江苏省徐州市沛县二中2016-2017学年高一（上）月考数学试卷（解析版）

2016-2017学年江苏省徐州市沛县二中高一（上）月考数学试卷
　
一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分．请将答案填在答题卡对应的横线上．
1．已知集合A={1，a}，B={1，3，4}，且A∩B={1，3}，则实数a的值为　　．
2．不等式x（x﹣1）＞0的解集是　　．
3．已知点A（1，3），B（4，1），则向量的模为　　．
4．方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为　　．
5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是　　．
6．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数2x﹣y的最大值是　　．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2S3﹣3S2=12，则数列{an}的公差是　　．
8．已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+）=　　．
9．已知函数f（x）=loga（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是　　．
10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆（x﹣a）2+（y﹣）2=3相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为　　．
11．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7+a8﹣a72=0（a7≠0），则S13=　　．
12．设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=6，AC=3，则 =　　．
13．已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=　　．
14．若正数x，y满足xy+2x+y=8，则x+y的最小值等于　　．
　
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0}（a＞0）．
（Ⅰ）求
A∩（ RB）；
（Ⅱ）若C （A∩B），试确定正实数a的取值范围．
16．在四边形ABCD中，AB=，CD=2，∠BAD=135°，∠BCD=60°，∠ADB=30°．
（1）求BC边的长；
（2）求∠ABC的大小．
17．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．
（1）当∥时，求tan（x﹣）的值；
（2）设函数f（x）=2（+） ，当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
18．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A
（1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．
19．某单位因工作需要，要制作一批操作台面，台面上有两块大小相同的长方形钢化玻璃（图中阴影部分），每块钢化玻璃的面积为1800cm2，每块钢化玻璃需能放置半径为15cm的圆形器皿，每块钢化玻璃周围与操作台边缘要留20cm空白，两块钢化玻璃的间距为50cm，设钢化玻璃长为xcm，操作台面面积为S．
（1）当操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小；
（2）若每块钢化玻璃长至少比宽多14cm，则操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小？
20．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1+a2+a3=9，b1b2b3=27．
（1）若a4=b3，b4﹣b3=m．
①当m=18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；
②若数列{bn}是唯一的，求m的值；
（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值．
　
2016-2017学年江苏省徐州市沛县二中高一（上）月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分．请将答案填在答题卡对应的横线上．
1．已知集合A={1，a}，B={1，3，4}，且A∩B={1，3}，则实数a的值为　3　．
【考点】交集及其运算．
【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．
【解答】解：∵A={1，a}，B={1，3，4}，且A∩B={1，3}，
∴1∈A且3∈A，
则实数a的值为3．
故答案为：3
　
2．不等式x（x﹣1）＞0的解集是　（﹣∞，0）∪（1，+∞）　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据一元二次不等式的解法，进行求解．
【解答】解：方程x（x﹣1）=0，解得其根为x=0或x=1，
∵x（x﹣1）＞0，
解得x＞1或x＜0，
∴该不等式的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
　
3．已知点A（1，3），B（4，1），则向量的模为　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意，由A、B的坐标可得向量的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，点A（1，3），B（4，1），
则=（3，﹣2），
则||==；
故答案为：．
　
4．方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为　2　．
【考点】对数的运算性质．
【分析】直接利用对数运算法则化简求解方程的解即可．
【解答】解：方程log2（3x+2）=1+log2（x+2），可得log2（3x+2）=log2（2x+4），
可得3x+2=2x+4，解得x=2，
经检验可知x=2是方程的解．
故答案为：2．
　
5．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是　30　．
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的A，N的值，即可得解输出一列数中的第3个数．
【解答】解：模拟执行程序，可得
A=3，N=1，输出3，N=2，
满足条件N≤4，A=6，输出6，N=3，
满足条件N≤4，A=30，输出30，N=4，
满足条件N≤4，A=870，输出870，N=5，
不满足条件N≤4，结束．
则这列数中的第3个数是30．
故答案为：30．
　
6．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数2x﹣y的最大值是　7　．
【考点】简单线性规划．
【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，然后根据直线平移确定目标函数的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，
由图象可知当直线经过点A时，直线在y轴的截距最小，此时z最大，
由，得，即A（5，3），
代入z=2x﹣y得最大值z=2×5﹣3=10﹣3=7．
故答案为：7．
　
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2S3﹣3S2=12，则数列{an}的公差是　4　．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列递推关系式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：设数列{an}的公差为d．
由2S3﹣3S2=2（3a1+3d）﹣3（2a1+d）=3d=12，
解得d=4．
故答案为：4．
　
8．已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+）=　　．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入即可求出值．
【解答】解：∵cosα=﹣，α∈（0，π），
∴sinα=，
∴tanα==﹣，
则tan（α+）===．
故答案为：
　
9．已知函数f（x）=loga（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是　　．
【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．
【分析】由函数f（x）=loga（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．
【解答】解：∵函数f（x）=loga（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，
∴，
解得：
∴a+b=，
故答案为：
　
10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆（x﹣a）2+（y﹣）2=3相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为　4　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=，不妨取k=，由勾股定理得PT=RS=，再由圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离能求出结果．
【解答】解：设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），
∵过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，
∴=1，解得k=，不妨取k=，
PT==，∴PT=RS=，
∵直线y=（x+2）与圆相交于点R，S，且PT=RS，
∴圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离d==，
由a＞0，解得a=4．
故答案为：4．
　
11．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a7+a8﹣a72=0（a7≠0），则S13=　39　．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．
【分析】根据等差数列的性质和题意求出a7的值，利用等差数列的前n项和公式求出S13的值．
【解答】解：由等差数列的性质得，a6+a8=2a7，
∵a6+a7+a8﹣a72=0（a7≠0），∴3a7﹣a72=0，解得a7=3，
∴S13==13a7=39，
故答案为：39．
　
12．设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=6，AC=3，则 =　10　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量的加减运算可得：
=（﹣） （﹣），展开再由向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．
【解答】解：在直角三角形ABC中，AB=6，AC=3，
斜边BC=3，BE=BF=，cosB=，
则 =（﹣） （﹣）
= ﹣ ﹣ +2
= 2﹣ 6 ﹣2 6 +62=10．
故答案为：10．
　
13．已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=　﹣1　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由已知中函数f（x）=是奇函数，可得cos（x+α）=sinx恒成立，进而α=﹣+2kπ，k∈Z，进而可得sinα的值．
【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，
则f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx，
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x），
∴cos（x+α）=sinx恒成立，
∴α=﹣+2kπ，k∈Z，
∴sinα=﹣1，
故答案为：﹣1
　
14．若正数x，y满足xy+2x+y=8，则x+y的最小值等于　2﹣3　．
【考点】基本不等式．
【分析】由题意解出t，代入要求的式子化简可得x+y=x+1+﹣3，由基本不等式可得．
【解答】解：正数x，y满足xy+2x+y=8，
∴y=，（0＜x＜4），
∴x+y=x+=x+1+﹣1
=x+1+﹣3≥2﹣3=2﹣3
当且仅当x+1=即x=﹣1时取等号，
故答案为：2﹣3
　
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0}（a＞0）．
（Ⅰ）求
A∩（ RB）；
（Ⅱ）若C （A∩B），试确定正实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】（Ⅰ）化简集合A、B，根据交集与补集的定义进行计算即可；
（Ⅱ）根据交集与子集的定义，得出关于a的不等式组，求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得，集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}={x|﹣3＜x＜4}，
集合B={x|x2+2x﹣8＞0}={x|x＜﹣4或x＞2}，
∴ RB={x|﹣4≤x≤2}；
∴A∩（ RB）={x|﹣3＜x≤2}；
（Ⅱ）由题意，A∩B={x|2＜x＜4}，
当a＞0时，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0}={x|a＜x＜3a}，
由C （A∩B），得，
解得≤a≤2，
∴实数a的取值范围是：≤a≤2．
　
16．在四边形ABCD中，AB=，CD=2，∠BAD=135°，∠BCD=60°，∠ADB=30°．
（1）求BC边的长；
（2）求∠ABC的大小．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）在三角形ABD中，利用正弦定理求出BD的长，在三角形BCD中，利用余弦定理求出BC的长即可；
（2）在三角形BCD中，利用正弦定理求出sin∠DBC的值，进而确定出∠DBC的度数，根据∠ABD+∠DBC求出∠ABC度数即可．
【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理得=，即=，
解得：BD=，
在△BCD中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC CDcos∠BCD，即6=BC2+4﹣2BC，
解得：BC=1+或BC=1﹣（舍去），
则BC的长为1+；
（2）在△BCD中，由正弦定理得=，即=，
解得：sin∠DBC=，
∴∠DBC=45°或135°，
在△BCD中，∠BCD=60°，
∴∠DBC=45°，
∵∠ABD=180°﹣135°﹣30°=15°，
∴∠ABC=60°．
　
17．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．
（1）当∥时，求tan（x﹣）的值；
（2）设函数f（x）=2（+） ，当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（Ⅰ）根据向量平行的坐标公式结合两角和差的正切公式进行求解即可．
（Ⅱ）求出函数f（x）的表达式，结合三角函数的单调性即可求出函数的值域．
【解答】解：（Ⅰ）∵，∴=，即tanx=，
则===﹣7．
（Ⅱ）∵，
∴化简可得，
∵，
∴，
即．
　
18．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A
（1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．
【考点】点与圆的位置关系；中点坐标公式；点到直线的距离公式．
【分析】（1）通过直线l1的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，判断直线是否存在，求出k，即可求l1的方程；
（2）l1的倾斜角为，直接求出l1的方程，利用直线l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标，直接转化为过圆心与直线l1垂直的中垂线方程，解两条直线方程的交点即可；
（3）l1与圆C相交于P，Q两点，直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，得到l1的直线方程．
【解答】解：（1）解：①若直线l1的斜率不存在，则直线x=1，圆的圆心坐标（3，4），半径为2，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，
解之得
．所求直线方程是：x=1，或3x﹣4y﹣3=0．
（2）直线l1方程为y=x﹣1．∵PQ⊥CM，∴CM方程为y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y﹣7=0．
∵∴∴M点坐标（4，3）．
（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，
则圆．
又∵三角形CPQ面积
∴当d=时，S取得最大值2．∴．
∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．
　
19．某单位因工作需要，要制作一批操作台面，台面上有两块大小相同的长方形钢化玻璃（图中阴影部分），每块钢化玻璃的面积为1800cm2，每块钢化玻璃需能放置半径为15cm的圆形器皿，每块钢化玻璃周围与操作台边缘要留20cm空白，两块钢化玻璃的间距为50cm，设钢化玻璃长为xcm，操作台面面积为S．
（1）当操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小；
（2）若每块钢化玻璃长至少比宽多14cm，则操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）设宽为cm，从而化简S=（2x+90）（+40）=80x++7200，从而由基本不等式求解即可；
（2）由题意可知≤x﹣14，从而可得50≤x≤60，可判断函数S=（2x+90）（+40）在[50，60]上单调递增，从而求最值．
【解答】解：（1）由题意，宽为cm，
S=（2x+90）（+40）=80x++7200
≥2+7200=14400．
（当且仅当80x=，即x=45时，等号成立）；
∵，
∴30≤x≤60，
∴当x=45时，操作台面面积最小；此时操作台面长与宽分别为180cm，80cm．
（2）由题意，≤x﹣14，
解得，x≥50；
∴50≤x≤60，
∵函数S=（2x+90）（+40）在[50，60]上单调递增，
∴当x=50时，操作台面面积最小，最小值为14440cm2，
此时，操作台面长为190cm，宽为76cm．
　
20．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1+a2+a3=9，b1b2b3=27．
（1）若a4=b3，b4﹣b3=m．
①当m=18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；
②若数列{bn}是唯一的，求m的值；
（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值．
【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．
【分析】（1）①由已知a1+a2+a3=9，b1b2b3=27，求出a2=3，b2=3，从而建立方程组，即可求数列{an}和{bn}的通项公式；
②设b4﹣b3=m，得3q2﹣3q=m，即3q2﹣3q﹣m=0，分类讨论，可得结论；
（2）设{bn}公比为q，则有36=（3﹣d+）（3+d+3q），（
），记m=3﹣d+，n=3+d+3q，则mn=36．将（
）中的q消去，即可得出结论．
【解答】解：（1）①由数列{an}是等差数列及a1+a2+a3=9，得a2=3，
由数列{bn}是等比数列及b1b2b3=27，得b2=3．
…
设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
若m=18，
则有解得或，
所以，{an}和{bn}的通项公式为an=3n﹣3，bn=3n﹣1或an=﹣n+12，bn=3 （﹣2）n﹣2…
②由题设b4﹣b3=m，得3q2﹣3q=m，即3q2﹣3q﹣m=0（
）．
因为数列{bn}是唯一的，所以
若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；
若q≠0，则（﹣3）2+12m=0，解得m=﹣，代入（
）式，解得q=，
又b2=3，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意．
所以，m=0或﹣．
…
（2）依题意，36=（a1+b1）
（a3+b3），
设{bn}公比为q，则有36=（3﹣d+）（3+d+3q），（
）
记m=3﹣d+，n=3+d+3q，则mn=36．
将（
）中的q消去，整理得：d2+（m﹣n）d+3（m+n）﹣36=0
…
d的大根为=
而m，n∈N
，所以
（m，n）的可能取值为：
（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），（6，6），（9，4），（12，3），（18，2），（36，1）．
所以，当m=1，n=36时，d的最大值为．
…
　
2017年1月6日