浙江省名校协作体2016-2017学年高二（上）联考数学试卷（解析版）

2016-2017学年浙江省名校协作体高二（上）联考数学试卷
　
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f（x）=lg（1﹣）的定义域为（　　）
A．（2，3）
B．（2，3]
C．[2，3）
D．[2，3]
2．为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
3．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　）
A．ac＜bc
B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac
D．logac＜logbc
4．若正数x，y满足4x+y﹣1=0，则的最小值为（　　）
A．12
B．10
C．9
D．8
5．方程2x+3x+5x=7x共有（　　）个不同的实根．
A．0
B．1
C．2
D．无数多个
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，3a8=5a13，则Sn中最大的是（　　）
A．S10
B．S11
C．S20
D．S21
7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为（　　）
A．12
B．11
C．10
D．9
8．设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：
①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；
②若T均是f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）的一个周期，则T也均是f（x）、g（x）、h（x）的一个周期，
③若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是奇函数，
下列上述命题成立的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
　
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．集合A={x∈R|x2＜9}，B={x∈R|2x＜4}，C={x∈R|logx＜2}，则A∩B=　　；A∪C=　　； RB=　　．
10．设函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=　　；使f（a）＜0的a的取值范围是　　．
11．若sin（α+）=，则cos（﹣α）=　　；cos（2α﹣）=　　．
12．在数列{an}中，a1=2，a3=8．若{an}为等差数列，则其前n项和为
Sn=　　；若{an}为等比数列，则其公比为　　．
13．在△ABC中，tan+tan=1，则tan的取值范围为　　．
14．已知函数f（x）=x2+（a﹣1）x+4，g（x）=x2+（a+1）x+a+4，若不存在实数x0，使得，则实数a的取值范围为　　．
15．已知、、是三个单位向量，且 = ＞0，则对于任意的正实数t，|﹣t﹣|的最小值为，则 =　　．
　
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．
17．如图：A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在单位圆上且B（﹣，），P是劣弧上一点（不包括端点A、B），∠AOP=θ，∠BOP=α，
=+，四边形OAQP的面积为S．
（1）当θ=时，求cosα；
（2）求 +S的取值范围．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}满足b1=2，bn+1=bn+2（n∈N
）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=an bn（n∈N
），求数列{cn}的前n项和Tn．
19．已知奇函数f（x）=loga，
（1）求b的值，并求出f（x）的定义域
（2）若存在区间[m，n]，使得当x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[loga6m，loga6n]，求a的取值范围．
20．已知数列{an}，{bn}满足a1=1，b1=2，an+1=，bn+1=，
（1）求证：当n≥2时，an﹣1≤an≤bn≤bn﹣1
（2）设Sn为数列{|an﹣bn|}的前n项和，求证：Sn＜．
　
2016-2017学年浙江省名校协作体高二（上）联考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f（x）=lg（1﹣）的定义域为（　　）
A．（2，3）
B．（2，3]
C．[2，3）
D．[2，3]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据对数函数以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：2≤x＜3，
故选：C．
　
2．为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用y=sin2x=cos（2x﹣）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可选得答案．
【解答】解：∵y=sin2x=f（x）=cos（2x﹣），
∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]
=cos（2x+），
∴为得到函数y=cos（2x+），的图象，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个长度单位；
故选C．
　
3．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　）
A．ac＜bc
B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac
D．logac＜logbc
【考点】不等式比较大小；对数值大小的比较．
【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）=xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误；
函数f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B错误；　
logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即=＜1，即logac＞logbc．故D错误；
0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，故C正确；
故选：C
　
4．若正数x，y满足4x+y﹣1=0，则的最小值为（　　）
A．12
B．10
C．9
D．8
【考点】基本不等式．
【分析】由题意可得=（4x+y）（+）=5++，运用基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，即可得到所求最小值．
【解答】解：正数x，y满足4x+y=1，
则=（4x+y）（+）=5++
≥5+2=9，
当且仅当y=2x=时，取得最小值9．
故选：C．
　
5．方程2x+3x+5x=7x共有（　　）个不同的实根．
A．0
B．1
C．2
D．无数多个
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】令f（x）=++﹣1，则方程2x+3x+5x=7x等价于f（x）=0，根据函数的单调性来判断函数零点个数．
【解答】解：令f（x）=++﹣1，则方程2x+3x+5x=7x等价于f（x）=0．
又f（0）=2＞0，f（2）=﹣＜0，可知方程在（0，2）中有一个实根．
因为f（x）在R上单调递减，所以方程f（x）=0只有一个实根．
故选：B
　
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，3a8=5a13，则Sn中最大的是（　　）
A．S10
B．S11
C．S20
D．S21
【考点】等差数列的性质．
【分析】由题意可得：等差数列的公差d＜0，结合题意可得a1=﹣19.5d，可得Sn=0.5dn2﹣20dn，进而结合二次不等式的性质求出答案．
【解答】解：由题意可得：等差数列的Sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线故有最大值，
所以等差数列的公差d＜0．
因为a13=a8+5d，
所以a1=﹣19.5d
由Sn=n×a1+d可得Sn=0.5dn2﹣20dn，
当n=20时．Sn取得最大值．
故选C．
　
7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为（　　）
A．12
B．11
C．10
D．9
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意可得ω （﹣）+φ=kπ，且ω +φ=k′π+，故有ω=2（k′﹣k）+1①，再根据≥﹣，∴求得ω≤12
②，由①②可得ω的最大值．
【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），
x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，
∴ω （﹣）+φ=kπ，且ω +φ=k′π+，k、k′∈Z，∴ω=2（k′﹣k）+1①，
∵f（x）在（，）单调，∴≥﹣，∴ω≤12
②．
由①②可得ω的最大值为11，
故选：B．
　
8．设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：
①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；
②若T均是f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）的一个周期，则T也均是f（x）、g（x）、h（x）的一个周期，
③若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是奇函数，
下列上述命题成立的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的性质；抽象函数及其应用．
【分析】举出反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=，可判断①；
根据函数的周期性的定义，可判断②；根据函数奇偶性的性质，可判断③．
【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．均不是增函数，
但f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，
故①错误；
②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），
h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），
结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），
同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．
③若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数，
f（x）+g（x）+f（x）+h（x）﹣[g（x）、h（x）]=2f（x）是奇函数，
即f（x）是奇函数，
同理g（x）、h（x）均是奇函数，故③正确；
故选：C．
　
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．集合A={x∈R|x2＜9}，B={x∈R|2x＜4}，C={x∈R|logx＜2}，则A∩B=　（﹣3，2）　；A∪C=　（﹣3，+∞）　； RB=　[2，+∞）　．
【考点】并集及其运算；交集及其运算．
【分析】首先根据指数函数和对数函数的特点确定出A和B，C，然后根据交集、并集、补集的定义得出答案即可．
【解答】解：A={x∈R|x2＜9}=（﹣3，3），B={x∈R|2x＜4}=（﹣∞，2），C={x∈R|logx＜2}=（﹣1，+∞），
∴A∩B=（﹣3，2），A∪C=（﹣3，+∞）， RB=[2，+∞），
故答案为：（﹣3，2），（﹣3，+∞），[2，+∞）
　
10．设函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=　2　；使f（a）＜0的a的取值范围是　（0，1）　．
【考点】函数的值．
【分析】先求出f（﹣2）=（）﹣2=4，从而f[f（﹣2）]=f（4）=log24，由此能求出f[f（﹣2）]；由f（a）＜0，得：当a＞0时，f（a）=（）a＜0；当a＜0时，f（a）=log2a＜0．由此能求出a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2）=（）﹣2=4，
f[f（﹣2）]=f（4）=log24=2；
∵f（a）＜0，
∴当a＞0时，f（a）=（）a＜0，无解；
当a＜0时，f（a）=log2a＜0，解得0＜a＜1．
∴a的取值范围是（0，1）．
故答案为：2；（0，1）．
　
11．若sin（α+）=，则cos（﹣α）=　　；cos（2α﹣）=　　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用诱导公式化简求解cos（﹣α），利用诱导公式以及二倍角公式求解cos（2α﹣）即可．
【解答】解：sin（α+）=，则cos（﹣α）=sin（﹣+α）=sin（α+）=，
cos（2α﹣）=sin（+2α﹣）=sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）==
故答案为：；．
　
12．在数列{an}中，a1=2，a3=8．若{an}为等差数列，则其前n项和为
Sn=　　；若{an}为等比数列，则其公比为　±2　．
【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．
【分析】①设等差数列{an}的公差为d，则8=2+2d，解得d=3．利用求和公式即可得出．
②设等比数列{an}的公比为q，则8=2×q2，解得q．
【解答】解：①设等差数列{an}的公差为d，则8=2+2d，解得d=3．∴Sn=2n+=．
②设等比数列{an}的公比为q，则8=2×q2，解得q=±2．
故答案为：，±2．
　
13．在△ABC中，tan+tan=1，则tan的取值范围为　[，1）　．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用条件诱导公式、两角和差的正切公式求得1﹣tan tan=tan，再根据tan、tan均为正数以及基本不等式，求得tan的范围．
【解答】解：△ABC中，∵tan+tan=tan（+） （1﹣tan tan）
=tan （1﹣tan tan）=cot （1﹣tan tan）=1，
∴1﹣tan tan=tan．
∵∵tan+tan=1，∴tan、tan均为正数，
∴tan tan＞0，∴tan=1﹣tan tan＜1，即
tan＜1．
∵tan+tan=1，∴1=tan+1tan≥2，
当且仅当tan=tan=时，等号成立，
∴tan tan，∴tan=1﹣tan tan≥．
综上可得，tan∈[，1），
故答案为：[，1）．
　
14．已知函数f（x）=x2+（a﹣1）x+4，g（x）=x2+（a+1）x+a+4，若不存在实数x0，使得，则实数a的取值范围为　　．
【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．
【分析】求出两个函数的对称轴，通过判别式，结合已知条件列出不等式，求解即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+（a﹣1）x+4，的对称轴为：x=；△1=（a﹣1）2﹣16，
g（x）=x2+（a+1）x+a+4，的对称轴为：x=；△2=（a+1）2﹣4a﹣16=（a﹣1）2﹣16，
两个函数的开口向上，并且△1=△2；当a∈[﹣3，5]时，△1=△2≤0，满足题意；
当a＜﹣3或a＞5时，x2+（a﹣1）x+4=0的小根：x=；
x2+（a+1）x+a+4的大根为：x=；
若不存在实数x0，使得，
可得：≥；
可得1﹣≤a＜﹣3或5＜a≤1+
综上a∈．
故答案为：．
　
15．已知、、是三个单位向量，且 = ＞0，则对于任意的正实数t，|﹣t﹣|的最小值为，则 =　或﹣　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】设与，的夹角为α，，间的夹角为2α，则 = =1×1×cosα＞0，
=cos2α．将|﹣t﹣|两边平方，化简整理，设t+=m（m≥2），化为m的二次函数，由最值求法，可得最小值，结合二倍角的余弦公式，即可得到所求向量的数量积．
【解答】解：由、、是三个单位向量，且 = ＞0，
设与，的夹角为α，，间的夹角为2α，
则 = =1×1×cosα＞0，
=cos2α．
|﹣t﹣|2=2+t22+2﹣2t ﹣ +2
=1+t2+﹣2（t+）cosα+2cos2α．
设t+=m（m≥2），则|﹣t﹣|2=m2﹣2mcosα+2cos2α﹣1
=（m﹣cosα）2+2cos2α﹣1﹣cos2α
由m≥2，0＜cosα≤1，
故当m=2，即t=1时，取得最小值（2﹣cosα）2+2cos2α﹣1﹣cos2α，
由题意可得（2﹣cosα）2+2cos2α﹣1﹣cos2α=，
即为4cos2α﹣4cosα+1=，
解得cosα=或．
即有 =cos2α=2cos2α﹣1=或﹣．
故答案为：或﹣．
　
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．
【考点】解三角形．
【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；
（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．
【解答】解：（1）由正弦定理得：
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
将上式代入已知，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴，
∵B为三角形的内角，∴；
（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：
b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，
∴ac=3，
∴．
　
17．如图：A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在单位圆上且B（﹣，），P是劣弧上一点（不包括端点A、B），∠AOP=θ，∠BOP=α，
=+，四边形OAQP的面积为S．
（1）当θ=时，求cosα；
（2）求 +S的取值范围．
【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．
【分析】（1）利用B的坐标，表示出的三角函数值，利用两角和与差的三角函数求解cosα．
（2）表示出向量以及数量积，化简表达式，利用三角函数的有界性求解表达式的范围即可．
【解答】（本小题满分15分）
解：（1）…..…..
（2）=（1，0），=（cosθ+1，sinθ），S=sinθ
+S=sinθ+cosθ+1…..
=sin（）+1…..…．…．
（注：左边未算出，其余全对，扣2分）
　
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}满足b1=2，bn+1=bn+2（n∈N
）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=an bn（n∈N
），求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
【分析】（1）由Sn=2an﹣2，知a1=2，由an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，知{an}是等比数列，且首项为2，公比为2．由bn+1=bn+2（n∈N
），知bn+1﹣bn=2，故{bn}是等差数列，且公差为2，由此能求出数列{an}，{bn}的通项公式．
（2）由，知，利用错位相减法能够求出数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】（本小题满分14分）
解：（1）∵Sn=2an﹣2，∴a1=2，
∵an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，
∴，
∴{an}是等比数列，且首项为2，公比为2，∴，
∵bn+1=bn+2（n∈N
），∴bn+1﹣bn=2，
∴{bn}是等差数列，且公差为2，
∵b1=2，∴bn=2n．
（2）∵，
∴，①
，②
①﹣②得，
∴．
　
19．已知奇函数f（x）=loga，
（1）求b的值，并求出f（x）的定义域
（2）若存在区间[m，n]，使得当x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[loga6m，loga6n]，求a的取值范围．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）由已知f（x）+f（﹣x）=0，得b=1，即可求出f（x）的定义域；
（2）分类讨论，利用函数的单调性，及当x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[loga6m，loga6n]，求a的取值范围．
【解答】解：（1）由已知f（x）+f（﹣x）=0，得b=1…
故，定义域为…
（2）当0＜a＜1时，在上单调递减，
故有，而在上单调递增，
所以又6m＜6n与矛盾，
故a＞1…
所以，
故方程在上有两个不等实根，
即6ax2+（a﹣6）x+1=0在上有两个不等实根…
设g（x）=6ax2+（a﹣6）x+1，则…
…
故…
　
20．已知数列{an}，{bn}满足a1=1，b1=2，an+1=，bn+1=，
（1）求证：当n≥2时，an﹣1≤an≤bn≤bn﹣1
（2）设Sn为数列{|an﹣bn|}的前n项和，求证：Sn＜．
【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．
【分析】（1）利用递推关系代入，通过作差bn﹣an=，可得．可得，，即可证明．
（2）由（1）知：，可得．进而得出：
|an﹣bn|≤|bn﹣1﹣an﹣1|，通过递推即可证明．
【解答】证明：（1）当n≥2时，，
故有．
∴，，
∴当n≥2时，an﹣1≤an≤bn≤bn﹣1．
（2）由（1）知：，
．
故，
故．
　
2017年1月6日