1．…
令h（x）=，则h′（x）=．
所以当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增；当x≥1时，h′（x）＜0，h（x）单减．
所以h（x）≤h（1）=1．…
所以f（x）≥h（x），即ex﹣1f（x）≥x．…
　
[选修4-1：几何证明选讲]
23．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且满足BD BE=BA BF．求证：
（1）EF⊥FB；
（2）∠DFB+∠DBC=90°．
【考点】综合法与分析法(选修）．
【分析】（1）利用BD BE=BA BF，可得，从而可知△ADB∽△EFB，可得∠EFB=∠ADB，利用AB是⊙O的直径，即可得到结论；
（2）先证明E、F、A、D四点共圆，从而可得∠DFB=∠AEB，利用AB是⊙O的直径，可证结论成立．
【解答】（1）证明：连接AD，则∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°
在△ADB和△EFB中，∵BD BE=BA BF，∴…．．
又∠DBA=∠EBF，∴△ADB∽△EFB…．．
则∠EFB=∠ADB=90°，∴EF⊥FB…．．
（2）在△ADB中，∠ADB=∠ADE=90°
又∠EFB=90°∴E、F、A、D四点共圆；
…
∴∠DFB=∠AEB…．．
又AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°…
　
[选修4-4：坐标与参数方程]
24．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．
（1）求|AB|的值；
（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）先求出C1的普通方程和C2的参数方程，再根据韦达定理和弦长公式即可求出，
（2）直接由（1）即可求出答案．
【解答】解：（1）曲线C1的方程为=1，C2：ρcosθ+ρsinθ=1，
则C2的普通方程为x+y﹣1=0，
则C2的参数方程为，
代入C1得2t2+7t+10=0，
∴|AB|=|t1﹣t2|==，
（2））|MA| |MB|=|t1t2|=5
　
[选修4-5：不等式选讲]
25．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）
（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】（1）根据定义写出L（A，B），L（A，C）的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，
运用分离变量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用去绝对值的方法或绝对值不等式的性质，求得右边的最大值为4，令t不小于4即可．
【解答】解：（1）由定义得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，
即|x﹣1|＞|x﹣5|，两边平方得8x＞24，
解得x＞3，
（2）当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，
也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，
法一：令函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣5|=，
所以f（x）max=4，
要使原不等式恒成立只要t≥4即可，
故tmin=4．
法二：运用绝对值不等式性质．
因为|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，tmin=4．
故t的最小值为：4．
　
2017年1月3日