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人教版九年级数学上学期期末考试复习学案
一元二次方程
一、复习（知识体系）
二、考点精讲
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
考点二 一元二次方程根的应用
例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= .
考点三 一元二次方程的解法
例3 （2016山西省）解方程：．
例4 （2016山东省淄博市）解方程：．
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
例5 （2016广西桂林市）若关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）21cnjy.com
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
例6 （2016山东省青岛市）已知二次函数与正比例函数的图象只有一个交点，则c的值为 ．
考点五 一元二次方程根与系数的关系
例7 （2016四川省宜宾市）已知一元二次方程的两根为x1、x2，则= ．
考点六 一元二次方程的应用
例8 （2016内蒙古呼伦贝尔市）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）21教育网
A． B．
C． D．
例9 （2016甘肃省兰州市）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）21·cn·jy·com
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
例10 （2016 平武县一模）菜农李伟种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
三、知识精练
（一）选择题
1．关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（ ）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
3．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ）
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
4．下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=0
5．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
6．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
7．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11
8．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289【来源：21·世纪·教育·网】
（二）填空题
1．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22= ．
2．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．
4．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是 ．21·世纪*教育网
5．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．www-2-1-cnjy-com
6．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 L．
（三）解答题
1.在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5=0中x的值．
2．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
3．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
四、中考链接
1．（2016 台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）2·1·c·n·j·y
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
2．（2016 江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．（2016 烟台）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）2-1-c-n-j-y
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
4．（2016 广州）定义运算：a b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b b﹣a a的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版九年级数学上学期期末考试复习学案
一元二次方程
一、复习（知识体系）
二、考点精讲
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
考点二 一元二次方程根的应用
例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= .
【答案】-1
【解析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”. www-2-1-cnjy-com
【易错警示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.
考点三 一元二次方程的解法
例3 （2016山西省）解方程：．
【答案】，．
【解析】方程变形得：，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，解得：，．
例4 （2016山东省淄博市）解方程：．
【答案】，．
【解析】
【知识归纳】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2-1-c-n-j-y
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
例5 （2016广西桂林市）若关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【答案】B．
【解析】
∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：k<5且k≠1.故选B.
例6 （2016山东省青岛市）已知二次函数与正比例函数的图象只有一个交点，则c的值为 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：将正比例函数y=4x代入到二次函数中，得：，即．
∵两函数图象只有一个交点，∴方程有两个相等的实数根，∴△=16﹣4×3c=0，解得：c=．故答案为：．【来源：21cnj*y.co*m】
【易错警示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值
考点五 一元二次方程根与系数的关系
例7 （2016四川省宜宾市）已知一元二次方程的两根为x1、x2，则= ．
考点六 一元二次方程的应用
例8 （2016内蒙古呼伦贝尔市）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）【出处：21教育名师】
A． B．
C． D．
【答案】B．
【解析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1－x）2，据此即可列方程＝315．【版权所有：21教育】
【方法技巧】关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系．
例9 （2016甘肃省兰州市）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）21教育名师原创作品
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
【答案】C．
【解析】设原正方形的边长为xm，依题意有：（x﹣1）（x﹣2）=18，故选C．
例10 （2016 平武县一模）菜农李伟种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
【答案】20%
【解析】解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得
5（1-x)2=3.2
解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
三、知识精练
（一）选择题
1．关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（ ）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数
【答案】C．
【解析】解：由题意得：
a2﹣1≠0，
解得a≠±1．
故选C．
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【答案】B．
【解析】解：方程移项得：x2﹣2x=5，
配方得：x2﹣2x+1=6，
即（x﹣1）2=6．
故选：B
3．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ）
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
【答案】A．
【解析】解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，
∴a 12+b 1+5=0，
∴a+b=﹣5，
∴2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013﹣（﹣5）=2018．
故选：A．
【方法指导】解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．
4．下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=0
【答案】C
【解析】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；
D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
【方法指导】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3
∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系
∴等腰三角形的腰为6，底为3
∴周长为6+6+3=15
故选C．
【易错警示】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．
6．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【解析】解：根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，
故选：C．
【方法点拨】根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，再根据一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，关键是根据函数图象判断出△的符号．
7．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11
【答案】A
【解析】解：根据题意得：a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，
∴a+b=6，ab=4，
则原式===7．
故选A
8．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289 C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=28921cnjy.com
【答案】A
【解析】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，
∴方程为289（1﹣x）2=256．
故选答：A．
【方法点拨】增长率问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．2·1·c·n·j·y
（二）填空题
1．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22= ．
【答案】10．
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，
则原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=4+6=10，
故答案为：10
2．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．
【答案】﹣或1．
【解析】解：设a+b=x，则由原方程，得
4x（4x﹣2）﹣8=0，
整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，
分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣，x2=1．
则a+b的值是﹣或1．
故答案是：﹣或1．
【方法点拨】把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．
【答案】
【解析】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=9﹣4m=0，
解得：m=．
故答案为：．
4．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】12．
【解析】解：把2代入方程x2﹣（3+k）x+12=0得，k=5
（1）当2为腰时，不符合三角形中三边的关系，则舍去；
（2）当5是腰时，符合三角形三边关系，则其周长为2+5+5=12；
所以这个等腰三角形的周长是12．
5．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．21教育网
【答案】k≤4且k≠0
【解析】解：∵|b﹣1|+=0，
∴b﹣1=0， =0，
解得，b=1，a=4；
又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，
∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，
即16﹣4k≥0，且k≠0，
解得，k≤4且k≠0；
故答案为：k≤4且k≠0．
【易错警示】注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．
6．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 L．
【答案】20．
【解析】解：设每次倒出液体xL，由题意得：
40﹣x﹣ x=10，
解得：x=60（舍去）或x=20．
答：每次倒出20升．
故答案为：20．
（三）解答题
1.在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5=0中x的值．
【答案】7；x1=3，x2=﹣7．
【解析】解：（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；
（2）由题意得（x+2）△5=（x+2）2﹣52=0，
（x+2）2=25，
两边直接开平方得：x+2=±5，
x+2=5，x+2=﹣5，
解得：x1=3，x2=﹣7．
2．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【答案】a＜3；﹣3．
【解析】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
3．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】（1）见解析；（2）m=1．
【解析】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：解方程得， ，
x1= ，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
四、中考链接
1．（2016 台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）21·cn·jy·com
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
【答案】A．
【解析】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，
故选A．
2．（2016 江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】D．
【解析】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴αβ=，
故选D．
3．（2016 烟台）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
【答案】D．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=﹣=2，x1 x2==﹣1．
x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．
故选D．
4．（2016 广州）定义运算：a b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b b﹣a a的值为（ ）21·世纪*教育网
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
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人教版九年级数学上学期
期末考试复习课件
一元二次方程
识
知
体
系
点
考
精
讲
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
【知识归纳】一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．
考点一 一元二次方程的定义
A
例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= .
【解析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
-1
考点二 一元二次方程的应用
【易错警示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.
例3 （2016山西省）解方程： ．
解：方程变形得：
考点三 一元二次方程的解法
分解因式得：
解得：
例4 （2016山东省淄博市）解方程： ．
例5 （2016广西桂林市）若关于x的一元二次方程方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
例6 （2016山东省青岛市）已知二次函数 与正比例函数 的图象只有一个交点，则c的值为 ．
考点四 一元二次方程的根的判别式
B
例7（2016四川省宜宾市）已知一元二次方程 的两根为x1、x2则 = ．
考点五 一元二次方程根与系数的关系
考点六 一元二次方程的应用
例8 （2016内蒙古呼伦贝尔市）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
13
B
例9 （2016甘肃省兰州市）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18
B． x2-3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18
D． x2+3x+16=0
C
例10 （2016 平武县一模）菜农李伟种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得
5（1-x)2=3.2
解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
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（一）选择题
1．关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（ ）
A．a≠1 B．a≠﹣1
C．a≠±1 D．为任意实数
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6
C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
B
C
3．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（ ）
A．2018 B．2008
C．2014 D．2012
4．下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1=0
B．x2+x+1=0
C．（x﹣1）（x+2）=0
D．（x﹣1）2+1=0
A
C
5．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．12或15
C．15 D．不能确定
6．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
C
C
7．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则 的值是（ ）
A．7 B．﹣7
C．11 D．﹣11
8．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．289（1﹣x）2=256 B．256（1﹣x）2=289
C．289（1﹣2x）2=256 D．256（1﹣2x）2=289
A
A
1．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22= ．
2．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．
4．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是 ．
（二）填空题
10
12
5．若 ，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
6．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 L．
k≤4且k≠0
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【易错警示】注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．
1.在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5=0中x的值．
解：（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；
（2）由题意得（x+2）△5=（x+2）2﹣52=0，（x+2）2=25，
直接开平方得：x+2=±5，即x+2=5，x+2=﹣5，
解得：x1=3，x2=﹣7．
（三）解答题
2．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
2．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
3．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，∴方程总有实数根；
3．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
（2）解方程得， ，
x1= ，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
1．（2016 台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1） =45
C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
考
中
链
接
A
2．（2016 江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．（2016 烟 台）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
4．（2016 广州）定义运算：a b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，则b b﹣a a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
D
D
A
谢谢
