重庆市垫江县才中学2017届高三（上）入学数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年重庆市垫江县才中学高三（上）入学数学试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则 U（A∪B）=（　　）
A．{0，1，2，3}
B．{1，2，4}
C．{0，4，5}
D．{5}
2．若复数z满足（+i）（1+i）=2，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知命题p： x∈R，3x＜4x，命题q： x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧￢q
B．￢p∧q
C．￢p∧￢q
D．p∧q
4．已知函数f（x）=
若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．（﹣1，2）
D．（﹣2，1）
5．等差数列{an}中，Sn为其前n项和，且S9=a4+a5+a6+72，则a3+a7=（　　）
A．22
B．24
C．25
D．26
6．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则角C的取值范围为（　　）
A．（0，]
B．[，）
C．[，]
D．（，]
7．设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）
A．2
B．﹣2
C．﹣
D．
8．若函数f（x）=x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣6，0）
B．
C．（﹣3.5，0）
D．（﹣3.5，）
9．设函数f（x）=log4x﹣（）x，g（x）=logx﹣（）x的零点分别是x1，x2，则（　　）
A．x1x2=1
B．0＜x1x2＜1
C．1＜x1x2＜2
D．x1x2＞2
10．已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．
B．
C．[1，+∞）
D．
11．函数f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=1，当x∈[1，2]时f（x）=3﹣x，则f（﹣2015）=（　　）
A．﹣1
B．1
C．2
D．﹣2
12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有2f（x）+xf'（x）＞x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）﹣9f（﹣3）＜0的解集为（　　）
A．（﹣2019，﹣2016）
B．（﹣2019，2016）
C．（﹣2019，+∞）
D．（﹣∞，﹣2019）
　
二、填空题：请把答案填在答题卡相应位置，本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量是单位向量，向量，若，则，的夹角为　　．
14．已知函数y=f（x）的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的3倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移，这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同，则已知函数y=f（x）的解析式为　　．
15．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＞0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系为　　．
16．设函数f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为　　．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，本大题共6个小题，共70分．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．已知函数f（x）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的最小值．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．
（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．
20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．
21．设函数f（x）=xlnx（x＞0）：
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；
（3）当x＞0时，证明：ex＞f′（x）+1．
　
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲
22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．
（Ⅰ）求证：AC BC=AD AE；
（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=3，CF=9，求AC的长．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA| |PB|=1，求实数m的值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．
（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；
（2）当a=2时，若关于x的不等式4f（x）＜2|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．
　
2016-2017学年重庆市垫江县才中学高三（上）入学数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则 U（A∪B）=（　　）
A．{0，1，2，3}
B．{1，2，4}
C．{0，4，5}
D．{5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B并集的补集即可．
【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，x∈Z，
解得：1＜x＜4，x∈Z，即B={2，3}，
∵U={0，1，2，3，4，5}，A={1，3}，
∴A∪B={1，2，3}，
则 U（A∪B）={0，4，5}，
故选：C．
　
2．若复数z满足（+i）（1+i）=2，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，然后求解z在复平面内对应的点所在的象限．
【解答】解：复数z满足（+i）（1+i）=2，
可得===1﹣2i．
则z在复平面内对应的点（1，2）所在的象限为第一象限．
故选：A．
　
3．已知命题p： x∈R，3x＜4x，命题q： x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧￢q
B．￢p∧q
C．￢p∧￢q
D．p∧q
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得结论．
【解答】解：命题p： x∈R，3x＜4x，是假命题；
命题q： x∈R，x3=1﹣x2，是真命题，
故p∧￢q，￢p∧￢q，p∧q均为假命题，
￢p∧q为真命题，
故选：B．
　
4．已知函数f（x）=
若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．（﹣1，2）
D．（﹣2，1）
【考点】函数单调性的性质．
【分析】由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．
【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零
∴函数的图象是一条连续的曲线
∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数
∴函数f（x）是定义在R上的增函数
因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，
即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，
故选D
　
5．等差数列{an}中，Sn为其前n项和，且S9=a4+a5+a6+72，则a3+a7=（　　）
A．22
B．24
C．25
D．26
【考点】等差数列的性质．
【分析】由题意可得a1+a9=a3+a7=a4+a6=2a5，S9=9a5，代入计算可得．
【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=a4+a6=2a5，
所以S9===9a5，
由S9=a4+a5+a6+72，得
9a5=3a5+72，
则a5=12．
故a3+a7=2a5=24．
故选：B．
　
6．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则角C的取值范围为（　　）
A．（0，]
B．[，）
C．[，]
D．（，]
【考点】余弦定理的应用．
【分析】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入并利用基本不等式求出cosC≥，即可确定出C的取值范围．
【解答】解：∵a2+b2=2c2，∴c2=，
∴由余弦定理得：cosC==≥=（当且仅当a=b时取等号），
∴0＜C≤．
故选：A．
　
7．设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）
A．2
B．﹣2
C．﹣
D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，由直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到a的值．
【解答】解：y=的导数为y′==﹣，
可得曲线y=在点（2，3）处的切线的斜率k=﹣2，
由曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，
可得直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a=，
解得a=﹣．
故选：C．
　
8．若函数f（x）=x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣6，0）
B．
C．（﹣3.5，0）
D．（﹣3.5，）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】把要求的问题转化为其导数在区间[0，2]内必有两个不等实数根，再利用二次函数的性质解出即可．
【解答】解：由函数f（x）=x3+ax2+2x，得f′（x）=3x2+2ax+2．
∵函数f（x）=x3﹣ax2+3ax+1在[0，2]上，既有极大也有极小值，
∴f′（x）=0在[0，2]上应有两个不同实数根．
∴，解得﹣3.5＜a＜．
∴实数a的取值范围是﹣3.5＜a＜．
故选：D．
　
9．设函数f（x）=log4x﹣（）x，g（x）=logx﹣（）x的零点分别是x1，x2，则（　　）
A．x1x2=1
B．0＜x1x2＜1
C．1＜x1x2＜2
D．x1x2＞2
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】由题意可得x1是函数y=log4x的图象和y=（）x的图象的交点的横坐标，x2是y=的图象和函数y
=（）x的图象的交点的横坐标，根据x2＞log4x1，求得0＜x1 x2＜1，从而得出结论．
【解答】解：由题意可得x1是函数y=log4x的图象和y=（）x的图象的交点的横坐标，
x2是y=的图象和函数y=y=（）x的图象的交点的横坐标，且x1，x2都是正实数，如图所示：
故有x2＞log4x1，故
log4x1﹣x2＜0，∴log4x1+log4x2＜0，
∴log4（x1 x2）＜0，∴0＜x1 x2＜1，
故选B．
　
10．已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．
B．
C．[1，+∞）
D．
【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．
【分析】求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立转化为2m2﹣大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．
【解答】解：对于函数f（x）=，
当x≤1时，f（x）=﹣（x﹣）2+；
当x＞1时，f（x）=＜0．
则函数f（x）的最大值为．
则要使不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立，
则2m2﹣m恒成立，
即m≤﹣或m≥1．
故选：B．
　
11．函数f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=1，当x∈[1，2]时f（x）=3﹣x，则f（﹣2015）=（　　）
A．﹣1
B．1
C．2
D．﹣2
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】由题意：函数f（x）为定义在R上的偶函数，可得f（﹣x+1）+f（x）=1与f（x+1）+f（x）=1，求解出函数的周期，x∈[1，2]时f（x）=3﹣x的值即可求f（﹣2015）．
【解答】解：由题意：函数f（x）为定义在R上的偶函数，可得：f（x+1）+f（x）=1…①，
已知f（x）+f（x﹣1）=1…②
由①②可得f（x+1）=f（x﹣1），
那么：f（x+2）=f（x）
故函数的周期是2．
∴f（﹣2015）=f=f（1），
又当x∈[1，2]时，f（x）=3﹣x，
∴f（1）=3﹣1=2．
故选C．
　
12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有2f（x）+xf'（x）＞x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）﹣9f（﹣3）＜0的解集为（　　）
A．（﹣2019，﹣2016）
B．（﹣2019，2016）
C．（﹣2019，+∞）
D．（﹣∞，﹣2019）
【考点】几何概型．
【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数；
再由F（x+2016）=（x+2016）2f（x+2016），F（﹣3）=9f（﹣3），且不等式（x+2016）2f（x+2016）﹣9f（﹣3）＜0可变成F（x+2014）＜F（﹣3），解这个不等式即可，这个不等式利用F（x）的单调性可以求解．
【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；
得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，
即[x2f（x）]′＜x3＜0；
令F（x）=x2f（x）；
则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；
∴F（x+2016）=（x+2016）2f（x+2016），F（﹣3）=9f（﹣3）；
即不等式等价为F（x+2016）﹣F（﹣3）＜0；
∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；
∴由F（x+2016）＜F（﹣3）得，x+2016＞﹣3，∴x＞﹣2019；
又x+2016＜0，∴x＜﹣2016；
∴﹣2019＜x＜﹣2016．
∴原不等式的解集是（﹣2019，﹣2016）．
故选：A．
　
二、填空题：请把答案填在答题卡相应位置，本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量是单位向量，向量，若，则，的夹角为　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得cosθ的值，可得，的夹角为θ的值．
【解答】解：向量是单位向量，设，的夹角为θ，
∵向量，若，∴||==4，
∴ （2+）=2+=2+1 4 cosθ=0，求得cosθ=﹣，
∴θ=，
故答案为：．
　
14．已知函数y=f（x）的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的3倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移，这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同，则已知函数y=f（x）的解析式为　f（x）=sin（2x﹣）　．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：由题意可得y=2sinx的图象沿x轴向右平移，可得y=2sin（x﹣）的图象，
再把图象上的每一点的纵坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的倍，
可得函数f（x）的图象，故f（x）=sin（2x﹣）的图象，
故答案为：f（x）=sin（2x﹣）．
　
15．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＞0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系为　c＞a＞b　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据已知中f（x）=f（2﹣x），可得：c=f（3）=f（﹣1），根据当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＞0，可得x∈（﹣∞，1）时，函数为减函数，进而得到答案．
【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），
∴c=f（3）=f（﹣1），
∴当x∈（﹣∞，1）时，x﹣1＜0，
若（x﹣1）f'（x）＞0，则f'（x）＜0，
故此时函数为减函数，
∵﹣1＜0＜＜1，
∴f（﹣1）＞f（0）＞f（），
∴c＞a＞b，
故答案为：c＞a＞b．
　
16．设函数f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为　1﹣　．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】化简可得a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，从而求导g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），从而确定gmin（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；从而解得．
【解答】解：∵f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0，
∴a≥x3﹣3x+3﹣，
令g（x）=x3﹣3x+3﹣，
g′（x）=3x2﹣3+
=（x﹣1）（3x+3+），
故当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）在[﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
故gmin（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；
故答案为：1﹣．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，本大题共6个小题，共70分．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）由点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上，可得2Sn=n2+n，利用递推关系即可得出；
（2）由已知得：bn===．利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）∵点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上，
∴2Sn=n2+n，
当n=1时，2S1=2a1=2，解得a1=1；
当n≥2时，
+（n﹣1），
可得2an=2n，解得an=n．
经检验：n=1时也满足上式．
综上可得：an=n．（n∈N+）．
（2）由已知得：bn===．
∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+
=1﹣
=．
　
18．已知函数f（x）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的最小值．
【考点】余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数的最大值，从而可得f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）利用f（A）=sin（2A+）+1=，求得A，在△ABC中，根据余弦定理，利用b+c=2，及，即可求得实数a的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2=（1+cos2x）﹣（sin2xcos﹣cos2xsin）
=1+sin2x+=1+sin（2x+）．
∴函数f（x）的最大值为2．
要使f（x）取最大值，则sin（2x+）=1，∴2x+=2kπ+（k∈Z）
∴x=kπ+（k∈Z）．
故x的取值集合为{x|x=kπ+（k∈Z）}．
（Ⅱ）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=，
∵A∈（0，π），∴2A+∈，∴2A+=，∴A=
在△ABC中，根据余弦定理，得=（b+c）2﹣3bc．
由b+c=2，知，即a2≥1．
∴当b=c=1时，实数a取最小值1．
　
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．
（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ 平面BDE，PA 平面BDE．所以PA∥平面BDE
（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，进一步利用最后利用平行线分线段成比例求出λ的值．
【解答】证明：（Ⅰ）如图连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，
又EQ 平面BDE，PA 平面BDE．
所以PA∥平面BDE
（Ⅱ）解：依据题意可得：PA=AB=PB=2，取AB中点O，
所以PO⊥AB，且
又平面PAB⊥平面ABCD，
则PO⊥平面ABCD；
作FM∥PO于AB上一点M，
则FM⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD是矩形，
所以BC⊥平面PAB，
则△PBC为直角三角形，
所以，
则直角三角形△ABD的面积为，
由FM∥PO得：
　
20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．
依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．
解得c=1，a=2．
所以=4﹣1=3．
所以椭圆C的标准方程是．
（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：
设直线l的方程为y=kx+m，
由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
，．
若||=||成立，
即||2=||2，等价于．
所以x1x2+y1y2=0．
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
（1+k2） ，
化简得7m2=12+12k2．
将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，
解得．
又由7m2=12+12k2≥12，得，
从而，解得或．
所以实数m的取值范围是．
　
21．设函数f（x）=xlnx（x＞0）：
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；
（3）当x＞0时，证明：ex＞f′（x）+1．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求导函数f′（x），解不等式f′（x）＞0得出增区间，解不等式f′（x）＜0得出减区间；
（2）求F′（x），讨论F′（x）=0的解的情况及F（x）的单调性得出结论；
（3）构造函数设g（x）=ex﹣lnx，x＞0，则即证g（x）＞2，只要证g（x）min＞2，利用导数判断函数的单调性，求得g（x）的最小值即得，不等式即可得证．
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=
∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0
∴函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，
（2）∴F（x）=ax2+f′（x）（x＞0），
∴F′（x）=2ax+=（x＞0）．
当a≥0时，F′（x）＞0恒成立，∴F（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴F（x）在（0，+∞）上无极值．
当a＜0时，令F′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．
∴当0＜x＜时，F′（x）＞0，当x＞时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
∴当x=时，F（x）取得极大值F（）=+ln，无极小值，
综上：当a≥0时，F（x）无极值，
当a＜0时，F（x）有极大值+ln，无极小值，
（Ⅲ）证明：设g（x）=ex﹣lnx，x＞0，
则即证g（x）＞2，
只要证g（x）min＞2，
∵g′（x）=ex﹣，
设h（x）=ex﹣，
∴h′（x）=ex+＞0恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵h（0.5）=﹣2＜1.7﹣2＜0，h（1）=e﹣1＞0，
∴方程h（x）=0有唯一的实根x=t，且t∈（0.5，1）
∵当t∈（0.5，1）时，h（x）＜h（t）=0，
当t∈（t，+∞）时，h（x）＞h（t）=0，
∴当x=t时，g（x）min=et﹣lnt，
∵h（t）=0，即et=，
则t=e﹣t，
∴g（x）min=﹣ln=e﹣t=+t＞2=2，
∴ex＞f′（x）+1．
　
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲
22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．
（Ⅰ）求证：AC BC=AD AE；
（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=3，CF=9，求AC的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．
（II）利用切割线定理可得CF2=AF BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得=，即可得出．
【解答】（I）证明：如图所示，连接BE
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
又∠E=∠ACB．
∵AD⊥BC，∠ADC=90°．
∴△ABE∽△ADC，∴，∴AB AC=AD AE．
又AB=BC，∴BC AC=AD AE．
（II）解：∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF BF，
∵AF=3，CF=9，∴92=3BF，解得BF=27．
∴AB=BF﹣AF=24．
∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，
∴=，∴AC==8．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．
（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA| |PB|=1，求实数m的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）曲线C：（x﹣1）2+y2=1．展开为：x2+y2=2x，把代入可得曲线C的极坐标方程．直线l的参数方程为：，（t为参数）．
（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程圆的方程可得：t2+（）t+m2﹣2m=0，利用|PA| |PB|=1，可得|m2﹣2m|=1，解得m即可得出．
【解答】解：（1）曲线C：（x﹣1）2+y2=1．展开为：x2+y2=2x，可得ρ2=2ρcosθ，即曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
直线l的参数方程为：，（t为参数）．
（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程代入x2+y2=2x，可得：t2+（）t+m2﹣2m=0，∴t1t2=m2﹣2m．
∵|PA| |PB|=1，∴|m2﹣2m|=1，解得m=1或1±．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．
（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；
（2）当a=2时，若关于x的不等式4f（x）＜2|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最大值为14，可得|1﹣b|≤7，由此解得b的范围．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式f（x）≤3x
可化为①；或②；或③．
解①求得﹣≤x＜﹣，解求得﹣≤x＜，解求得x≥．
综上可得，不等式的解集为{x|x≥﹣}．
（2）当a=2时，f（x）=|2x+|+|2x﹣3|≥|2x+﹣（2x﹣3）|=，（当且仅当﹣≤x≤时取等号），
则f（x）的最大值为4 =14，不等式4f（x）＜2|1﹣b|的解集为空集，
等价于|1﹣b|≤7，解得﹣6≤b≤8，故实数b的取值范围是[﹣6，8]．
　
2017年1月6日