山西省临汾市古县、高县、离石区八校联考2017届高三（上）开学数学试卷（解析版）

2016-2017学年山西省临汾市古县、高县、离石区八校联考高三（上）开学数学试卷
　
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（　　）
A．[，1]
B．[，1）
C．（0，]
D．（0，）
2．若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3﹣an，bn是an与an+1的等差中项，则数列{bn}的通项公式为（　　）
A．4×3n
B．4×（）n
C．×（）n﹣1
D．×（）n
5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（　　）
A．28π
B．32π
C．36π
D．40π
6．已知f（x）是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1，f（x）=x2．如果函数g（x）=f（x）﹣（x+m）有两个零点，则实数m的值为（　　）
A．2k（k∈Z）
B．2k或2k+（k∈Z）
C．0
D．2k或2k﹣（k∈Z）
7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（　　）
A．2014
B．2015
C．2016
D．2017
8．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9，0.8，0.75，则三个中至少有一人达标的概率为（　　）
A．0.015
B．0.005
C．0.985
D．0.995
9．函数f（x）的定义域为R，它的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，则下面结论错误的是（　　）
A．在（1，2）上函数f（x）为增函数
B．在（3，4）上函数f（x）为减函数
C．在（1，3）上函数f（x）有极大值
D．x=3是函数f（x）在区间[1，5]上的极小值点
10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（　　）
A．
B．
C．﹣
D．
11．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数， x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（　　）
A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）
D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=4，
=，
=，
=，则 的值为　　．
14．已知正项数列{an}满足an+1（an+1﹣2an）=9﹣a，若a1=1，则a10=　　．
15．已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦长为6，则实数a的值为　　．
16．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣，]上的最大值与最小值之和为，求实数a的值．
18．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．
20．设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，
（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；
（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．
21．已知函数，g（x）=2ln（x+m）．
（1）当m=0，存在x0∈[，e]（e为自然对数的底数），使，求实数a的取值范围；
（2）当a=m=1时，设H（x）=xf（x）+g（x），在H（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2＞﹣1），使得H（x1）﹣H（x2）=？请说明理由．
　
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．选修4一1：几何证明选讲
如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．
（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；
（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x﹣a|，
（Ⅰ）若a=4，求f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若f（x+1）＞|2﹣a|对 x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
　
2016-2017学年山西省临汾市古县、高县、离石区八校联考高三（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（　　）
A．[，1]
B．[，1）
C．（0，]
D．（0，）
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合M和集合N，然后再求出集合M∩N．．
【解答】解：集合M={x|}=[，3），函数f（x）=ln（1﹣）=[0，1），
则M∩N=[，1），
故选：B．
　
2．若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．
【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，
当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，
∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，
故选A．
　
3．已知，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简求解即可．
【解答】解：，
又
则=．
故选：B．
　
4．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3﹣an，bn是an与an+1的等差中项，则数列{bn}的通项公式为（　　）
A．4×3n
B．4×（）n
C．×（）n﹣1
D．×（）n
【考点】数列递推式．
【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式可得an，再利用等差数列的性质可得bn．
【解答】解：∵Sn=3﹣an，
∴a1=S1=3﹣，解得a1=2．
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3﹣an﹣，化为：an=．
∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为．
∴an=．
∵bn是an与an+1的等差中项，
∴bn=（an+an+1）==．
故选：B．
　
5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（　　）
A．28π
B．32π
C．36π
D．40π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知几何体是一个圆柱和一个圆台的组合体，求解其体积相加即可．
【解答】解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为2，体积为：22π 2=8π．
圆台的底面半径为4，上底面半径为2，高为3，体积为：
=28π，
几何体的体积为：36π．
故选：C．
　
6．已知f（x）是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1，f（x）=x2．如果函数g（x）=f（x）﹣（x+m）有两个零点，则实数m的值为（　　）
A．2k（k∈Z）
B．2k或2k+（k∈Z）
C．0
D．2k或2k﹣（k∈Z）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用函数是周期为2的偶函数，作出函数y=f（x）的图象，利用直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点，利用数形结合的思想求m的值．
【解答】解：由g（x）=f（x）﹣（x+m）=0得f（x）=（x+m）．设y=f（x），y=x+m．
因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，所以当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2．
①由图象可知当直线y=x+m经过点O（0，0）时，直线y=x+a与y=f（x）恰有两个公共点，此时m=0，由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当m=2k时（k∈Z），
直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点．
②由图象可知直线y=x+m与f（x）=x2相切时，直线y=x+m与曲线y=f（x）也恰有两个公共点．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=，所以y=，即切点为（），
代入直线y=x+m得m=．
由于函数f（x）是周期为2的函数，所以当m=时（k∈Z），直线y=x+m与曲线y=f（x）恰有两个公共点．
综上满足条件的实数m的值为m=2k或m=时（k∈Z）．
故选D．
　
7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（　　）
A．2014
B．2015
C．2016
D．2017
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当i=2015时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2014，S=2017；
当i=2014时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2013，S=2016；
当i=2013时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2012，S=2017；
当i=2012时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2011，S=2016；
…
当i=2n+1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2n，S=2017；
当i=2n时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2n﹣1，S=2016；
…
当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=0，S=2017；
当i=0时，不满足进行循环的条件，
故输出的S值为2017，
故选：D
　
8．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9，0.8，0.75，则三个中至少有一人达标的概率为（　　）
A．0.015
B．0.005
C．0.985
D．0.995
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，求出三人都不达标的概率，再用对立事件的概率得出所求．
【解答】解：三人都
不达标的概率是：
（1﹣0.9）×（1﹣0.8）×（1﹣0.75）=0.005，
所以三人中至少有一人达标的概率是：
1﹣0.005=0.995．
故选：D．
　
9．函数f（x）的定义域为R，它的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，则下面结论错误的是（　　）
A．在（1，2）上函数f（x）为增函数
B．在（3，4）上函数f（x）为减函数
C．在（1，3）上函数f（x）有极大值
D．x=3是函数f（x）在区间[1，5]上的极小值点
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】显然由图象可看成x∈（1，2）时，有f′（x）＞0，从而得出f（x）在（1，2）上单调递增，这样便可选出正确选项．
【解答】解：根据导函数图象知，x∈（1，2）时，f′（x）＞0，x∈（2，4）时，f′（x）＜0，x∈（4，5）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2），（4，5）上为增函数，在（2，4）上为减函数，x=2是f（x）在[1，5]上的极大值点，x=4是极小值点；
∴A正确．
故选：A．
　
10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（　　）
A．
B．
C．﹣
D．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得ω，代入点（，﹣3）可得φ值，可得解析式，再由f（α）=1和同角三角函数基本关系可得．
【解答】解：由图象可得A=3，
=4（﹣），解得ω=2，
故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，
故sin（+φ）=﹣1，
+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z
结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），
∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，
∵α∈（0，），∴2α+∈（，），
∴cos（2）=﹣=﹣，
故选：C．
　
11．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数， x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（　　）
A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）
D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可．
【解答】解：∵ x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，
∴当x≥0时函数f（x）为减函数，
∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，
∴f（3）＜f（2）＜f（1），
即f（3）＜f（﹣2）＜f（1），
故选：D
　
12．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．
【分析】由α⊥β，m α，n β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m α，n β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m α，n β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．
【解答】解：选项A，若α⊥β，m α，n β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；
选项B，若α∥β，m α，n β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m α，n β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选D．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=4，
=，
=，
=，则 的值为　﹣　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】首先建立平面直角坐标系，根据向量间的关系式，求出向量的坐标，最后求出向量的数量积．
【解答】解：在△ABC中，∠A=，
建立直角坐标系，AB=2，AC=4，
=，
=，
=，
根据题意得到：
则：A（0，0），F（0，1），D（1，），E（2，0）
所以：，
所以：
故答案为：﹣
　
14．已知正项数列{an}满足an+1（an+1﹣2an）=9﹣a，若a1=1，则a10=　28　．
【考点】数列递推式．
【分析】由已知数列递推式变形得到an+1﹣an=3，即数列{an}是公差为3的等差数列，求出等差数列的通项公式得答案．
【解答】解：由an+1（an+1﹣2an）=9﹣，得
，
即，∴an+1﹣an=±3，
又数列是正项数列，∴an+1﹣an=3，
即数列{an}是公差为3的等差数列，
∵a1=1，
∴an=a1+（n﹣1）d=1+3（n﹣1）=3n﹣2，
则a10=3×10﹣2=28．
故答案为：28．
　
15．已知圆（x+2）2+（y﹣2）2=a截直线x+y+2=0所得弦长为6，则实数a的值为　11　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．
【解答】解：圆（x+2）2+（y﹣2）2=a，圆心（﹣2，2），半径．
故弦心距d==．
再由弦长公式可得a=2+9，∴a=11；
故答案为：11．
　
16．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．
【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，
取A（，），设垂心H（0，），
则kAH==，
∵△OAB的垂心为C2的焦点，
∴×（﹣）=﹣1，
∴5a2=4b2，
∴5a2=4（c2﹣a2）
∴e==．
故答案为：．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣，]上的最大值与最小值之和为，求实数a的值．
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（Ⅰ）把f（x）的解析式先利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值及最小值，让其和等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx+a
=sinxcos+cosxsin+sinxcos﹣cosxsin+cosx+a
=sinx+cosx+a=2（sinx+cosx）+a=2sin（x+）+a，
∴函数f（x）的最小正周期T=2π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴﹣≤x+≤，
∴当x+=﹣，即x=﹣时，f（x）的最小值=f（﹣）=﹣+a，
当x+=，即x=时，f（x）的最大值=f（）=2+a，
由题意，有（﹣+a）+（2+a）=，
∴a=﹣1．
　
18．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．
【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】（1）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．
（2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．
【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为=0.3
∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42
∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；
（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，
∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X的分布列为
X
﹣2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．
　
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质．
【分析】以A1为原点，A1B，A1C，A1A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，则我们易求出各个点的坐标，进而求出各线的方向向量及各面的法向量．
（I）要证明PB1∥平面BDA1，我们可以先求出直线PB1的向量，及平面BDA1的法向量，然后判断证明这两个向量互相垂直
（II）由图象可得二面角A﹣A1D﹣B是一个锐二面角，我们求出平面AA1D与平面A1DB的法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值，得到结论．
【解答】解：以A1为原点，A1B，A1C，A1A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，
则A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）
（1）在△PAA1中，C1D=AA1，则D（0，1，）
∴=（1，0，1），=（0，1，），=（﹣1，2，0）
设平面BDA1的一个法向量为=（a，b，c）
则
令c=﹣1，则=（1，，﹣1）
∵ =1×（﹣1）+×2+（﹣1）×0=0
∴PB1∥平面BDA1
（II）由（I）知平面BDA1的一个法向量=（1，，﹣1）
又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量
∴cos＜，＞===
故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为
　
20．设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，
（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；
（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论；
（Ⅱ）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线PQ的斜率．
【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6即为+=1，
即有a=，b=，c==2，
由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°，
可得直线PQ的方程为y=（x﹣2），
代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0，
即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，
由弦长公式可得|PQ|=
= =，
由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，
可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|，
则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；
（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，
消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，
则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）
=12（6k2﹣m2+2）＞0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，
∴ ==k2，
即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣+m2=0，
由于m≠0，故k2=，
∴直线PQ的斜率k为±．
　
21．已知函数，g（x）=2ln（x+m）．
（1）当m=0，存在x0∈[，e]（e为自然对数的底数），使，求实数a的取值范围；
（2）当a=m=1时，设H（x）=xf（x）+g（x），在H（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2＞﹣1），使得H（x1）﹣H（x2）=？请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）x0f（x0）≥g（x0）可化为，
构造h（x）=x2﹣2lnx，求出其值域即可．
（2）；；
故可化为=，即=
又即=①，
令，①式可化为
令，，只需考查u（t）的值域即可．
【解答】解：（1）x0f（x0）≥g（x0）可化为，
令h（x）=x2﹣2lnx，则
∴当x∈时，h'（x）＜0；当x∈（1，e]时，h'（x）＞0；
又∵，∴，则a≤e2﹣2．…5分
（2）H（x）=x2+2ln（x+1）﹣1，；
；
；
故可化为=，即=…7分
又即=①，
令，①式可化为，…9分
令，，∴u（t）在（1，+∞）上递增…11分
∴u（t）≥u（1）=0；∴u（t）无零点，故A、B两点不存在．…12分．
　
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．选修4一1：几何证明选讲
如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．
（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；
（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）要证DE是圆O的切线，连接AC，只需证出∠DAO=90°，由BC∥OD OD⊥AC，则OD是AC的中垂线．通过△AOC，△BOC均为等腰三角形，即可证得∠DAO=90°．
（Ⅱ）由
BC∥OD ∠CBA=∠DOA，结合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例线段求出EB．
【解答】（Ⅰ）证：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC
由BC∥OD OD⊥AC
则OD是AC的中垂线 ∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，
∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．
OC⊥DE，所以DE是圆O的切线．
（Ⅱ）
BC∥OD ∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO △ABC∽△AOD
BC===
BE=
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用即可化为直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入y2=4x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．
【解答】解：（I）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
（II）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0．
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
则t1+t2=，t1t2=﹣，
∴|AB|=|t1﹣t2|===，
当α=时，|AB|的最小值为4．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x﹣a|，
（Ⅰ）若a=4，求f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若f（x+1）＞|2﹣a|对 x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）法一：通过讨论2x﹣4的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集；法二：根据题意得出x≥0，再去绝对值即可，法三：根据题意得出x≥0，两边平方解出即可；
（Ⅱ）法一：问题转化为f（x+1）＞f（1）对 x∈（0，+∞）恒成立，结合函数的单调性问题，求出a的范围即可；法二：等价于（2x+2﹣a）2＞（2﹣a）2对 x∈（0，+∞）恒成立，求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）若a=4，则f（x）≤x可化为|2x﹣4|≤x，
法1：即或，
解得，
所以f（x）≤x的解集为；
法2：即，
解得，
所以f（x）≤x的解集为；
法3：即，
即解得，
所以f（x）≤x的解集为；
（Ⅱ）法1：f（x+1）＞|2﹣a|对 x∈（0，+∞）恒成立
即f（x+1）＞f（1）对 x∈（0，+∞）恒成立，
又因为f（x）=|2x﹣a|在上单调递减，在上单调递增，
所以解得a≤2，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，2]；
法2：f（x+1）＞|2﹣a|对 x∈（0，+∞）恒成立
即|2x+2﹣a|＞|2﹣a|对 x∈（0，+∞）恒成立
等价于（2x+2﹣a）2＞（2﹣a）2对 x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜2+x对 x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≤2…
所以实数a的取值范围为（﹣∞，2]．
　
2017年1月6日