2.1-2.2 圆的对称性和圆心角、圆周角 同步练习（含答案解析）

2.1-2.2
圆的对称性和圆心角、圆周角
同步练习
　
一．选择题（共12小题）
1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=87°，则∠E等于（　　）
A．42°
B．29°
C．21°
D．20°
2．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（　　）
A．25
B．40
C．50
D．55
3．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　）
A．DE=EB
B．
DE=EB
C．DE=DO
D．DE=OB
4．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（　　）
A．60°
B．45°
C．35°
D．30°
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于（　　）
A．67.5°
B．135°
C．112.5°
D．45°
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　）
A．cm
B．3cm
C．3cm
D．6cm
8．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是
（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A．（0，0）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，0）
D．（﹣1，﹣1）
9．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（　　）
A．0.5
B．1
C．2
D．4
10．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内
B．点P的⊙O上
C．点P在⊙O外
D．点P在⊙O上或⊙O外
11．下列说法正确有（　　）个
①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直弦；③垂直弦的直径平分弦；④在y=中，当k＞0时，y随x的增大而减小．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（　　）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
二．填空题（共8小题）
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为　
　．
14．如图△ABC中外接圆的圆心坐标是　
　．
15．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　　．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=　
　．
17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°．若点E在上，则
∠E=　
　°．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC=50°，则∠BDC的大小是　
　．
19．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为　　°．
20．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，AP+BP的最小值为　　．
　
三．解答题（共5小题）
21．尺规作图：已知△ABC，如图．
（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；
（2）若AC=4，∠B=30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为　　．
22．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
23．如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD=2，sin∠ABC=
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD=DF时，求CE的长．
24．已知⊙O的直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ于点P．
（Ⅰ）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（Ⅱ）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
25．如图，已知⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°
（1）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
　
答案
　
一．选择题（共12小题）
1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=87°，则∠E等于（　　）
A．42°
B．29°
C．21°
D．20°
【分析】利用半径相等得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连结OD，如图，
∵OB=DE，OB=OD，
∴DO=DE，
∴∠E=∠DOE，
∵∠1=∠DOE+∠E，
∴∠1=2∠E，
而OC=OD，
∴∠C=∠1，
∴∠C=2∠E，
∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，
∴∠E=∠AOC=×87°=29°．
故选B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
　
2．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（　　）
A．25
B．40
C．50
D．55
【分析】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．
【解答】解：连接OB、OC，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A=65°，∠D=60°，
∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，
∵=150°，
∴∠AOD=150°，
∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，
则=40°．
故选B
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．
　
3．（2016 杭州）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　）
A．DE=EB
B．
DE=EB
C．DE=DO
D．DE=OB
【分析】连接EO，只要证明∠D=∠EOD即可解决问题．
【解答】解：连接EO．
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，
故选D．
【点评】本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅助线，利用等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型．
　
4．（2016 绍兴）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（　　）
A．60°
B．45°
C．35°
D．30°
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：连结OC，如图，
∵=，
∴∠BDC=∠BOC=∠AOB=×60°=30°．
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
　
5．（2016 兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
　
6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=2：3：6，则∠D等于（　　）
A．67.5°
B．135°
C．112.5°
D．45°
【分析】根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形，得出∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，设∠A=2a，∠B=3a，∠C=6a，得出2a+6a=180°，求出a的值，求出∠B的度数，即可求出答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∵∠A：∠B：∠C=2：3：6，
设∠A=2a，∠B=3a，∠C=6a，
则2a+6a=180°，
∴a=22.5°，
∴∠B=3a=67.5°，
∴∠D=180°﹣∠B=112.5°．
故选C．
【点评】本题考查了对圆内接四边形的性质的运用，关键是得出关于a的方程，题目是一道具有代表性的题目，主要培养学生的计算能力．
　
7．（2016 黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　）
A．cm
B．3cm
C．3cm
D．6cm
【分析】根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．
【解答】解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴圆心O到弦CD的距离为OE；
∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，
∴∠COB=60°；
在Rt△OCE中，
OC=5cm，OE=OC cos∠COB，
∴OE=cm．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
　
8．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A．（0，0）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，0）
D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据图形作线段AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出
即可．
【解答】解：如图线段AB的垂直平分线EQ和线段CD的垂直平分线NF的交点M，即为弧的圆
即圆心的坐标是（﹣1，1），
故选B．
【点评】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，数形结合是解答此题的关键．
　
9．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（　　）
A．0.5
B．1
C．2
D．4
【分析】根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径）．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，
则AD=AB=×0.8=0.4米，
设OA=r，则OD=r﹣DE=r﹣0.2，
在Rt△OAD中，
OA2=AD2+OD2，即r2=0.42+（r﹣0.2）2，解得r=0.5米，
故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米．
故选B．
【点评】本题考查的是垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
　
10．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内
B．点P的⊙O上
C．点P在⊙O外
D．点P在⊙O上或⊙O外
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”来求解．
【解答】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），
∴OP==＜5，因而点P在⊙O内．
故选A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．
　
11．下列说法正确有（　　）个
①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直弦；③垂直弦的直径平分弦；④在y=中，当k＞0时，y随x的增大而减小．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】分别利用确定圆的条件以及垂径定理和垂径定理的推论、反比例函数的性质分析得出答案．
【解答】解：①三个不在同一直线的点确定一个圆，故此选项错误；
②平分弦（弦不是直径）的直径垂直弦，故此选项错误；
③垂直弦的直径平分弦，正确；
④在y=中，当k＞0时，每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了确定圆的条件以及垂径定理和垂径定理的推论、反比例函数的性质等知识，正确把握相关定义是解题关键．
　
12．（2016 贵阳）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（　　）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
【分析】作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心，将等边三角形的边长用含半径的代数式表示出来，列出方程进行即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．
设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R．
∴BD=cos∠OBC×OB=R，BC=2BD=R．
∵BC=12，
∴R==4．
故选B．
【点评】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法、锐角三角函数，垂径定理等知识，解题的关键是作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
　
二．填空题（共8小题）
13．（2016 扬州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为　2　．
【分析】连接CD，由∠ABC=∠DAC可得，得出则AC=CD，又∠ACD=90°，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠B=∠DAC，
∴，
∴AC=CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=4，
∴AC=CD=AD=×4=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查略圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；由圆周角定理得到，得出AC=CD是解题的关键．
　
14．如图△ABC中外接圆的圆心坐标是　（6，2）　．
【分析】本题可借助网格在网格中根据三角形三边的位置作出它们的垂直平分线，垂直平分线相交于一点，该点就是圆心，根据网格中的单位长度即可求解．
【解答】解：分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2），
即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6，2）．
故答案为：（6，2）．
【点评】主要考查了三角形外心的确定方法．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．在网格中确定点的坐标要借助已知线段的特殊位置来求解．
　
15．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　2　．
【分析】作OD⊥AB于D，连接OA，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．
【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，OA=2，
∴OD=OA=1，
在Rt△OAD中
AD===，
∴AB=2AD=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
16．（2016 安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=　4﹣　．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．
【解答】解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED=CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE==，
∴BE=OB﹣OE=4﹣．
故答案为4﹣．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
　
17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°．若点E在上，则∠E=　125　°．
【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD=180°﹣∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．
【解答】解：∵∠C+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°﹣110°=70°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=（180°﹣70°）=55°，
∵四边形ABDE为圆的内接四边形，
∴∠E+∠ABD=180°，
∴∠E=180°﹣55°=125°．
故答案为125．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了等腰三角形的性质．
　
18．（2016 河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC=50°，则∠BDC的大小是　40°　．
【分析】根据∠ABC=50°求出的度数为100°，求出的度数为80°，即可求出答案．
【解答】解：∵∠ABC=50°，
∴的度数为100°，
∵AB为直径，
∴的度数为80°，
∴∠BDC=×80°=40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，能灵活运用定理求出的度数是解此题的关键，注意：在同圆中，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
　
19．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为　22.5　°．
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB=86°﹣30°=56°，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
【解答】解：连结OA、OB，如图，
∵点A、B的读数分别为65°，20°，
∴∠AOB=65°﹣20°=45°，
∴∠ACB=∠AOB=22.5°．
故答案为：22.5．
【点评】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，会使用量角器是解决本题的关键．
　
20．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，AP+BP的最小值为　2　．
【分析】本题是要在CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
【解答】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，则PA+PB最小，
连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AD的中点，
∴∠BOD=30°，
∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，
又∵OA=OA′=2，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
　
三．解答题（共5小题）
21．尺规作图：已知△ABC，如图．
（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；
（2）若AC=4，∠B=30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为　4　．
【分析】（1）确定三角形的外接圆的圆心，根据其是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；
（2）连接OA，OC，先证明△AOC是等边三角形，从而得到圆的半径．
【解答】解：（1）作法如下：
①作线段AB的垂直平分线，
②作线段BC的垂直平分线，
③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；
（2）连接OA，OC，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵AC=4，
∴OA=OC=4，即圆的半径是2，
故答案为4．
【点评】本题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆与外心、圆周角与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的外接圆的作法，得出圆心位置是解题关键．
　
22．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE=OB=OC，即证明∠OCE=30°即可．
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，，
∴，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，
∴，
又∵BE=OE，
∴OE=2，
∴，
∴．
【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
　
23．如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD=2，sin∠ABC=
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD=DF时，求CE的长．
【分析】（1）由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠GBD，从而得出△ADB≌△GDB求出AG，最后用勾股定理即可；
（2）先求出AC，BC，CD，DF，BF，根据勾股定理求出CG，FG，从而求出CF，最后用三角形相似即可．
【解答】解：（1）如图1，延长AD、BC交于G点，过G点作GH⊥AB于H，
∵⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠GBD，
在△ADB和△GDB中
∵，
∴△ADB≌△GDB（ASA），
∴AD=DG=2，AB=BG，
∴AG=4，
设GH=4x，∵sin∠ABC=，
∴BG=BA=5x，
∴BH=3x，AH=2x，
∴（2x）2+（4x）2=（4）2
解得：x=2
∴半径为5；
（2）如图2，
过点C作CG⊥BD，在Rt△ADB中，BD==4，
∴cos∠ABD==，
在Rt△ABC中，AB=10，
∴sin∠ABC==，
∴AC=8，∴BC=6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，AD=CD=2，
∵CD=DF，
∴DF=2，
在Rt△CBG中，cos∠ABD=cos∠CBG==，
∴BG=，
∴GF=，CG=
∴根据勾股定理，FC==2，
根据相交弦定理得，DF×BF=EF×CF，
∴EF==5，
∴CE=．
【点评】此题是圆内接四边形，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形相似，解本题的关键是FC，作辅助线是解本题的难点．
　
24．已知⊙O的直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ于点P．
（Ⅰ）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（Ⅱ）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
【分析】（Ⅰ）如图1连接OQ，首先求出OP，再在Rt△OPQ中，利用勾股定理解决问题．
（Ⅱ）如图2连接OQ，当OP⊥BC时，求Q长的最大，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）如图1中，连接OQ．
在Rt△POB中，∵OB=3，∠PBO=30°，∠POB=90°，
∴OP=OB tan30°=，
在Rt△OQP中，PQ===．
（Ⅱ）如图2中连接OQ，当OP⊥BC时，PQ长的最大．
此时OP=OB=，
在Rt△OPQ中，PQ===．
【点评】本题考查圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
　
25．如图，已知⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°
（1）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得．
【解答】解：（1）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB PE，S△ABC=AB CF，
∴S四边形APBC=AB （PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC=×2×=；
（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．
　
第3题图
第2题图
第1题图
第7题图
第5题图
第4题图
第9题图
第8题图
第14题图
第13题图
第17题图
第16题图
第15题图
第19题图
第20题图
第18题图