黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2016-2017学年高二（上）开学数学试卷（解析版）

2016-2017学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二（上）开学数学试卷
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（　　）
A．
B．2
C．
D．
2．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，m∥β，则α∥β
3．已知数列{an}的通项公式是an=﹣4n+78，{an}的前n项和为Sn，则Sn达到最大值时，n的值是（　　）
A．17
B．18
C．19
D．20
4．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
5．若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（　　）
A．1
B．
C．
D．﹣3
6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为BC、C1C的中点，那么异面直线MN与AC所成的角等于（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
7．直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，则m的值为（　　）
A．﹣3
B．1
C．0或
D．1或﹣3
8．在△ABC中，a=2，A=45°，若此三角形有两解，则b的取值范围是（　　）
A．（2，2）
B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2）
D．（，）
9．当x＞3时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3]
B．[3，+∞）
C．[，+∞）
D．（﹣∞，]
10．数列{an}中，a1=2，an+1=an+（n∈N
），则a10=（　　）
A．3.4
B．3.6
C．3.8
D．4
11．若c=acosB，b=asinC，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
12．若函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象经过点P（m，n），且过点Q（m﹣1，n）的直线
l被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0截得的弦长为3，则直线l的斜率为（　　）
A．﹣1或者﹣7
B．﹣7或
C．0或
D．0或﹣1
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是　　．
14．在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=　　．
15．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=　　．
16．若集合A={（x，y）|y=1+}，B={（x，y）|y=k（x﹣2）+4}，当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是　　．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知点A（3，3）、B（5，2）到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x﹣y﹣1=0和l2：x+y﹣3=0的交点，求直线l的方程．
18．△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosC=2b﹣c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）如果a=1，求b+c的取值范围．
19．如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAD所成角的大小．
20．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an﹣3（n∈N
）．
（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N
），且b1=2，求数列{bn}的通项公式．
22．已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求⊙C的方程；
（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．
　
2016-2017学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（　　）
A．
B．2
C．
D．
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．
【解答】解：由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．
∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．
∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是．
故选：B．
　
2．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，m∥β，则α∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；
若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；
若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；
若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：B．
　
3．已知数列{an}的通项公式是an=﹣4n+78，{an}的前n项和为Sn，则Sn达到最大值时，n的值是（　　）
A．17
B．18
C．19
D．20
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由通项公式可得数列{an}是递减数列，前19项为正项，从20项开始为负项，从而得出结论．
【解答】解：数列{an}的通项公式是an=﹣4n+78，
∴数列{an}是递减数列，令an=﹣4n+78=0，求得n=19.5，
故前19项为正项，从20项开始为负项，
故前19项的和最大，{an}的前n项和Sn达到最大值，
故选：C．
　
4．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
【考点】不等式比较大小；不等关系与不等式．
【分析】利用特例法，判断选项即可．
【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则，，∴A、B不正确；
，
=﹣，
∴C不正确，D正确．
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴．
故选：D．
　
5．若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（　　）
A．1
B．
C．
D．﹣3
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（1，），
代入目标函数z=x+y得z=1+=．
即目标函数z=x+y的最大值为．
故选：A
　
6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为BC、C1C的中点，那么异面直线MN与AC所成的角等于（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】如图所示，连接BC1．则MN∥BC1．连接A1C1，A1B．利用正方体的性质可得AC∥A1C1，故∠BC1A1或其补角是异面直线MN与AC所成的角．再利用正方体的性质、等边三角形的性质即可得出．
【解答】解：如图所示，连接BC1．则MN∥BC1．
连接A1C1，A1B．
则AC∥A1C1，
∴∠BC1A1或其补角是异面直线MN与AC所成的角．
∵△A1BC1是等边三角形．
∴∠A1C1B=60°．
∴异面直线MN与AC所成的角是60°．
故选：C．
　
7．直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，则m的值为（　　）
A．﹣3
B．1
C．0或
D．1或﹣3
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】根据两条直线垂直的条件，结合题意建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．
【解答】解：∵直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，
∴m（m﹣1）+（1﹣m）（2m+3）=0，解之得m=﹣3或1
故选：D
　
8．在△ABC中，a=2，A=45°，若此三角形有两解，则b的取值范围是（　　）
A．（2，2）
B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2）
D．（，）
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理和b和sinB求得b和sinB的关系，利用A求得B+C；要使三角形两个这两个值互补先看若B≤45°，则和B互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜B＜135°若B=90°，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinB的范围，利用sinB和b的关系求得b的范围．
【解答】解：∵a=2，A=45°，
∴由正弦定理可得：，解得b=2sinB，
∵B+C=180°﹣45°=135°，由B有两个值，则这两个值互补，
若B≤45°，
则和B互补的角大于135°，这样A+B＞180°，不成立，
∴45°＜B＜135°，
又若B=90°，这样补角也是90°，一解，
所以＜sinB＜1，
b=2sinB，
所以2＜b＜2．
则b的取值范围是为：（2，2）．
故选：A．
　
9．当x＞3时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，3]
B．[3，+∞）
C．[，+∞）
D．（﹣∞，]
【考点】基本不等式．
【分析】根据x＞3，得到x﹣1＞2，利用基本不等式可得y=（x﹣1）++1，换元函数得出y=t++1，t∈（2，+∞），利用对勾函数的单调性求解最小值，解决恒成立即可．
【解答】解：解：∵x＞3
∴x﹣1＞2，
∴y=（x﹣1）++1，
设t=x﹣1，t＞2
y=t++1，在t∈（2，+∞）上单调递增，
∴y＞2=，
∵不等式x+≥a恒成立，
∴，
a的取值范围是（﹣∞，]，
故选：D．
　
10．数列{an}中，a1=2，an+1=an+（n∈N
），则a10=（　　）
A．3.4
B．3.6
C．3.8
D．4
【考点】数列递推式．
【分析】根据数列递推式，利用裂项法，即可求得结论．
【解答】解：∵
∴
∴a10=a1+（a2﹣a1）+…+（a10﹣a9）=2+（1﹣）+…+（）=2+2（1﹣）=3.8
故选C．
　
11．若c=acosB，b=asinC，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【考点】正弦定理．
【分析】由余弦定理化简c=acosB得：a2=b2+c2，判断出A=90°，再由正弦定理化简b=asinC，判断出B、C的关系．
【解答】解：因为：在△ABC中，c=acosB，
所以：由余弦定理得，c=a×，化简得，a2=b2+c2，
则：△ABC是直角三角形，且A=90°，
所以：sinA=1，
又因为：b=asinC，由正弦定理得，sinB=sinAsinC，即sinC=sinB，
又因为：C＜90°，B＜90°，则C=B，
所以：△ABC是等腰直角三角形，
故选：B．
　
12．若函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象经过点P（m，n），且过点Q（m﹣1，n）的直线
l被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0截得的弦长为3，则直线l的斜率为（　　）
A．﹣1或者﹣7
B．﹣7或
C．0或
D．0或﹣1
【考点】直线与圆相交的性质；指数函数的图象与性质．
【分析】由题意，P（2，2），Q（1，2），设l：y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，由弦长及半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离d，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即为直线l的斜率．
【解答】解：由题意，P（2，2），Q（1，2），设l：y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，
圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=9，
圆心C（﹣1，1）到l的距离，
∴k2+8k+7=0，k=﹣1或﹣7，
故选A．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是　（x﹣2）2+（y+1）2=　．
【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．
【分析】由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程．
【解答】解：将直线x+y=6化为x+y﹣6=0，
圆的半径r==，
所以圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=．
答案：（x﹣2）2+（y+1）2=
　
14．在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=　6　．
【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．
【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：∵an+1=2an，
∴，
∵a1=2，
∴数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn===2n+1﹣2=126，
∴2n+1=128，
∴n+1=7，
∴n=6．
故答案为：6
　
15．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=　1　．
【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．
【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC==，cosA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
故答案为：1．
　
16．若集合A={（x，y）|y=1+}，B={（x，y）|y=k（x﹣2）+4}，当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是　（，]　．
【考点】子集与真子集．
【分析】若集合A∩B有4个子集，则集合A∩B有2个元素，即函数y=1+和y=k（x﹣2）+4有两个交点，在同一坐标系中画出函数y=1+和y=k（x﹣2）+4的图象，数形结合可得答案．
【解答】解：若集合A∩B有4个子集，则集合A∩B有2个元素，
即函数y=1+和y=k（x﹣2）+4有两个交点，
在同一坐标系中画出函数y=1+和y=k（x﹣2）+4的图象如下图所示：
由图可知：当＜k≤时，满足条件，
故实数k的取值范围是（，]，
故答案为：（，]
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知点A（3，3）、B（5，2）到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x﹣y﹣1=0和l2：x+y﹣3=0的交点，求直线l的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线平行的判定；直线的点斜式方程；直线的两点式方程．
【分析】根据A、B在直线的同侧与异侧两种情况求解，在同侧时，利用直线平行则斜率相等求直线的斜率，从而求出直线方程；在异侧时，判定直线过线段的中点，利用两点式求直线方程．
【解答】解：解方程组得交点P（1，2）．
（1）若A、B在直线L的同侧，则L∥AB，
KAB==﹣，
∴直线的方程是：y﹣2=﹣（x﹣1），
即x+2y﹣5=0．
（2）若A、B分别在直线L的异侧，则直线L过线段AB的中点（4，），
∴直线L的两点式方程是，
即x﹣6y+11=0．
综（1）（2）知直线L的方程是x+2y﹣5=0或x﹣6y+11=0．
　
18．△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosC=2b﹣c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）如果a=1，求b+c的取值范围．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简方程，即可求角A的余弦值，得到A的值；
（Ⅱ）利用正弦定理区别b，c的值，b+c为B的正弦函数，通过三角函数值域，求出b+c的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）2acosC=2b﹣c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinC=sinB，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，
∴cosA=，
角A的大小为：；
（Ⅱ）由正弦定理可得：b=，，
∴b+c===，
∵∴，
∴∈，
∴，
∴b+c的取值范围：（1，2]．
　
19．如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAD所成角的大小．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）要证明CE∥平面PAB；只需要证明CE与平面PAB内的一条直线平行即可．由题意，E为PD中点．取AP中点F，连接EF，BF，证明CE∥BF即可．
（Ⅱ）过E点作AP平行线交AD于M，连接CM，证明CM垂直平面ADP，那么∠MCE就是直线CE与平面PAD所成角．（作（找），证，算，三步骤都不能少）
【解答】解：（1）证明：取PA的中点为F，连接EF、BF，
∵E为PD中点，
∴EF∥AD，且，
又∵BC∥AD，，
所以：BCEF，
因此：四边形BCEF为平行四边形，
所以：CE∥BF，
又∵CE 平面PAB，BF 平面PAB，
所以：CE∥平面PAB．
得证．
（2）过E点作AP平行线交AD于M，连接CM、EM．
∵PA⊥平面ABCD，E为PD中点，
∴M为AD的中心，则有BCAM，所以四边形ABCM是平行四边形，AB∥CM，CM⊥AD，
CM 平面ABCD，所以PA⊥CM，
又∵AM∩PA=A，CM⊥平面PAB
∴CM⊥EM，
那么∠MCE就是直线CE与平面PAD所成角．
又∵PA=2，E、M分别为PD、AD的中点，
∴CM=EM=1，所以∠ECM=45°，
故直线CE与平面PAD所成角为45°．
　
20．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x=3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，
则圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离，
由勾股定理可知，代入化简得|a+1|=2，
解得a=1或a=﹣3，
又a＞0，所以a=1；
（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2
由（3，5）到圆心的距离为=＞r=2，得到（3，5）在圆外，
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5=k（x﹣3）
由圆心到切线的距离d==r=2，
化简得：12k=5，可解得，
∴切线方程为5x﹣12y+45=0；
②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．
由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3．
　
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an﹣3（n∈N
）．
（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N
），且b1=2，求数列{bn}的通项公式．
【考点】数列递推式；等比关系的确定．
【分析】（Ⅰ）要证明数列为等比数列，只需证明数列的后一项比前一项为常数即可，先根据当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，求出数列{an}的递推关系式，再求，得道常数，即可证明．
（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求数列{an}的递推公式，代入bn+1=an+bn（n∈N
），可得数列{bn}的递推公式，再用迭代法，即可求出数列{bn}的通项公式．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由Sn=4an﹣3，n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．
因为Sn=4an﹣3，则Sn﹣1=4an﹣1﹣3（n≥2），
所以当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4an﹣4an﹣1，
整理得．又a1=1≠0，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：因为，
由bn+1=an+bn（n∈N
），得．
可得bn=b1+（b2﹣b′1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）
=，（n≥2）．
当n=1时上式也满足条件．
所以数列{bn}的通项公式为．
　
22．已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求⊙C的方程；
（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．
【考点】关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．
（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．
【解答】解：（1）设圆心C（a，b），则，解得
a=0，b=0
则圆C的方程为x2+y2=r2，
将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，
故圆C的方程为x2+y2=2；
（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，
=（x﹣1，y﹣1） （x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，
令x=cosθ，y=sinθ，
∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+
）﹣2，
∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，
所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．
　
2017年1月1日