18.1.2 平行四边形的对角线性质 课件

课件35张PPT。18.1.2 平行四边形的对角线性质1课堂讲解平行四边形的性质——对角线互相平分
平行四边形的面积2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1. 平行四边形的定义是什么？
2. 平行四边形的边、角有哪些性质？复习回顾1知识点平行四边形的性质——对角线互相平分 ABCD是一个中心对称图形，对角线的交
点O就是对称中心，有 OA = OC, OB = OD.
由此可得：
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角
线互相平分.知1－导知1－讲对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．
数学表达式：如图，∵四边形ABCD是
平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
拓展：
(1)平行四边形的两条对角线把它分割成四个面积相等的三
角形；
数学表达式：
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD
相交于点O，∴S△ABO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ADO.知1－讲(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该
直线平分平行四边形的周长和面积．
数学表达式：如图，∵直线EF过平
行四边形ABCD两对角线的交点O，
∴AE＋AB＋BF＝FC＋CD＋DE
＝ (AB＋BC＋CD＋DA)，
S四边形ABFE＝S四边形FCDE＝
知1－讲如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB = 6，那么对角线AC
与BD的和是多少？在 ABCD中，
∵AB = 6, AO +BO +AB = 15,
∴AO+BO =15-6 =9.
又∵AO =OC, BO =OD
(平行四边形的对角线互相平分)，
∴AC+BD=2AO+2BO= 2(AO+ BO) =2×9=18.证明：例1 知1－讲如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点
F. 求证：OE=OF.要证明OE= OF，只要证明它们所在的两个三
角形全等即可.分析：例2 知1－讲∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).
又∵AB // DC ,
∴∠EBO =∠FDO.
又∵∠BOE =∠DOF,
∴△BEO≌△DFO.
∴OE = OF.解：知1－讲例3 由平行四边形对边相等知，
2AB＋2BC＝60，所以AB
＋BC＝30.又由△AOB的周
长比△BOC的周长长8，知
AB－BC＝8，联立以上两
式，即可求出各边长．导引：如图，已知 ABCD的周长是60，对角线AC，BD
相交于点O.若△AOB的周长比△BOC的周长长8，求这个平行四边形各边的长．知1－讲∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，
OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，
∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8.
∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11，
即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.解：知1－讲 在应用平行四边形的性质时，我们应从三个方
面去考虑：从边、角、对角线看它们的性质；解本
例时，我们从“平行四边形的对角线互相平分”中
得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三
角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形
的两邻边之差”；熟记这些结论，能为计算带来很
多方便．知1－讲例4 平行四边形的性质提供了边的
平行与相等，角的相等与互补，
对角线的平分，当所要证明的
结论中的线段在对角线上时，
往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质.
因此本例要证对角线上的AE＝CF，可考虑利用对
角线互相平分这一性质，先连接BD交AC于O，再
进行证明．导引：如图，已知?ABCD与?EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上，求证：AE＝CF.知1－讲如图，连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD是平行四边形，
∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，
∴AE＝CF(等式的性质)．证明：知1－讲 本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的
两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想
到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目
的，却忽视了平行四边形的特有的性质，易走弯路.
因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用
平行四边形的性质．知1－练如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
指出图中各对相等的线段知1－练如图，在 ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC, DF⊥AC, 垂足分别为E、F. 求证：OE= OF.知1－练　 如图，已知 ABCD的对角线AC，
BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(　　)
A．AO＝OD
B．AO⊥OD
C．AO＝OC
D．AO⊥AB知1－练4　如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是(　　)
A．2 cm＜OA＜5 cm
B．2 cm＜OA＜8 cm
C．1 cm＜OA＜4 cm
D．3 cm＜OA＜8 cm知1－练5　如图，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC. 若AB＝4，AC＝6，则BD的长是(　　)
A．8
B．9
C．10
D．11知1－练6　如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，则图中全等的三角
形共有(　　)
A．7对
B．6对
C．5对
D．4对知1－练7　如图，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于O，OE⊥BD于O交BC于E，连接DE，若△CED的周长是21 cm，则 ABCD的周长是________．2知识点平行四边形的面积知2－讲1.面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边
形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；
2.等底等高的平行四边形的面积相等．
要点精析：
(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；
(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：三角
形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．拓展：
(1)两等底平行四边形(三角形)面积的比等于它们高
的比；
(2)两等高平行四边形(三角形)面积的比等于它们底
的比．
3.根据平行四边形的两组对边相等，可知平行四边
形的周长等于两邻边和的2倍．知2－讲 如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，
AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是________．例5 知2－讲20求 ABCD的周长，已知一条边AD＝6，只需求出
AD的邻边AB或CD的长即可．
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，∴EC＝BC－BE＝6－2＝4，
∵ AD∥BC，∠ADE＝∠DEC.
∵DE平分∠ADC，∠ADE＝∠EDC.
∴∠EDC＝∠DEC. ∴DC＝EC＝4.
∴ ABCD的周长是2×(4＋6)＝20.导引：知2－讲 如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，
∠B＝30°，则此平行四边形的面积是(　　)
A．6　　　
B．12　　　
C．18　　　
D．24例6 知2－讲B过点A作AE⊥BC于E，根据含30°角的直角三角形
的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等
于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面
积公式即可求出其面积．
如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵在直角三角形ABE中，
∠B＝30°，
∴AE＝ ×AB＝ ×4＝2.
∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝6×2＝12.导引：知2－讲知2－讲 求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面
积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．
平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平
行线间的距离处处相等．如图，在 ABCD中，对角线AC＝21cm，
BC⊥AC＝6，垂足为点E，且BE=5cm，AD=7cm.
求AD和BC之间的距离.例7 知2－讲设AD和BC之间的距离为x，则 ABCD的面积等
于AD·x.
∵
∴AD·x=AC·BE，
即7x=21×5，∴x=15(cm).
即AD和BC之间的距离为15cm.解：1　将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法有(　 )
A．1种 B．2种
C．4种 D．无数种知2－练2　如图, 在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点,点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为(　　)
A．2 B.
C. D．15知2－练知2－练3　如图，过 ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的 AEMG
的面积S1与 HCFM的面积S2的大小关系是(　　)
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．2S1＝S21.平行四边形的性质：
(1)边：平行四边形的对边相等.
(2)角：平行四边形的对角相等.
(3)对角线：平行四边形的对角线相等.
2.平行四边形的面积：
(1)面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四
边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；
(2)等底等高的平行四边形的面积相等．必做: 完成教材P78练习T3， P80练习T1-3
补充: 请完成练习册剩余部分习题