广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二12月月考数学（理）试题

广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二年级上学期12月份考试
理科数学试题
(时间：120分钟　满分：120分)
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1.
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.
请将答案正确填写在答题卡上
一、
选择题
1.
已知抛物线方程为
，直线的方程为
，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为
，P到直线的距离为
，则
的最小(
)
A．
B．
C．
D．
2.已知圆
的圆心为抛物线
的焦点，直线
与圆
相切，则该圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知抛物线
的准线过椭圆
的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，
的面积为
，则椭圆的离心率为(

)
A.

B.

C.

D.
4.设双曲线
＝1(
a
>0，
b
>0)的一条渐近线与抛物线
y
＝
x
2
＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)．
A．
B．5
C．
D．
5.已知F
1
、F
2
是双曲线
（a＞0，b＞0）的两焦点，以线段F
1
F
2
为边作正三角形MF
1
F
2
，若边MF
1
的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （
）
A．4+
　　　　
B．
+1　　　
C．
1　　　
D．
6.圆心在
上，半径为3的圆的标准方程为（ ）
A

B
C

D
7.椭圆
的左、右焦点分别为
，
是
上两点，
，
，则椭圆
的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
8.
已知F为双曲线C：
的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（
）
A．11
B．22
C．33
D．44
9.
已知椭圆：
，左右焦点分别为
，过
的直线交椭圆于A，B两点，若
的最大值为5，则
的值是
(
)
A．1
B．
C．
D．
10.长方体
ABCD-A
1
B
1
( http: / / www.21cnjy.com )C
1
D
1
中，
AB
＝
AA
1
＝2，
AD
＝1，
E
为
CC
1
的中点，则异面直线
BC
1
与
AE
所成角的余弦值为
(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．
B．
C．
D．
11.设
是正三棱锥，
是
的重心，
是
上的一点，且
，若
，则
为（
）
A．
B．
C．
D．
12.
如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，
E
是
BC
的中点，那么（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．
B．
C．
D．
与
不能比较大小
二、
填空题
13.
设向量
a
,
b
,
c
满足
( http: / / www.21cnjy.com )a
+
b
+
c
=0
(
a
-
b
)⊥
c
,
a
⊥
b
,若｜
a
｜=1,则｜
a
｜
2
+｜
b
｜
2
+｜
c
｜
2
的值是______________________.
14.
已知
i
、
j
、
k
是两两垂
( http: / / www.21cnjy.com )直的单位向量，
a
=2
i
-
j
+
k
,
b
=
i
+
j
-3
k
,则
a
b
等于________.
15.如图，在棱长为1的正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
和
N
分别是
A
1
B
1
和
BB
1
的中点，那么直线
AM
与
CN
所成角的余弦值为________．
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16.已知
、
分别为双曲线
:
的左、右焦点，点
，点
的坐标为(2，0)，
为
的平分线．则

.
17.
若一个二面角的两个面的法向量分别为
m
=(0,0,3),
n
=(8,9,2),则这个二面角的余弦值为________.
三、
解答题
18.
已知动点
到定点
的距离与到定直线：
的距离相等，点C在直线上。
（1）求动点
的轨迹方程。
（2）设过定点
，且法向量
的直线与（1）中的轨迹相交于
两点且点
在
轴的上方。判断
能否为钝角并说明理由。进一步研究
为钝角时点
纵坐标的取值范围。
19.已知椭圆方程为
，射线
（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（Ⅰ）求证直线AB的斜率为定值；
（Ⅱ）求△
面积的最大值．
20.已知双曲线
，
、
是双曲线的左右顶点，
是双曲线上除两顶点外的一点，直线
与直线
的斜率之积是
，
求双曲线的离心率；
若该双曲线的焦点到渐近线的距离是
，求双曲线的方程.
21.
正三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
的底面边长为
a
，侧棱长为
a
，求
AC
1
与侧面
ABB
1
A
1
所成的角.
22.
若
PA
⊥平面
ABC
,
AC
⊥
BC
,
PA
=
AC
=1,
BC
=
,求二面角
APBC
的余弦值.
答案
一、选择题
1、
D2、B
3、C
4、D
5、B
6、B
7、D
8、
D9、
D10、B
11、A
12、C
二、填空题
13、4
14、-2
15、
16、
6
17、或-
三、解答题
18、
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解（1）动点
到定点
的距离与到定直线：
的距离相等，所以
的轨迹是以点
为焦点，直线为准线的抛物线，轨迹方程为
（2）方法一：由题意，直线
的方程为

故A、B两点的坐标满足方程组
得
，

设
，则
，

由
，所以
不可能为钝角。
若
为钝角时，
,
得


若
为钝角时，点C纵坐标的取值范围是


注：忽略
扣1分
方法二：由题意，直线
的方程为
（5分）
故A、B两点的坐标满足方程组
得
，
设
，则
，

由
，所以
不可能为钝角。
过
垂直于直线
的直线方程为
令
得
为钝角时，点C纵坐标的取值范围是


注：忽略
扣1分
19、
（Ⅰ）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（
，2）．
直线MA方程为
，
分别与椭圆方程联立，可解出
，
同理得，直线MB方程为
．
∴　
，为定值.
（Ⅱ）设直线AB方程为
，与
联立，消去y得
．
由
＞0得一4＜m＜4，且m≠0，
点M到AB的距离为
．
设△AMB的面积为S．　∴　
．
当
时，得
．
20、
（1）
；（2）
．
21、
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解法一：
建立如图所示的空间直角坐标系，则
A
（0，0，0），
B
（0,
a
,0）,
A
1
(0,0,
a
),
C
1
(-
,
,
a
)，取
A
1
B
1
的中点
M
，则
M
（0,
,
a
），连结
AM
、
MC
1
，有
=(0,
a
,0),
=(0,0,
a
).
由于
∴
MC
1
⊥面
ABB
1
A
1
.
∴∠
C
1
AM
是
AC
1
与侧面
A
1
B
所成的角.
∵
∴
而
∴
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∴〈
〉=30°，即
AC
1
与侧面
AB
1
所成的角为30°.
解法二：
（法向量法）（接方法一）
=（0，0，
a
）.
设侧面
A
1
B
的法向量
n
=(λ,
x
,
y
),
∴
n
=0且
n
=0.∴
ax
=0，且
ay
=0.
∴
x
=
y
=0.故
n
=(λ,0,0).
∵
∴
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∴|cos〈
,
n
〉|=
.
∴〈
〉=30°,即
AC
1
与侧面
AB
1
所成的角为30°.
绿色通道：
充分利用图形的几何特征建立
( http: / / www.21cnjy.com )适当的空间直角坐标系,再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了一般的方法,先求平面法向量与斜线夹角,再进行换算.
22、
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解法一
:
如图所示,取
PB
的中点
D
,连结
CD
.∵
PC
=
BC
=
,
∴
CD
⊥
PB
.
∴作
AE
⊥
PB
于E,那么二面角
APBC
的大小就等于异面直线
DC
与
EA
所成的角
θ
的大小.
∵
PD
=1,
PE
=
,
∴
DE
=
PD
-
PE
=
.
又∵
AE
=
CD
=1,
AC
=1,
∴
cos(π-
θ
),
即1=
+1-2
1cos
θ
,
解得cos
θ
=
.
故二面角
APBC
的余弦值为
.
解法二
:
由解法一可知,向量
的夹角的大小就是二面角
APBC
的大小,如上图,建立空间直角坐标系
C
xyz
,则
A
(1,0,0),
B
(0,
,0),C(0,0,0),
P
(1,0,1),
D
为
PB
的中点,
D
(
).
∴
,即
E
分
的比为
.
∴
E
(
),
∴
故二面角A
P
BC的余弦值为
.
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解法三
:
如图所示建立空间直角坐标系,则
A
(0,0,0),
B
(
,1,0),
C
(0,1,0),
P
(0,0,1),
=(0,0,1),
=(
,1,0),
=(2,0,0),
=(0,-1,1),
设平面
PAB
的法向量为
m
=(
x
,
y
,
z
),则
令
x
=1,则
m
=(1,-
,0).
设平面
PBC
的法向量为
n
=(
x
′,
y
′,
z
′),则
令
y
′=-1,则
n
=(0,-1,-1),
∴cos〈
m
,
n
〉=
∴二面角
APBC
的余弦值为
.
绿色通道：
(1)求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两向量的夹角,但应注意两向量的始点应在二面角的棱上.
(2)当空间直角坐标系容易建立(有特殊
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