江苏省盐城市亭湖区南洋中学2016-2017学年高二（上）第一次月考数学试卷（解析版）

2016-2017学年江苏省盐城市亭湖区南洋中学高二（上）第一次月考数学试卷
　
一、填空题
1．解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）利用求根公式解的集合为　　．
2．不等式2＜4的解集是　　．
3．不等式﹣3x2+2x+8＞0的解集为　　．
4．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={|x（x﹣2）（x﹣5）＜0}，则A∪B=　　．
5．已知f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，则实数a的取值范围是　　．
6．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则不等式bx2﹣ax﹣c＞0的解集为　　．
7．若关于x的不等式x2﹣4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是　　．
8．若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z=x﹣y的最大值是　　．
9．若x≥0，y≥0，2x+3y≤100，2x+y≤60，则z=6x+4y的最大值是
　　．
10．设a、b是实数，且a+b=3，则2a+2b的最小值是　　．
11．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为　　．
12．若x，y∈（0，+∞），且x2+=1，则x的最大值为　　．
13．设动点坐标（x，y）满足，则x2+y2的最小值为　　．
14．给出平面区域如图所示，若使目标函数Z=ax+y
（a＞0），取得最大值的最优解有无数个，则a值为
　　
　
二、解答题
15．解不等式：
（1）解不等式：≤0．
（2）解不等式组．
16．解不等式
（1）（x﹣a）（ax﹣1）＜0
（a＜0）
（2）log（x2﹣1）≥1．
17．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
18．已知a＞1，b＞0，且a+b=2，求+的最小值．
19．若正数a，b满足ab=a+b+3．
（1）求ab的取值范围．
（2）求a+b的取值范围．
20．已知，
（1）求z=x+2y的最大和最小值．
（2）求z=的取值范围．
（3）求z=x2+y2的最大值和最小值．
　
2016-2017学年江苏省盐城市亭湖区南洋中学高二（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题
1．解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）利用求根公式解的集合为　{}或{﹣}或 　．
【考点】集合的表示法．
【分析】利用一元二次方程的求根公式和列举法写出集合即可．
【解答】解：①当△=b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为：x=；
②当△=b2﹣4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为：x=﹣；
③当△=b2﹣4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无解．
综上所述，符合条件的集合是：{}或{﹣}或 ．
故答案是：{}或{﹣}或 ．
　
2．不等式2＜4的解集是　（﹣1，2）　．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化成相同的形式，化底数为3，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系，得到未知数的范围．
【解答】解：∵，
∴，
∵y=2x是一个递增函数，
∴x2﹣x＜2， ﹣1＜x＜2．
故答案为：（﹣1，2）
　
3．不等式﹣3x2+2x+8＞0的解集为　（﹣，2）　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】把不等式﹣3x2+2x+8＞0化为3x2﹣2x﹣8＜0，求出解集即可．
【解答】解：不等式﹣3x2+2x+8＞0可化为
3x2﹣2x﹣8＜0，
即（3x+4）（x﹣2）＜0，
解得﹣＜x＜2；
所以不等式的解集为（﹣，2）．
故答案为：（﹣，2）．
　
4．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={|x（x﹣2）（x﹣5）＜0}，则A∪B=　（1，5）　．
【考点】一元二次不等式的解法；并集及其运算．
【分析】解一元二次不等式求得A和B，再根据两个集合的并集的定义求得A∪B．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3
}，B={|x（x﹣2）（x﹣5）＜0}={x|2＜x＜5}，
则A∪B={x|1＜x＜5}，
故答案为
（1，5），
　
5．已知f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）　．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】利用指数函数的性质，列出不等式求解即可．
【解答】解：f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，
可得a2﹣2a﹣2＞1，解得a∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
　
6．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则不等式bx2﹣ax﹣c＞0的解集为　（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据ax2+bx+c＞0的解集求出a、b、c的关系，再化简不等式bx2﹣ax﹣c＞0，求出它的解集即可．
【解答】解：ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），
∴对应方程的ax2+bx+c=0的两根为﹣1和2，
∴﹣=﹣1+2=1，
=﹣1×2=﹣2，且a＜0，
不等式bx2﹣ax﹣c＞0可化为﹣ax2﹣ax+2a＞0，
即x2+x﹣2＞0，
解得x＜﹣2或x＞1．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．
　
7．若关于x的不等式x2﹣4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是　（﹣∞，﹣3]　．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【分析】构造函数f（x），将不等式恒成立问题转化为求函数f（x）的最小值问题，求出二次函数的对称轴，判断出其单调性，求出f（x）的最小值，令最小值大于等于m即得到m的取值范围．
【解答】解：∵x2﹣4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立
令f（x）=x2﹣4x，x∈[0，1]
∵f（x）的对称轴为x=2
∴f（x）在[0，1]上单调递减
∴当x=1时取到最小值为﹣3
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]
故答案为（﹣∞，﹣3]
　
8．若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z=x﹣y的最大值是　1　．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣y过可行域内的点A时，从而得到z最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
设z=x﹣y，
将最大值转化为y轴上的截距的最小值，
当直线zz=x﹣y经过区域内的点A（1，0）时，z最大，
最大值为：1
故答案为：1．
　
9．若x≥0，y≥0，2x+3y≤100，2x+y≤60，则z=6x+4y的最大值是
　200　．
【考点】简单线性规划．
【分析】①画可行域②名曲目标函数几何意义：直线斜率的四倍
纵截距最大时z也取得最大值．③平移目标函数得到最大值
【解答】解：画可行域如图阴影部分四边形ABCD
令z=0得直线l：0=6x+4y
平移l过A（20，20）
时z最大为200
故答案为200
　
10．设a、b是实数，且a+b=3，则2a+2b的最小值是　4　．
【考点】基本不等式．
【分析】根据基本不等式的性质与幂的运算性质，有2a+2b≥2=2，结合题意a+b=3，代入可得答案．
【解答】解：根据基本不等式的性质，有2a+2b≥2=2，
又由a+b=3，
则2a+2b≥2=4，
故答案为4．
　
11．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为　16　．
【考点】基本不等式．
【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y） （），展开后应用基本不等式即可．
【解答】解：∵=1，x、y∈R+，
∴x+y=（x+y） （）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．
故答案为：16．
　
12．若x，y∈（0，+∞），且x2+=1，则x的最大值为　　．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】首先由等式，求的最大值，故考虑先解出x关于函数y的值，把它代入求出关于y的函数，再配方即可求出的最大值．
【解答】解：因为x，y∈（0，+∞），且，
则解出x=，则把解出的x代入，
得==
则的最大值为=．
故答案为．
　
13．设动点坐标（x，y）满足，则x2+y2的最小值为　10　．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】做出不等式组所表示的平面区域，而x2+y2最小值的表示的几何意义是在平面区域内找一点，使得其到原点的距离的平方的最小值，结合图象可求最小值
【解答】解：做出不等式组所表示的平面区域如图所示
x2+y2最小值的表示的几何意义是在平面区域内找一点，使得其到原点的距离的平方的最小值
结合图象可知OB为所求的最小值，而B（3，1）OB=
x2+y2=10为所求的最小值
故答案为：10
　
14．给出平面区域如图所示，若使目标函数Z=ax+y
（a＞0），取得最大值的最优解有无数个，则a值为
　　
【考点】简单线性规划．
【分析】由题设条件，目标函数Z=ax+y
（a＞0），取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中两个系数皆为正，故最大值应在左上方边界AC上取到，即ax+y=0应与直线AC平行；进而计算可得答案．
【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故ax+y=0应与直线AC平行
∵kAC==﹣，
∴﹣a=﹣，
∴a=，
故应填．
　
二、解答题
15．解不等式：
（1）解不等式：≤0．
（2）解不等式组．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】分别将分式不等式等价转化为整式不等式解之即可．
【解答】解：（1）不等式等价与（x﹣3）（2x+5）≥0，并且x≠﹣2.5，
所以不等式的解集为{x|x≥3或x＜﹣2.5}；
（2）不等式组变形为，解得，
所以不等式的解集为{x|1≤x＜3}．
　
16．解不等式
（1）（x﹣a）（ax﹣1）＜0
（a＜0）
（2）log（x2﹣1）≥1．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】（1）利用一元二次不等式与对应方程的关系，讨论a与的大小，得到不等式的解集．
（2）利用对数函数的性质得到真数范围，求x范围．
【解答】解：（1）由（x﹣a）（ax﹣1）＜0
（a＜0），等价于（x﹣a）（x﹣）＞0，当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x≠a}；
当a＜﹣1时，＞a，不等式的解集为{x|x＞，或者x＜a}；
当﹣1＜a＜0时，＜a，不等式的解集为{x|x＞a或x＜}．
（2）不等式等价于，，所以不等式的解集为{x|1＜x，或}．
　
17．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．
【解答】解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为y元，则底面积为m2，
池底的造价为1600×150=240000元，
则y=240000+720（x+）≥240000+720×2
=240000+720×2×40=297600，
当且仅当x=，即x=40时，y有最小值297600（元）
答：当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．
　
18．已知a＞1，b＞0，且a+b=2，求+的最小值．
【考点】基本不等式．
【分析】a＞1，b＞0，且a+b=2，可得（a﹣1）+b=1．变形+=[（a﹣1）+b]，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a＞1，b＞0，且a+b=2，∴（a﹣1）+b=1．
∴+=[（a﹣1）+b]
=3++≥3+2=3+2，
当且仅当b=2﹣，a=时取等号．
∴+的最小值是3+2．
　
19．若正数a，b满足ab=a+b+3．
（1）求ab的取值范围．
（2）求a+b的取值范围．
【考点】基本不等式．
【分析】（1）正数a，b满足ab=a+b+3，可得ab=a+b+3≥+3，解出即可得出．
（2）正数a，b满足ab=a+b+3，可得a+b+3=ab≤，解出即可得出．
【解答】解：（1）∵正数a，b满足ab=a+b+3，
∴ab=a+b+3≥+3，即﹣2﹣3≥0，
解得≥3，即ab≥9，当且仅当a=b=3时取等号，∴ab∈[9，+∞）．
（2）∵正数a，b满足ab=a+b+3，∴a+b+3=ab≤，
即（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0，解得a+b≥6，当且仅当a=b=3时取等号，
∴a+b∈[6，+∞）．
　
20．已知，
（1）求z=x+2y的最大和最小值．
（2）求z=的取值范围．
（3）求z=x2+y2的最大值和最小值．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域．
（1）化目标函数为直线方程的斜截式，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案；
（2）化z=为，由其几何意义即动点与定点连线的斜率得答案；
（3）由z=x2+y2=（x﹣0）2+（y﹣0）2表示可行域内的点（x，y）到（0，0）的距离的平方得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图．
（1）由z=x+2y得，作一组平行线l：，
解方程组得最优解A（3，1），
∴zmin=3+2×1=5．
解得最优解B（7，9），
∴zmax=7+2×9=25；
（2）表示可行域内的点（x，y）与（0，0）的连线的斜率．
从图中可得，kOA≤z≤kOC，
又，
∴．
（3）z=x2+y2=（x﹣0）2+（y﹣0）2表示可行域内的点（x，y）到（0，0）的距离的平方．
从图中易得，，（O到直线AC的距离的平方），
．
　
2017年1月8日