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人教版九年级数学上学期期末考试复习学案
圆
一、复习（知识体系）
二、考点精讲
考点一 垂径定理
例1 (2016·河池)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( ) 21*cnjy*com
A．(5，3) B．(5，4)
C．(3，5) D．(4，5)
考点二 圆心角、弧、弦的关系
例2 (2016·舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是( )【版权所有：21教育】
A．120° B．135° C．150° D．165°
考点三 圆周角定理及其推论
例3 (2016·南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( ) 21世纪教育网版权所有
A．140° B．70°
C．60° D．40°
考点四 点与圆、直线与圆的位置关系
例4 (2016安徽)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）2-1-c-n-j-y
B．2 C． D．
例5 （2016·江苏无锡）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（ ）21教育名师原创作品
A．70° B．35° C．20° D．40°
例6 (2016·四川自贡)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．21cnjy.com
（1）求证：∠1=∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线．
考点五 弧长和扇形面积
例7（2016·山东省东营市）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )
A.40cm B.50cm C.60cm D.80cm21*cnjy*com
例8 （2016·湖北荆门）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm
考点六 解直角三角形、正多边形和圆
例9 （2016·四川泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
三、知识精练
（一）选择题
1．（2017·江苏期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为( )2·1·c·n·j·y
A．12 B．9 C．8 D．不存在
2．（2016·广东模拟）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=6，CD=2，则⊙O的半径为（ ）21·cn·jy·com
A．5 B． C． D．4
3．（2017·江苏期中）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（ ）
A．28° B．33° C．34° D．56°
4．（2017·四川期中）下列命题中，真命题的个数（ ）
（1）⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP=5，则直线l与⊙O相切
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆半径为6.5
（3）正多边形都是轴对称图形，也都是中心对称图形
（4）三角形的外心到三角形各边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2016·四川模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（ ）.
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．（2016·内蒙古模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）21教育网
A．R2﹣r2=a2 B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．r=Rcos36°
7．（2016·贵州贵阳）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
8．（2016·广东模拟）一个圆锥的高为8cm，底面圆的半径为6cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．20πcm2 B．30πcm2 C．40πcm2 D．60πcm2
9．（2016·山东期中）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．π﹣1 B．2π﹣1
C．π﹣1 D．π﹣2
（二）填空题
1．（2017·江苏期中）已知圆锥的母线长是6cm，侧面展开图的面积是48πcm2，则此圆锥的底面半径是 ．21·世纪*教育网
2．（2016·陕西模拟）如图，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，且AD=4，点P是射线AB上一动点，连接DP，△PAD的外接圆于AC交于点Q，则线段QP的最小值是 ．
3．（2017·四川期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 ．www-2-1-cnjy-com
4．（2016·浙江模拟）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径 ．【来源：21cnj*y.co*m】
5．（2016·广西模拟）如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的直径为5，CD=4，则弦EF的长为 ．
6．（2016·江西模拟）如图，点P为反比例函数y=（x＞0）图象上一点，以点P为圆心作圆，且该圆恰与两坐标轴都相切．在y轴任取一点E，连接PE并过点P作直线PE的垂线与x轴交于点F，则线段OE与线段OF的长度可能满足的数量关系式是 ．
7．（2017·江苏期中）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点 ．
8．（2016·北京期末）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 米．【出处：21教育名师】
（三）解答题
1．（2017·江苏期中）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长 AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若平行四边形OABC的两边长是方程x2-16x+60=0的两根，求平行四边形OABC的面积. www.21-cn-jy.com
2．（2017·江苏期中）如图，在⊙O中，弧AB=60°，AB=6，
（1）求圆的半径； （2）求弧AB的长； （3）求阴影部分的面积．
3．（2016·广东模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD、过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：△FDB∽△FAD；
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人教版九年级数学上学期期末考试复习学案
圆
一、复习（知识体系）
二、考点精讲
考点一 垂径定理
例1 (2016·河池)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( ) 2-1-c-n-j-y
A．(5，3) B．(5，4)
C．(3，5) D．(4，5)
考点二 圆心角、弧、弦的关系
例2 (2016·舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是( )21·世纪*教育网
A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】C
【解析】
试题分析：直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，21*cnjy*com
故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故的度数是150°．
【方法点拨】熟练理解圆心角、弧、弦的关系以及图形的翻折变换，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
考点三 圆周角定理及其推论
例3 (2016·南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( )
A．140° B．70°
C．60° D．40°
【答案】B
【解析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°， ∴∠DOE=180°﹣40°=140°， ∴∠P=∠DOE=70°
【方法指导】 当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧把角联系起来．
考点四 点与圆、直线与圆的位置关系
例4 (2016安徽)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）【版权所有：21教育】
B．2 C． D．
【答案】B．
【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC==5，
∴PC=OC=OP=5﹣3=2．
∴PC最小值为2．
故选B．
【方法点拨】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．21*cnjy*com
例5 （2016·江苏无锡）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．35° C．20° D．40°
【答案】D．
【解析】解：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴AB⊥AC．
∴∠CAB=90°．
又∵∠C=70°，
∴∠CBA=20°．
∴∠DOA=40°．
故选：D．
例6 (2016·四川自贡)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠1=∠BDA，
∴∠1=∠BAD；
（2）连接BO，
∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCO+∠BCD=180°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠CBO+∠BCD=180°，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，
∴EB⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线．
考点五 弧长和扇形面积
例7（2016·山东省东营市）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )
A.40cm B.50cm C.60cm D.80cm
【答案】A.
【解析】设这块扇形铁皮的半径为Rcm，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴×2πR＝2π×.解得R＝40.
故选择A.
【方法点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
例8 （2016·湖北荆门）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm
【答案】C．
【解答】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，
∴∠OAD=45°，AC=2AD，
∴AC=2（OA×cos45°）=12cm，
∴=6π
∴圆锥的底面圆的半径=6π÷（2π）=3cm．
故选C．
【方法点拨】圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．
考点六 解直角三角形、正多边形和圆
例9 （2016·四川泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】解：如图1，
∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=；
如图2，
∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=；
如图3，
∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=，
则该三角形的三边分别为：、、，
∵（）2+（）2=（）2，
∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，
∴该三角形的面积是××=，
故选：D．
【方法点拨】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．2·1·c·n·j·y
三、知识精练
（一）选择题
1．（2017·江苏期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．12 B．9 C．8 D．不存在
【答案】B
【解析】根据∠ACB=30°，半径为6可得AB=6，EF为△ABC的中位线，则EF=3，当GH为圆的直径时，GE+FH为最大值，则GH=12，即GE+FH=12－3=9.www-2-1-cnjy-com
2．（2016·广东模拟）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=6，CD=2，则⊙O的半径为（ ）21教育名师原创作品
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【解析】
试题分析：连结OA，如图，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，再在Rt△OAC中利用勾股定理得到（r﹣2）2+32=r2，然后解方程求出r=．
故选C．
3．（2017·江苏期中）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（ ）
A．28° B．33° C．34° D．56°
【答案】A
【解析】
试题分析：连接OB，根据切线的性质可得：∠ABO=90°，则∠AOB=90°－34°=56°，根据图形可得：OB=OC，即∠C=∠OBC，根据三角形外角的性质可得：∠C=56°÷2=28°.
4．（2017·四川期中）下列命题中，真命题的个数（ ）
（1）⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP=5，则直线l与⊙O相切
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆半径为6.5
（3）正多边形都是轴对称图形，也都是中心对称图形
（4）三角形的外心到三角形各边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2016·四川模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（ ）.
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C．
【解析】
试题分析：根据三角形的内角和定理求得∠B=50°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理，得∠DOE=130°，再根据圆周角定理得∠DFE=65°．如图：∵∠A=100°，∠C=30°，∴∠B=50°，∵∠BDO=∠BEO，∴∠DOE=130°，∴∠DFE=65°．故选C．
6．（2016·内蒙古模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A．R2﹣r2=a2 B．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．r=Rcos36°
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC=×360°=72°，∴∠1=∠BOC=×72°=36°，21教育网
R2﹣r2=（a）2=a2，a=Rsin36°，a=2Rsin36°；a=rtan36°，a=2rtan36°，cos36°=，
r=Rcos36°，所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．故选A．
7．（2016·贵州贵阳）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】B．
【解析】
试题分析：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．
设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R，∴BD=cos∠OBC×OB=R，BC=2BD=R．∵BC=12，∴R==．故选B．
8．（2016·广东模拟）一个圆锥的高为8cm，底面圆的半径为6cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．20πcm2 B．30πcm2 C．40πcm2 D．60πcm2
【答案】D
【解析】
试题分析：根据圆锥的底面半径和高求出母线长==10cm，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积2πr=12πcm，列式计算圆锥的侧面积=lR=×12π×10=60πcm2．
故选D．
9．（2016·山东期中）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（ ）21cnjy.com
A．π﹣1 B．2π﹣1
C．π﹣1 D．π﹣2
【答案】A
【解析】
试题分析：已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，AB=2，CD=DB=，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差：S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．
故选A．
（二）填空题
1．（2017·江苏期中）已知圆锥的母线长是6cm，侧面展开图的面积是48πcm2，则此圆锥的底面半径是 ．
【答案】8cm
【解析】
试题分析：圆锥的侧面积=πrl，l=6cm，则r=48π÷6π=8cm.
2．（2016·陕西模拟）如图，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，且AD=4，点P是射线AB上一动点，连接DP，△PAD的外接圆于AC交于点Q，则线段QP的最小值是 ．
【答案】2．
【解析】
试题分析：根据圆周角定理求出∠DQP=∠DPQ=60°，求出△PDQ是等边三角形，推出PQ=DP，求出PD的最小值，即可得出答案．21世纪教育网版权所有
连接DQ，
∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠DAB=60°，
∴∠DQP=∠DAB=60°，∠DPQ=∠DAC=60°，
∴∠DQP=∠DPQ=60°， ∴△PDQ是等边三角形， ∴DP=PQ，
在△DAP中，由余弦定理得：DP2=AD2+AP2﹣2 AD AP cos∠DAP，
∵∠DAP=60°，AD=4，
∴DP2=PA2﹣4PA+16=（PA﹣2）2+12， 即当PA=2时，DP2有最小值12， 即DP=2， 【来源：21cnj*y.co*m】
∴PQ的最小值是2
3．（2017·四川期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，
∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．
∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC=2，
∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=．
故答案为：．
4．（2016·浙江模拟）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径 ．
【答案】
【解析】
试题分析：首先证明四边形CEOF是正方形．设圆O的半径为r，则DE=2﹣r，OE=r，然后证明△OED∽△ACD，最后依据相似三角形的性质列方程求解即可．
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆， ∴OF=OE，OF⊥AC，OE⊥BC，
又∵∠C=90°， ∴CEOF是正方形．
设圆O的半径为r，则DE=2﹣r，OE=r． ∵CEOF是正方形，
∴OE∥AC． ∴△OED∽△ACD．
∴即．
解得：r=．
5．（2016·广西模拟）如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的直径为5，CD=4，则弦EF的长为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC=2，又由∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得EF=AC=2．
6．（2016·江西模拟）如图，点P为反比例函数y=（x＞0）图象上一点，以点P为圆心作圆，且该圆恰与两坐标轴都相切．在y轴任取一点E，连接PE并过点P作直线PE的垂线与x轴交于点F，则线段OE与线段OF的长度可能满足的数量关系式是 ．
【答案】OF﹣OE=2或OE﹣OF=2或OF+OE=2．
【解析】
试题分析：设以P为圆心的⊙P与两坐标轴相切的切点分别为B，A，如图，连接PB,PA，
利用P点在双曲线y=（x＞0）图象上且以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，求出P点坐标，再利用△BPE≌△APF，分三种情况列出OE与OF之间的关系．∵点P在双曲线y=（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，PB=PA，∴P（1，1），又∵PF⊥PE，∴∠EPF=90°，∵∠BPE+∠EPA=90°，∵∠EPA+∠FPA=90°，∴∠FPA=∠BPE，在△BPE和△APF中，∴△BPE≌△APF，∴AF=BE.①当F在x轴的正半轴，且OF＞1时，则有OF﹣OA=OB+OE，即OF﹣1=1+OE，∴OF﹣OE=2；②当F在x轴的负半轴时，则有OF+OA=OE﹣OB，即OF+1=OE﹣1，∴OE﹣OF=2；③当F在x轴的正半轴，且OF＜1时，则有OA﹣OF=OE﹣OB，即1﹣OF=OE﹣1，∴OF+OE=2，综上，线段OE与线段OF的长度可能满足的数量关系式是：OF﹣OE=2或OE﹣OF=2或OF+OE=2，故答案为：OF﹣OE=2或OE﹣OF=2或OF+OE=2．21·cn·jy·com
7．（2017·江苏期中）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点 ．
【答案】B
【解析】
试题分析：当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A′F′G=30°，
∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，
∴A′D=2，
∵D（2，0）
∴A′（2，2），OD=2，
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，
∴从点（2，2）开始到点（45，2）正好滚动43个单位长度，
∵=7…1，
∴恰好滚动7周多一个，
∴会过点（45，2）的是点B．
故答案为：B．
8．（2016·北京期末）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 米．【出处：21教育名师】
【答案】12
【解析】
试题分析：根据正六边形的边长等于其内接圆的半径，因此可求得边长为2米，因此周长为2×6=12米．
（三）解答题
1．（2017·江苏期中）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长 AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若平行四边形OABC的两边长是方程x2-16x+60=0的两根，求平行四边形OABC的面积.
【答案】(1)证明过程见解析；(2) 48.
【解析】 (1).连OD，∵CE是⊙O的切线, ∠OEC=90O ，∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,又∵OC//AD
∴∠OAD =∠EOC，∠DOC=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC, 又∵OD=OE,OC=OC, ∴△ODC≌△OEC（SAS）
∴∠ODC=∠OEC=90 O, ∴CD是⊙O的切线。
(2).x2-16x+60=0，x1=10，x2=6，即OC=10，OA=6 在Rt△ODC, CD=8 ∵△ODC≌△OEC ，CE=CD=8
∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=6×8=48
2．（2017·江苏期中）如图，在⊙O中，弧AB=60°，AB=6，
（1）求圆的半径； （2）求弧AB的长； （3）求阴影部分的面积．
【答案】(1).r=6；(2).弧AB的长=2π；(3). ．
【解析】
(1).∵弧AB=60°，∴∠AOB=60° 又∵OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=6；www.21-cn-jy.com
(2).弧AB的长l= =2π；
(3).等边△AOB的面积是：， S扇形OAB==6π，则S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB=
3．（2016·广东模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD、过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：△FDB∽△FAD；
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）利用两角对应相等的两三角形相似进行证明即可．
试题解析：（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线；
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人教版九年级数学上学期
期末考试复习课件
圆
识
知
体
系
点
考
精
讲
例1 (2016·河池)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( )
A．(5，3) B．(5，4)
C．(3，5) D．(4，5)
D
考点一 垂径定理
【方法指导】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
考点二 圆心角、弧、弦的关系
例2 (2016·舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是( )
A．120° B．135° C．150° D．165°
C
【方法点拨】熟练理解圆心角、弧、弦的关系以及图形的翻折变换，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
例3 (2016·南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( )
A．140° B．70°
C．60° D．40°
【方法指导】 当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧把角联系起来．
考点三 圆周角定理及其推论
B
例4 (2016安徽)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
【方法点拨】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
考点四 点与圆、直线与圆的位置关系
B
例5 （2016·江苏无锡）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．35°
C．20° D．40°
【解析】∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴AB⊥AC．∴∠CAB=90°．
又∵∠C=70°，∴∠CBA=20°．
∴∠DOA=40°．
故选：D．
D
例6 (2016·四川自贡)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线．
证明：（1）∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠1=∠BDA，
∴∠1=∠BAD；
例6 (2016·四川自贡)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（2）求证：BE是⊙O的切线．
（2）连接BO，∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，
∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，
∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．
例7（2016·山东省东营市）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )
A.40cm B.50cm
C.60cm D.80cm
【方法点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
考点五 弧长和扇形面积
A
例8 （2016·湖北荆门）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A.12cm
B.6cm
C.
D.
C
例9 （2016·四川泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A. B.
C. D.
D
考点六 解直角三角形、正多边形和圆
【方法点拨】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
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知
识
精
练
（一）选择题
1．（2017·江苏期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为( )
A．12 B．9 C．8 D．不存在
2．（2016·广东模拟）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=6，CD=2，则⊙O的半径为（ ）
A．5 B． C． D．4
B
C
3.（2017·江苏期中）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（ ）
A．28° B．33°
C．34° D．56°
A
【解析】连接OB，根据切线的性质可得：∠ABO=90°，则∠AOB=90°－34°=56°，根据图形可得：OB=OC，即∠C=∠OBC，根据三角形外角的性质可得：∠C=56°÷2=28°.
4．（2017·四川期中）下列命题中，真命题的个数（ ）
（1）⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP=5，则直线l与⊙O相切
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆半径为6.5
（3）正多边形都是轴对称图形，也都是中心对称图形
（4）三角形的外心到三角形各边的距离相等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
5．（2016·四川模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是（ ）.
A．55° B．60°
C．65° D．70°
6．（2016·内蒙古模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A．R2﹣r2=a2 B．a=2Rsin36°
C．a=2rtan36° D．r=Rcos36°
C
A
7．（2016·贵州贵阳）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．（2016·广东模拟）一个圆锥的高为8cm，底面圆的半径为6cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．20πcm2 B．30πcm2
C．40πcm2 D．60πcm2
B
D
9．（2016·山东期中）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
A
1．（2017·江苏期中）已知圆锥的母线长是6cm，侧面展开图的面积是48πcm2，则此圆锥的底面半径是 ．
2．（2016·陕西模拟）如图，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，且AD=4，点P是射线AB上一动点，连接DP，△PAD的外接圆于AC交于点Q，则线段QP的最小值是 ．
（二）填空题
8cm
3．（2017·四川期中）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是 ．
4．（2016·浙江模拟）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径 ．
5．（2016·广西模拟）如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的直径为5，CD=4，则弦EF的长为 ．
6．（2016·江西模拟）如图，点P为反比例函数y= （x＞0）图象上一点，以点P为圆心作圆，且该圆恰与两坐标轴都相切．在y轴任取一点E，连接PE并过点P作直线PE的垂线与x轴交于点F，则线段OE与线段OF的长度可能满足的数量关系式是 ．
OF﹣OE=2或OE﹣OF=2或OF+OE=2
7．（2017·江苏期中）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点 ．
8．（2016·北京期末）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 米．
B
12
1．（2017·江苏期中）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长 AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
证明：(1).连OD，∵CE是⊙O的切线, ∠OEC=90o , ∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD,又∵OC//AD
∴∠OAD =∠EOC，∠DOC=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC,
又∵OD=OE,OC=OC, ∴△ODC≌△OEC（SAS）
∴∠ODC=∠OEC=90 O, ∴CD是⊙O的切线.
（三）解答题
2．（2017·江苏期中）如图，在⊙O中，弧AB=60°，AB=6，
（1）求圆的半径； （2）求弧AB的长； （3）求阴影部分的面积．
解：(1).∵弧AB=60°，∴∠AOB=60° 又∵OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=6
(3).等边△AOB的面积是：
S扇形OAB=
则S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB=
3．（2016·广东模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD、过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙0的切线；
3．（2016·广东模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD、过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（2）求证：△FDB∽△FAD
（2）证明：∵EF是⊙O的切线 ∴∠ODB+∠BDF=90°，
∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，∴∠OBD+∠BDF=90°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠OBD=90°，∴∠DAB=∠BDF，
∵∠BFD=∠DFA，∴△FDB∽△FAD；
谢谢
