19.1.2 矩形的判定 课件
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课件31张PPT。19.1.2 矩形的判定1课堂讲解由直角的个数判定矩形
由对角线的关系判定矩形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是
矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边
形是否是矩形. 除此之外，我们能否找到其他判定矩
形的方法呢?
矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质：
1.四个角都是直角；
2.两条对角线相等.
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示?1知识点由直角的个数判定矩形知1－讲矩形的判定：
方法一(定义判定)：有一个角是直角的平行四边形
是矩形；
方法二(角判定)：有三个角是直角的四边形是矩形；知1－讲易错警示：
用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：
一是有一个角是直角，二是四边形是平行四边形．
也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，
必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形．知1－讲例1 如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD 的中点.
求证:四边形BMDN是矩形.分析：由已知条件，可知BN⊥AD，
DM⊥BC，因此，在四边形
BMDN中，已有两个角是直
角，只需再证明另一个角也
是直角即可得到它是一个矩形.知1－讲证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°.
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，
∴∠DNB＝∠DMB＝90°，
∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°,
∴四边形BMDN是矩形(有三个角是直角的四边形
是矩形).知1－讲例2 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点
E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形．导引：要证明四边形EFGH是矩形，
由于已知ABCD的四个内角的
平分线分别相交于点E，F，
G，H，因此可选用“有三个
角是直角的四边形是矩形”
来证明．知1－讲∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝ ×180°＝90°，
∴∠BGC＝90°.
同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.
∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．证明： 本题目中的图形是建立在平行四边形基础上，
而条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”
来判定矩形．知1－讲1 如图，AB、CD是⊙O的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？证明你的结论.知1－练2 在 ABCD中，增加下列条件中的一个，就能判定
它是矩形的是( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．AB＝BC
C．AC⊥BD
D．AC＝2AB知1－练3 数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学给出的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量三个角是否都为直角知1－练2知识点由对角线的关系判定矩形知2－讲矩形的判定：
方法三(对角线判定)：对角线相等的平行四边形是矩
形；或对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
要点精析：(1)矩形的判定与性质是互逆定理；
(2)判定矩形的
常见思路如
图：知2－讲易错警示：
用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边
形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，
二是四边形是平行四边形．也就是说两条对角线
相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四
边形”这个条件它才是矩形．知2－讲例3 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形.根据已知条件，我们可以
先证明四边形EFGH是平
行四边形，再证明对角线
EG和FH相等，即可得证.分析：知2－讲∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∵AE＝BF＝CG＝DH,
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵EO＋OG＝FO＋OH，
即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四
边形是矩形).证明：知2－讲例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点
D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，
交AG于点E. 求证：四边形ADCE是矩形.根据已知条件AB＝AC ，我们
可以先通过证明四边形ABDE
是平行四边形，得到DE＝AB
＝AC，因此可以利用“对角线
相等的平行四边形是矩形”这
一判定定理.分析：知2－讲∵ AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠1＝ ∠CAF＝ (∠B＋∠ACB) ＝∠B，
∴AE∥BC.
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，∴AC＝DE，AE＝DC.
又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边
形是矩形）.?证明：知2－讲例5 〈探究题〉如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1，AP，BE相交于点H，CE，DP相交于点F.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由；
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你
的判断．知2－讲根据矩形性质得出CD＝2，AD＝5，根据勾股定
理求出CE和BE，进而求出CE2＋BE2，BC2，根
据勾股定理的逆定理即可判断△BEC的形状；导引：(1)判断△BEC的形状，并说明理由；知2－讲(1)△BEC是直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠EAB＝90°，AD＝BC＝5，
CD＝AB＝2，
由勾股定理得：CE＝
同理BE＝ ，∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.
∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形．解：知2－讲根据矩形的性质和平行四
边形的判定，推出四边形
DEBP和四边形AECP均为
平行四边形，进而推出四边形EFPH为平行四边
形，根据矩形的判定即可得出结论．导引：(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你
的判断．知2－讲(2)四边形EFPH为矩形．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BP，DE∥BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.
∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，
∴AE＝CP，AE∥CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形．
∵∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH是矩形．解：证明： 本题综合考查了勾股定理及其逆定理，矩形、
平行四边形的性质和判定等知识，主要培养学生分
析问题和解决问题的能力．知2－讲1 如图，将 ABCD的边DC延长到点E使CE＝DC，连
结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.知2－练知2－练2 下列四边形：
①对角线互相平分的四边形；
②对角线相等的四边形；
③对角线相等的平行四边形；
④对角线互相平分且相等的四边形．
其中一定是矩形的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知2－练3 在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB＝AD B．OA＝OB
C．AC＝BD D．DC⊥BC知2－练4 对于四边形ABCD，给出下列6组条件：
①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；
②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；
③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；
④∠A＝∠B＝∠C＝90°；
⑤AC＝BD；
⑥AB∥CD，AD∥BC.
其中能得到“四边形ABCD是矩形”的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组判定定理1平行四边形的判定有一个角是直角(定义)对角线互相平分且相等判定定理2(有三个角是直角)(对角线相等)1.必做: 完成教材P104练习T2-3，
P106练习T1-2
2.补充: 请完成练习册剩余部分习题
由对角线的关系判定矩形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是
矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边
形是否是矩形. 除此之外，我们能否找到其他判定矩
形的方法呢?
矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质：
1.四个角都是直角；
2.两条对角线相等.
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示?1知识点由直角的个数判定矩形知1－讲矩形的判定：
方法一(定义判定)：有一个角是直角的平行四边形
是矩形；
方法二(角判定)：有三个角是直角的四边形是矩形；知1－讲易错警示：
用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：
一是有一个角是直角，二是四边形是平行四边形．
也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，
必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形．知1－讲例1 如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD 的中点.
求证:四边形BMDN是矩形.分析：由已知条件，可知BN⊥AD，
DM⊥BC，因此，在四边形
BMDN中，已有两个角是直
角，只需再证明另一个角也
是直角即可得到它是一个矩形.知1－讲证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°.
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，
∴∠DNB＝∠DMB＝90°，
∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°,
∴四边形BMDN是矩形(有三个角是直角的四边形
是矩形).知1－讲例2 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点
E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形．导引：要证明四边形EFGH是矩形，
由于已知ABCD的四个内角的
平分线分别相交于点E，F，
G，H，因此可选用“有三个
角是直角的四边形是矩形”
来证明．知1－讲∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝ ×180°＝90°，
∴∠BGC＝90°.
同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.
∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．证明： 本题目中的图形是建立在平行四边形基础上，
而条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”
来判定矩形．知1－讲1 如图，AB、CD是⊙O的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？证明你的结论.知1－练2 在 ABCD中，增加下列条件中的一个，就能判定
它是矩形的是( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．AB＝BC
C．AC⊥BD
D．AC＝2AB知1－练3 数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学给出的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量三个角是否都为直角知1－练2知识点由对角线的关系判定矩形知2－讲矩形的判定：
方法三(对角线判定)：对角线相等的平行四边形是矩
形；或对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
要点精析：(1)矩形的判定与性质是互逆定理；
(2)判定矩形的
常见思路如
图：知2－讲易错警示：
用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边
形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，
二是四边形是平行四边形．也就是说两条对角线
相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四
边形”这个条件它才是矩形．知2－讲例3 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形.根据已知条件，我们可以
先证明四边形EFGH是平
行四边形，再证明对角线
EG和FH相等，即可得证.分析：知2－讲∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∵AE＝BF＝CG＝DH,
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵EO＋OG＝FO＋OH，
即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四
边形是矩形).证明：知2－讲例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点
D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，
交AG于点E. 求证：四边形ADCE是矩形.根据已知条件AB＝AC ，我们
可以先通过证明四边形ABDE
是平行四边形，得到DE＝AB
＝AC，因此可以利用“对角线
相等的平行四边形是矩形”这
一判定定理.分析：知2－讲∵ AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠1＝ ∠CAF＝ (∠B＋∠ACB) ＝∠B，
∴AE∥BC.
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，∴AC＝DE，AE＝DC.
又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边
形是矩形）.?证明：知2－讲例5 〈探究题〉如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1，AP，BE相交于点H，CE，DP相交于点F.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由；
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你
的判断．知2－讲根据矩形性质得出CD＝2，AD＝5，根据勾股定
理求出CE和BE，进而求出CE2＋BE2，BC2，根
据勾股定理的逆定理即可判断△BEC的形状；导引：(1)判断△BEC的形状，并说明理由；知2－讲(1)△BEC是直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠EAB＝90°，AD＝BC＝5，
CD＝AB＝2，
由勾股定理得：CE＝
同理BE＝ ，∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.
∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形．解：知2－讲根据矩形的性质和平行四
边形的判定，推出四边形
DEBP和四边形AECP均为
平行四边形，进而推出四边形EFPH为平行四边
形，根据矩形的判定即可得出结论．导引：(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你
的判断．知2－讲(2)四边形EFPH为矩形．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BP，DE∥BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.
∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，
∴AE＝CP，AE∥CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形．
∵∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH是矩形．解：证明： 本题综合考查了勾股定理及其逆定理，矩形、
平行四边形的性质和判定等知识，主要培养学生分
析问题和解决问题的能力．知2－讲1 如图，将 ABCD的边DC延长到点E使CE＝DC，连
结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.知2－练知2－练2 下列四边形：
①对角线互相平分的四边形；
②对角线相等的四边形；
③对角线相等的平行四边形；
④对角线互相平分且相等的四边形．
其中一定是矩形的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知2－练3 在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB＝AD B．OA＝OB
C．AC＝BD D．DC⊥BC知2－练4 对于四边形ABCD，给出下列6组条件：
①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；
②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；
③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；
④∠A＝∠B＝∠C＝90°；
⑤AC＝BD；
⑥AB∥CD，AD∥BC.
其中能得到“四边形ABCD是矩形”的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组判定定理1平行四边形的判定有一个角是直角(定义)对角线互相平分且相等判定定理2(有三个角是直角)(对角线相等)1.必做: 完成教材P104练习T2-3，
P106练习T1-2
2.补充: 请完成练习册剩余部分习题