2016-2017学年高二数学北师大版选修4-5学业分层测评：1 实数大小的比较 不等式的性质

学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c，d∈R且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋c＞b＋d
B．a－c＞b－d
C．ac＞bd
D．＞
【解析】　∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d.
【答案】　A
2．已知a，b
是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】　当a＞0且b＞0时，一定有a＋b＞0且ab＞0.反之，当a＋b＞0，ab＞0时，一定有a＞0，b＞0.
【答案】　C
3．设角α，β满足－<α<β<，则α－β的范围是(　　)
A．－π<α－β<0
B．－π<α－β<π
C．－<α－β<0
D．－<α－β<
【解析】　∵α<β，∴α－β<0.①
又－<α<，－<β<，∴－<－β<，
∴－π<α－β<π，结合①得－π<α－β<0，故选A.
【答案】　A
4．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＞N
B．M＜N
C．M＝N
D．不能确定
【解析】　M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5)
＝(x－2)2＋(y＋1)2.
∵x≠2或y≠－1，∴x－2≠0或y＋1≠0，
∴(x－2)2或(y＋1)2均非负且至少一个大于零，
∴M＞N.
【答案】　A
5．设a，b为非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是(　　)
A．a2＜b2
B．a2b＜ab2
C.＜
D．＜
【解析】　取a＝－2，b＝1时，有a＜b，显然A，B，D错误．对于C，∵－＝＜0.
∴＜总成立，C正确．
【答案】　C
二、填空题
6．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范围是________．
【解析】　∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4，
∴－4＜－|b|≤0.
又1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3.
【答案】　(－3,3)
7．给出四个条件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
能得出＜成立的有________．
【解析】　＜ －＜0 ＜0，
∴①②④可推出＜成立．
【答案】　①②④
8．若a＞1，b＜1，则ab＋1与a＋b大小关系为ab＋1______a＋b.
【解析】　ab＋1－a－b＝a(b－1)－(b－1)
＝(a－1)(b－1)，
∵a＞1，b＜1，∴(a－1)(b－1)＜0，
∴ab＋1－a－b＜0，
ab＋1＜a＋b.
【答案】　＜
三、解答题
9．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，试比较a，b，c的大小．
【解】　b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0.
∴b≥c.
由题意可得方程组
解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.
∴c－a＝a2＋1－a＝2＋＞0，
∴c＞a，∴b≥c＞a.
10．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y，求证：＞.
【证明】　因为a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y，
所以＞，所以＜.
故＋1＜＋1，
即0<＜，
所以＞.
[能力提升]
1．设a，b为实数，则“0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　∵0∴当a>0，b>0时，b<；当a<0，b<0时，b>.
∴“0而取b＝－1，a＝1，显然有b<，但不能推出0∴“0【答案】　D
2．若a>b>0，则下列各式中恒成立的是(　　)
A.>
B．>
C．a＋>b＋
D．aa>bb
【解析】　选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2，由此可知选项A不成立．利用不等式的性质可知，当a>b>0时，<，由此可知，选项C不恒成立．取a＝，b＝，则a>b>0，则aa＝bb，故选项D不恒成立．故选B.
【答案】　B
3．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________.
【解析】　由4≤≤9，得16≤≤81.
又3≤xy2≤8，
∴≤≤，
∴2≤≤27.又x＝3，y＝1满足条件，这时＝27.
∴的最大值是27.
【答案】　27
4．已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．
【解】　f(a)－f(b)＝－
＝.
∵a＞b＞1，
∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0.
当m＞0时，f(a)－f(b)＜0，f(a)＜f(b)．
当m＝0时，f(a)＝f(b)．
当m＜0时，f(a)－f(b)＞0，f(a)＞f(b)．