贵州省凯里市第一中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题

秘密★考试结束前
凯里一中2016—2017学年度第一学期期末考试
高二理科数学试卷
注意事项：
1.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,本试卷共150分，考试时间120
分钟。
2.
答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置。
3．选择题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
第Ⅰ卷
一、
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
已知全集，集合，则
．
．
．
．
2．
直线的倾斜角为，则
．
．
．
．
3．
已知命题：“，函数是奇函数”，则命题为
．，函数是偶函数
．，函数是奇函数
．，函数不是奇函数
．，函数不是奇函数
4．
执行图的程序框图后，输出的结果为
．
．
．
．
5．
双曲线的离心率
．
．
．
．
6．
在正方体中，是棱的中点，则异面直线、的夹角的余弦值为
．
．
．
．
7．
在各项为正实数的等差数列中，其前项的和，则的最小值为
．
．
．
．
8．
已知空间中的直线、和平面，且．则“”是“”成立的
．充分不必要条件
．必要不充分条件
．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
9．
直线分别与函数、的图像交于、
两点，当实数变化时，的最大值为
．
．
．
．
10．
已知由不等式所确定的平面区域为，由不等式所确定的平面区域为，在区域内随机抽取一个点，该点同时落在区域内的概率是
．
．
．
．
11．
对于函数图像上的任一点，在函数上都存在点，使以线段为直径的圆都经过坐标原点，则必然在下面哪个区间内？
．
．
．
．
12．
如图所示，是坐标原点，三个正方形、
、的顶点中，、、、、
、、七个点都在抛物线
上，另外，、、三个点都在轴上，则
这三个正方形的面积之比
．
．
．
．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知圆：与直线相
切，则
．
14．在空间直角坐标系中，已知，，
则、夹角的的余弦值是
．
15．已知且，关于的方程有两个
相异实根，则的取值范围是
．
16．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表
面积是
．
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知集合，．
命题：“”；命题：“”．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题“”和“”中恰有一个真命题，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
数列的前项和为．
（1）当是等比数列，，且，，是等差数列时，求；
（2）若是等差数列，且，，证明：对于任意，都有：
．
19．（本小题满分12分）
如图所示，和都是正三角形，平面
平面，连接，是线段的中点．
（1）判断直线与平面是否垂直，并说明理由；
（2）由二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
对凯里一中高二（1）、高二（2）、高二（3）、高二（4）、高二（5）五个班级调查了解，统计出这五个班级课余参加书法兴趣小组并获校级奖的人数，得出下表：
班级
高二（1）
高二（2）
高二（3）
高二（4）
高二（5）
班级代号
1
2
3
4
5
获奖人数
5
4
2
3
1
从表中看出，班级代号与获奖人数线性相关．
（1）求关于的线性回归方程；
（2）从以上班级随机选出两个班级，求至少有一个班级获奖人数超过人的概率．
（附：参考公式：，）．
21．（本小题满分12分）
如图所示，是边长为的等边三角形，是它的重心（三条中线的交点），过的直线分别交线段、于、两点，．
（1）当时，求线段的长；
（2）当在区间上变化时，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：的图像经过，两点，
是的右焦点，点坐标为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交于、两点，求直线、的斜率之积的取值范围．
凯里一中2016—2017学年度第一学期期末考试
高二理科数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
A
D
B
B
A
B
D
B
一、选择题
题号
13
14
15
16
答案
二、填空题
17．解：（1）由或
…………2分
由命题为真命题，得或．
故实数的取值范围是．
…………5分
（2）由，，
则，．
由命题“”和“”中恰有一个真命题知且．
故或，即的取值范围是．
…………10分
18．解：（1），，是等差数列，得
又是等比数列，，设公比为，则有，即
而，解得，
…………4分
故
…………6分
（2）设的公差距为，由，得
解得．
…………8分
则．
于是，故
…………10分
．
…………12分
19解：（1）直线与平面是不垂直．…………2分
理由如下：
设中点为，连接、，依题意得、、
两两垂直，分别以射线、、为、、轴的
正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．…………3分
不妨设，则得，，，
，，则，
于是，故与不垂直，由直线与平面垂直的定义知，与平面是不垂直．
…………6分
（2）由（1）知，，
分别设平面和平面的法向量为、，则有
，，可取，…………8分
于是…………11分
则二面角二面角的余弦值为．…………12分
20．解：（1）由已知得，，，，，．则．…………4分
则．
故关于的线性回归方程．…………6分
（2）从以上班级随机选出两个班级，基本事件共有
共个，而获奖人数超过人的有班和班，则至少有一个班级获奖人数超过人的基本事件为共个，由古典概型知至少有一个班级获奖人数超过人的概率．…………12分
21．解：（1）由已知得，且．
…………2分
在中，由正弦定理得
，即，解得．
…………6分
（2）在中，由正弦定理得，则，
…………7分
又，同理可得，
…………8分
…………10分
由得，则
即的取值范围是
…………12分
22．解：（1）由，两点在椭圆上，得
…………2分
解得，故椭圆的方程为．
…………5分
（2）由（1）知，
当直线的斜率不存在时，计算得．
…………6分
当直线的斜率存在，设其方程为
由
①
…………7分
设，则由①得
②
…………8分
故③………9分
将②代入③化简得……10分
当时，得，当时，知
，
综上可知，
即直线、的斜率之积的取值范围是
………12分