19.3.1 正方形及其性质 课件
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课件27张PPT。19.3.1 正方形及其性质1课堂讲解正方形的定义
正方形边的性质
正方形角的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升同学们观察下列一组图片，你发现了那些几何图形： 1知识点正方形的定义知1－讲定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正
方形；
要点精析：
(1)正方形的四条边相等，说明正方形是特殊的菱形；
(2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形．
即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．知1－讲例1 下面四个定义中不正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形B1 下列说法错误的是( )
A．正方形是平行四边形
B．正方形是菱形
C．正方形是矩形
D．菱形和矩形都是正方形知1－练2 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，
那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD知1－练2知识点正方形边的性质知2－导 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方
形具有矩形的性质，同时又具有 菱形的性质．知2－讲正方形边的性质：四条边相等，邻边垂直，对边平行.知2－讲例2 如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝3，EC＝1.连结AE，点F在射线AB上，且满足CF＝AE，则A，F两点间的距离为________．1或7知2－讲∵DE＝3，EC＝1，∴正方形ABCD的边长为4.
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF，AD＝CB，∴Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴BF＝DE＝3.
∵点F在射线AB上，
∴分两种情况：①当点F在线段AB上时，AF＝AB
－BF＝4－3＝1；②当点F在AB的延长线上时，
AF＝AB＋BF＝4＋3＝7.导引：1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等 B．四条边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2 如图，正方形ABCD的面积为2，
则以相邻两边中点连线EF为边
的正方形EFGH的周长为( )
A．2 B．
C．4 D． 知2－练知2－练3 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A．3
B．4
C．5
D．63知识点正方形角的性质知3－讲动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察，
回答下列问题.
问：它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间
有什么位置关系？有什么数 量关系？1.正方形的性质：
(1)①角：四个角都是直角；②对角线：对角线相等，互相
垂直平分，每条对角线平分一组对角；③既是轴对称图
形，有4条对称轴，又是中心对称图形；④面积为边长
的平方或对角线平方的一半．
(2)正方形的特殊性质：①正方形的一条对角线把正方形分
成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形； ②周长相等的四边形
中，正方形的面积最大．
2. 易错警示：正方形具备其他四边形的所有性质，应用时
要细心寻找．知3－讲例3 如图，已知正方形ABCD.求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的大小.分析：由正方形的特殊性质，可知
∠DOC＝90°.
易证△ABO≌△CBO，
从而可得∠ABD＝
同理可得∠DAC＝45°.知3－讲例4 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交AO于F，求证：EF∥AB.导引：要证EF∥AB，由于∠OBA＝
45°，∠EOF＝90°，即需证
∠OEF＝45°，即要证明OE＝
OF，而OE＝OF可通过证明
△AEO≌△DFO获得．知3－讲解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，
AO＝DO，∠OBA＝45°.
∵DG⊥AE，
∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.
又∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.
∴△AEO≌△DFO(ASA.)．∴OE＝OF.
∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA，∴EF∥AB.知3－讲 通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一
步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等
的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角
都是直角为证明三角形全等提供了条件．知3－讲例5 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．导引：知3－讲线段BE是Rt△ABE的一边，
但由于AE未知，不能直接用
勾股定理求BE，由条件可证
△ABE≌△AFE，问题转化为
求EF的长，结合已知条件易
获解．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，∴BE＝( －1)cm.知3－讲 解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四
边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质
解题，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾
股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把
钥匙．知3－讲1 已知正方形纸片ABCD的边AB长2 cm.求这个正方形的周长、对角线长和面积. (长度精确到0.1 cm)
2 如图，在正方形ABCD中，如果AF＝BE，那么∠AOD的度数是________．知3－练3 如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED的度数是________．知3－练4 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC等于( )
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°知3－练 正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有
性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相
等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分
一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这
些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的
依据．1.必做: 完成教材P121习题19.3T1-3
2.补充: 请完成练习册剩余部分习题
正方形边的性质
正方形角的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升同学们观察下列一组图片，你发现了那些几何图形： 1知识点正方形的定义知1－讲定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正
方形；
要点精析：
(1)正方形的四条边相等，说明正方形是特殊的菱形；
(2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形．
即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．知1－讲例1 下面四个定义中不正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形B1 下列说法错误的是( )
A．正方形是平行四边形
B．正方形是菱形
C．正方形是矩形
D．菱形和矩形都是正方形知1－练2 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，
那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD知1－练2知识点正方形边的性质知2－导 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方
形具有矩形的性质，同时又具有 菱形的性质．知2－讲正方形边的性质：四条边相等，邻边垂直，对边平行.知2－讲例2 如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝3，EC＝1.连结AE，点F在射线AB上，且满足CF＝AE，则A，F两点间的距离为________．1或7知2－讲∵DE＝3，EC＝1，∴正方形ABCD的边长为4.
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF，AD＝CB，∴Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴BF＝DE＝3.
∵点F在射线AB上，
∴分两种情况：①当点F在线段AB上时，AF＝AB
－BF＝4－3＝1；②当点F在AB的延长线上时，
AF＝AB＋BF＝4＋3＝7.导引：1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等 B．四条边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2 如图，正方形ABCD的面积为2，
则以相邻两边中点连线EF为边
的正方形EFGH的周长为( )
A．2 B．
C．4 D． 知2－练知2－练3 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A．3
B．4
C．5
D．63知识点正方形角的性质知3－讲动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察，
回答下列问题.
问：它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间
有什么位置关系？有什么数 量关系？1.正方形的性质：
(1)①角：四个角都是直角；②对角线：对角线相等，互相
垂直平分，每条对角线平分一组对角；③既是轴对称图
形，有4条对称轴，又是中心对称图形；④面积为边长
的平方或对角线平方的一半．
(2)正方形的特殊性质：①正方形的一条对角线把正方形分
成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形； ②周长相等的四边形
中，正方形的面积最大．
2. 易错警示：正方形具备其他四边形的所有性质，应用时
要细心寻找．知3－讲例3 如图，已知正方形ABCD.求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的大小.分析：由正方形的特殊性质，可知
∠DOC＝90°.
易证△ABO≌△CBO，
从而可得∠ABD＝
同理可得∠DAC＝45°.知3－讲例4 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交AO于F，求证：EF∥AB.导引：要证EF∥AB，由于∠OBA＝
45°，∠EOF＝90°，即需证
∠OEF＝45°，即要证明OE＝
OF，而OE＝OF可通过证明
△AEO≌△DFO获得．知3－讲解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，
AO＝DO，∠OBA＝45°.
∵DG⊥AE，
∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.
又∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.
∴△AEO≌△DFO(ASA.)．∴OE＝OF.
∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA，∴EF∥AB.知3－讲 通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一
步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等
的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角
都是直角为证明三角形全等提供了条件．知3－讲例5 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．导引：知3－讲线段BE是Rt△ABE的一边，
但由于AE未知，不能直接用
勾股定理求BE，由条件可证
△ABE≌△AFE，问题转化为
求EF的长，结合已知条件易
获解．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，∴BE＝( －1)cm.知3－讲 解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四
边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质
解题，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾
股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把
钥匙．知3－讲1 已知正方形纸片ABCD的边AB长2 cm.求这个正方形的周长、对角线长和面积. (长度精确到0.1 cm)
2 如图，在正方形ABCD中，如果AF＝BE，那么∠AOD的度数是________．知3－练3 如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED的度数是________．知3－练4 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC等于( )
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°知3－练 正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有
性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相
等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分
一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这
些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的
依据．1.必做: 完成教材P121习题19.3T1-3
2.补充: 请完成练习册剩余部分习题