第2章 对称图形——圆的基本性质学案

圆的基本性质
知识要点
1、垂径定理及其推论：
定理：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧.
2、
基本图形探究：设圆的半径为，弦长（AB）为，弦心距（OE）为，弓形的高（CE）为.、它们四者满足关系式：①；②.
3、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
4、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
5.同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；
6.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
7.90°的圆周角所对的弦是直径；
8如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
9、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；外角等于内对角.
基础检测
1．如图，A、B、C在⊙O上，∠OAB＝22.5°，则∠ACB的度数为（　　）
A．115.5°
B．112.5°
C．122.5°
D．135°
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2一点到圆周上点的最大距离为9，最短距离为1，则这个圆的半径是
.
3.过⊙O内一点M的最长的弦长为10㎝，最短弦长为8㎝，则OM的长为
.
4．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上一点，连OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB＝_________
5．如图，在圆柱形油槽内装有一些油，油槽
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6．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（　　）个
A．1
B．2
C．3
D．0
7．已知△ABC内接于⊙O，且⊙O的半径为
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B．32
C．8或32
D．无法确定
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8..等腰ABC中，AB=AC=,BC=8，求它的外接圆半径；
9．如图，在⊙O中，弦AB＝1.8
cm，C为⊙O上一点，且∠ACB＝30°，则⊙O的直径为______cm
10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝，∠C＝120°，则⊙O的半径为（　　）
A．
B．4
C．
D．
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴
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12．要测量一个钢板上的小
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mm（如图），求此小孔的直径d
13．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8
cm，弧AC＝CD＝BD，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为__________
综合、提高、创新
【例1】.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F．
（1）求证：BF平分∠DFE；
（2）若EF=DF，BE=5，CH=3，求⊙Ｏ的半径．
【例2】.（2009五月调考改编）如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E
（1）
连BE、OD交于F,若DF=2,BE=8,求⊙O的半径
（2）
若DE=，AB=，求AE的长.
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【例3】在⊙O的内接△ABC中，AB＝10，AC＝2，点P是弦BC所对优弧的中点，PQ⊥AB于Q，求AQ的长
【例4】如图，AB是⊙O的直径，弧AM＝BM，C在弧AM上，且不与AM重合，MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，连CM
(1)
求证：ME＝MF
(2)
若AC＝6，BC＝8，求线段CM的长
【练1】如图，在⊙O中，点A、B、C、D为圆的四等分点，半径为5
cm，P为弧AD上一动点，分别连结PA、PB、PC、PD，求证：为定值
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【练2】已知A、B是半径为5的⊙O上的
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【例5】如图，在平面直角坐标系中，过点A(2，2)的直线与x轴交于点B(6，0)，与y轴交于点C
(1)
如图，以BC为直径的⊙P交射线OA于点Q，试求Q点的坐标
(2)
如图，点M为射线OA上的一动点，过点O、C、M点作⊙N，交x轴于点D，过点D作DT⊥OA于点T．当点M在射线OA上运动时（不包括端点O），现给出两个结论：①
为定值；②
线段MT的长度为定值，其中有且只有一个是正确的，请选出正确的结论，并加以证明
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【例6】如图，已知直线y＝x＋2交y轴于C，交x轴于点P，以x轴上点M为圆心作⊙M交x轴于A、B两点，与直线PC切于点C，交y轴于另一点D
(1)
求M点的坐标
(2)
如图，E、F分别是BC、BD延长线上的一点，且EF⊥BF，EF交x轴于H，EG⊥x轴于G，求证：BH＝2GE
(3)
如图，已知P(1，1)，过
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KQ－NQ的值不变；②
KQ＋NQ的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择，并求其值
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反馈练习：
1．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则CD的长为（
）
A．7
B．
C．
D．9
2．⊙O的半径为1
cm，弦AB＝cm，AC＝cm，则∠BAC＝___________
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P所截得的弦AB的长为，则a＝___________
4．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为___________
5．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，H为边AC、AB上高BD、CE的交点，在BD上取点M、使BM＝CH
(1)
求证：∠BOC＝∠BHC
(2)
求证：△BOM≌△COH
(3)
求的值
6．如图，已知在△ABC中，D为AC上一点，且AD＝DC＋CB，过D作AC的垂直交外接圆于M，求证：M为优弧AB的中点
7．如图，已知：圆内接△ABC中，AB＞AC，D为弧BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2－AD2＝AB·AC
8．如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD＝4，OH为AB的弦心距，求OH的长
9．如图，半径为的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点
(1)
设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD
(2)
求AD2＋BC2
10．在平面直角坐标系中，⊙O交坐标轴于A、B、C、D
(1)
如图1，点P为弧AD上的一点，△PCD的内切圆半径为r，求证：
(2)
如图2，将⊙O平移至⊙O1
( http: / / www.21cnjy.com )，交坐标轴于A、B、C、D，已知A(0，3)、C(－2，0)、D(6，0)，在劣弧AD上存在一点P(a，m)，作PH⊥y轴于H，交弧AP于K，使弧AK＝弧KP成立．请你探索出点P的横、纵坐标（a与m）应满足的两个等量关系式
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11．如图，点M为轴上一点，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，设C(0，)、B(3，0)
(1)
求点M的坐标
(2)
如图所示，点P为弧BC上任一点，点Q为弧CP上的中点，直线BP、DQ交于点E，求BE的长
(3)
如图所示，连接AC、BC，作∠BCK的平分线CF交⊙M于点F，连接AF，求的值