2016-2017学年高二数学北师大版选修4-5学业分层测评：13 数学归纳法的应用

学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边(　　)
A．增加了一项
B．增加了两项和
C．增加了B中的两项但减少了一项
D．以上均不正确
【解析】　由－＝＋－＝－.故选C.
【答案】　C
2．利用数学归纳法证明不等式“n2<2n对于n≥n0的正整数n都成立”时，n0应取值为(　　)
A．1　　
B．3
C．5
D．7
【解析】　12<21,22＝22,32>23,42＝24，利用数学归纳法验证n≥5，故n0的值为5.
【答案】　C
3．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【解析】　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．
【答案】　D
4．对于正整数n，下列说法不正确的是(　　)
A．3n≥1＋2n
B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n<1－0.1n
D．0.1n≥1－0.9n
【解析】　由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，
当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，A正确．
当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确．
当x＝0.9时，(1－0.9)n≥1－0.9n，因此D正确．
【答案】　C
5．若不等式＋＋…＋>对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为(　　)
A．12
B．13
C．14
D．不存在
【解析】　令f(n)＝＋＋…＋，
易知f(n)是单调递增的．
∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.
依题意>，∴m<14.
因此取m＝13.
【答案】　B
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为__________.
【解析】　当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．
【答案】　21＋1≥12＋1＋2
7．观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可归纳出__________．
【答案】　1＋＋＋…＋<(n≥2，n∈N＋)
8．用数学归纳法证明≥
(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n＝k时不等式≥
(
)成立，再推证n＝k＋1时不等式也成立的关键是将(
)式同乘__________．
【解析】　要想办法出现，两边同乘以，右边也出现了要求证的.
【答案】　
三、解答题
9．设a，b为正实数，证明：对任意n∈N＋，有(a＋b)n≥an＋n·an－1b.
【证明】　由(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，
∴n≥1＋，
即≥1＋，
∴(a＋b)n≥an＋n·，
故(a＋b)n≥an＋nb·an－1.
10．设0【证明】　(1)当n＝1时，a1>1，又a1＝1＋a<，
∴当n＝1时，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题1ak＋1＝＋a>(1－a)＋a＝1，
同时，ak＋1＝＋a<1＋a＝<，
当n＝k＋1时，命题也成立，
即1综合(1)、(2)可知，对一切正整数n，有1[能力提升]
1．用数学归纳法证明＋＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标是(　　)
A.＋＋…＋>－
B.＋＋…＋>－
C.＋＋…＋>－
D.＋＋…＋>－
【解析】　注意不等式两边含变量“n”的式子，因此当n＝k＋1时，应该是含“n”的式子发生变化，所以n＝k＋1时，应为＋＋…＋＋>－.
【答案】　A
2．若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱对角面的个数为(　　)
A．2f(k)
B．k－1＋f(k)
C．f(k)＋k
D．f(k)＋2
【解析】　由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n＝k＋1时增加的对角线一样，设n＝k时，底面为A1A2…Ak，n＝k＋1时底面为A1A2A3…AkAk＋1，增加的对角线为A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有(k－1)条，因此对角面也增加了(k－1)个．
【答案】　B
3．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线的交点的个数，则f(4)＝______；当n>4时，f(n)＝____________________(用n表示).
【解析】　f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.
累加，得
f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)＝(n－3)，
∴f(n)＝(n＋1)(n－2)．
【答案】　5　(n＋1)(n－2)
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋)．
(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.
【解】　(1)S1＝a1＝，
∴＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.
∴－＝2，
故是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，
则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－
＝－·
<－·
＝－.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知对任意n∈N＋不等式成立．