河南省周口市郸城一中2016-2017学年高二（上）开学数学试卷（解析版）

2016-2017学年河南省周口市郸城一中高二（上）开学数学试卷
　
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜16}，则A∩B=（　　）
A．（1，4）
B．[1，4）
C．[1，+∞）
D．[e，4）
2．已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（　　）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（　　）
A．7
B．15
C．25
D．35
4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（　　）
A．y=﹣|x﹣1|
B．y=ex
C．y=ln（x+1）
D．y=﹣x（x+2）
5．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x） g（x）是偶函数
B．|f（x）| g（x）是奇函数
C．f（x） |g（x）|是奇函数
D．|f（x） g（x）|是奇函数
6．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为（　　）
A．（﹣4，0）∪（2，+∞）
B．（0，2）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）
D．（﹣4，4）
7．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（　　）
A．
B．
C．0
D．
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
9．在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．已知向量=（4，6），=（3，5），且⊥，∥，则向量等于（　　）
A．
B．
C．
D．
11．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（　　）
A．1
B．
C．
D．
12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（　　）
A．{1，3}
B．{﹣3，﹣1，1，3}
C．{2﹣，1，3}
D．{﹣2﹣，1，3}
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=　　．
14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s值等于　　．
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a=　　．
16．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=　　．
　
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知集合A={x|3≤3x≤27}，．
（1）分别求A∩B，（ RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C A，求实数a的取值集合．
18．某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：
（1）依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（2）已知在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．
19．已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．
求：
（1）直线l的方程；
（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．
20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=1，E，F分别是CC1，BC的中点．
（Ⅰ）求证：B1F⊥平面AEF；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣AB1F的体积．
21．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．
22．已知函数f（x）=2cos2（x﹣）﹣sin2x+1
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈（，）时，若f（x）≥log2t恒成立，求
t的取值范围．
　
2016-2017学年河南省周口市郸城一中高二（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合A={x|lnx≥0}，B={x|x2＜16}，则A∩B=（　　）
A．（1，4）
B．[1，4）
C．[1，+∞）
D．[e，4）
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即A=[1，+∞）；
由B中的不等式解得：﹣4＜x＜4，即B=（﹣4，4），
则A∩B=[1，4）．
故选：B．
　
2．已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（　　）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．
∴cosα===﹣，
故选：D．
　
3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（　　）
A．7
B．15
C．25
D．35
【考点】分层抽样方法．
【分析】利用分层抽样知识求解．
【解答】解：设样本容量为n，由题意知：
，
解得n=15．
故选：B．
　
4．下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（　　）
A．y=﹣|x﹣1|
B．y=ex
C．y=ln（x+1）
D．y=﹣x（x+2）
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据函数解析式判断各自函数的单调区间，即可判断答案．
【解答】解：①y=﹣|x﹣1|=
∴（0，+∞）不是减函数，
故A不正确．
②y=ex，在（﹣∞，+∞）上为增函数，
故B不正确．
③y=ln（x+1）在（﹣1，+∞）上为增函数，
故C不正确．
④y=﹣x（x+2）在（﹣1，+∞）上为减函数，
所以在（0，+∞）上为减函数
故D正确．
故选：D．
　
5．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x） g（x）是偶函数
B．|f（x）| g（x）是奇函数
C．f（x） |g（x）|是奇函数
D．|f（x） g（x）|是奇函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x） g（﹣x）=﹣f（x） g（x），故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）| g（﹣x）=|f（x）| g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x） |g（﹣x）|=﹣f（x） |g（x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x） g（﹣x）|=|f（x） g（x）|为偶函数，故D错误，
故选：C
　
6．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为（　　）
A．（﹣4，0）∪（2，+∞）
B．（0，2）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）
D．（﹣4，4）
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据已知中定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣4（x＞0），先求出f（x）＞0的解集，进而求出f（x﹣2）＞0的解集．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣4（x＞0），
∴当x＞0时，若f（x）＞0，则x＞2，
又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＜0时，﹣x＞0，若f（x）＞0，则f（﹣x）＜0，则0＜﹣x＜2，即﹣2＜x＜0，
故f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），
故f（x﹣2）＞0时，x﹣2∈（﹣2，0）∪（2，+∞），
x∈（0，2）∪（4，+∞），
即f（x﹣2）＞0的解集为（0，2）∪（4，+∞）．
故选：B．
　
7．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（　　）
A．
B．
C．0
D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，
可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，
再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，
则φ的一个可能取值为，
故选：B．
　
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图判断几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边的几何体，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
【解答】解：由几何体的三视图知：该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，
由俯视图得长方体的长、宽分别是0.6+2.4=3和2，
由正视图知长方体的高为1+1=2，
∴长方体的体积V=3×2×2=12．
故选D．
　
9．在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cos
x的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．
【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为
∵解得或
∴“cos
x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为
由几何概型概率公式得
cos
x的值介于0到之间的概率为P=
故选A．
　
10．已知向量=（4，6），=（3，5），且⊥，∥，则向量等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据向量平行垂直的坐标公式X1Y2﹣X2Y1=0和X1X2+Y1Y2=0运算即可．
【解答】解：设C（x，y），
∵，
，
联立解得．
故选D．
　
11．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（　　）
A．1
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】根据已知中五件正品，一件次品，我们易得共有6件产品，由此我们先计算出从中任取出两件产品的事件个数，及满足条件“恰好是一件正品，一件次品”的基本事件个数，然后代入古典概型概率公式，可求出答案．
【解答】解：由于产品中共有5件正品，一件次品，故共有6件产品
从中取出两件产品共有：C62==15种
其中恰好是一件正品，一件次品的情况共有：C51=5种
故出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率P==
故选C
　
12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（　　）
A．{1，3}
B．{﹣3，﹣1，1，3}
C．{2﹣，1，3}
D．{﹣2﹣，1，3}
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，
令x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）
∴f（x）=﹣x2﹣3x，
∴
∵g（x）=f（x）﹣x+3
∴g（x）=
令g（x）=0，
当x≥0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，
当x＜0时，﹣x2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，
∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}
故选：D．
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=　1　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），
∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），
∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，
∴ln（+x）（﹣x）=0，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．
　
14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s值等于　46　．
【考点】程序框图．
【分析】①i←1，s←1，i←1+1，s←2×（1+1），判断“i＞4”，应执行“否”；…；直到“i＞4”成立即可跳出循环结构，输出s的值．
【解答】解：①i←1，s←1，i←1+1，s←2×（1+1），判断“i＞4”，应执行“否”；
②i←2+1，s←2×（4+1），判断“i＞4”，应执行“否”；
③i←3+1，s←2×（10+1），判断“i＞4”，应执行“否”；
④i←4+1，s←2×（22+1），判断“i＞4”，应执行“是”．输出s←46．
故答案为46．
　
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a=　　．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，进而求得A推断a=c，答案可得．
【解答】解：由正弦定理，
∴
故答案为
　
16．已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=　　．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角．
【解答】解：单位向量与的夹角为α，且cosα=，不妨=（1，0），=，
=3﹣2=（），=3﹣=（），
∴cosβ===．
故答案为：．
　
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知集合A={x|3≤3x≤27}，．
（1）分别求A∩B，（ RB）∪A；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C A，求实数a的取值集合．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）先确定，A，B集合的范围，根据集合的基本运算即可求A∩B，（ RB）∪A；
（2）根据集合C={x|1＜x＜a}，C A，对C进行讨论，在根据集合的基本运算求解实数a的范围．
【解答】解：（1集合A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}，
={x|x}，则（ RB）={x|}
那么：A∩B={x|}；
（ RB）∪A={x|x≤3}．
（2）集合C={x|1＜x＜a}，C A，
当C= 时，a≤1，满足题意．
当C≠ 时，C A，则有：，解得：1＜a≤3
综上所述：实数a的取值集合是{a|a≤3}．
　
18．某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：
（1）依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（2）已知在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．
【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）求出频率，用频率估计概率；（2）列出所有的基本事件，求概率．
【解答】解：（1）由图知，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为（0.02+0.03+0.025+0.005）×10=0.80，
所以，估计这次考试的及格率为80%；
=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+8×0.25+95×0.05=72，
则估计这次考试的平均分是72分．
（2）从95，96，97，98，99，100这6个数中任取2个数共有=15个基本事件，
而[90，100]的人数有3人，则共有基本事件C=3．
则这2个数恰好是两个学生的成绩的概率P==．
　
19．已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．
求：
（1）直线l的方程；
（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），分别代入直线l1
和l2的方程，求出m=﹣1，n=2，用两点式求直线的方程．
（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由，求得R的值，即可求出圆的方程．
【解答】解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），则，即，解得m=﹣1，n=2．
即A（﹣1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y﹣3=0．
（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，
求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．
　
20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=1，E，F分别是CC1，BC的中点．
（Ⅰ）求证：B1F⊥平面AEF；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣AB1F的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）证明AF⊥B1F，B1F⊥EF，然后证明B1F⊥平面AEF；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B1F⊥平面AEF，然后利用等积法求得三棱锥E﹣AB1F的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：由条件知AF⊥平面CCBB1，∴AF⊥B1F，
由∠BAC=90°，且AB=AA1=1，得，EF=，，
∴，即B1F⊥EF，又∵EF∩AF=F，
∴B1F⊥平面AEF；
（Ⅱ）解：由已知可得，AF=，且由（Ⅰ）知AF⊥FE，
∴，
∴．
　
21．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）利用简单的三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域，得出结论．
（Ⅱ）△ABC中，由f（A）=，求得A的值，利用正弦定理、余弦定理求得a、sinB的值，可得cosB的值，从而求得cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB
的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sin（x+）cosx
=（sinx+cosx） cosx=sin2x+ =sin（2x+）+，
所以函数f（x）的值域是[，]．
（Ⅱ）△ABC中，∵A为锐角，f（A）=sin（2A+）+=，
∴sin（2A+）=0，∴2A+=π，∴A=．
又
b=2，c=3，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cosA=4+9﹣12cos=7，∴a=．
由
=，得sinB=，又b＜a，从而B＜A，∴cosB==．
∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=+=．
　
22．已知函数f（x）=2cos2（x﹣）﹣sin2x+1
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈（，）时，若f（x）≥log2t恒成立，求
t的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cos（2x+）+2，由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由，可得，解得1≤cos（2x+）+2，求得f（x），f（x）min=1，由题意log2t≤1，从而解得t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x﹣）﹣sin2x+2=cos2x﹣sin2x+2=cos（2x+）+2，…
由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，得k≤x≤k，k∈Z，…
∴f（x）的单调递增区间为[k，k]，k∈Z，．…
（或者：f（x）=﹣+2=cos2x﹣+2
=﹣+2，…
令
+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z．
则
+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．…
∴f（x）的单调递增区间为：[+kπ，
+kπ]，k∈Z．…6分）
（Ⅱ）∵，
∴，…
∴﹣1≤cos（）≤﹣，1≤cos（2x+）+2，…
（或者：∵，∴…
∴≤≤1∴1≤﹣+2≤…8分）
∴f（x），f（x）min=1．
…
若f（x）≥log2t恒成立，∴则log2t≤1，
∴0＜t≤2，…
即t的取值范围为（0，2]．…
　
2017年1月1日