课题：一次函数与正比例函数
教学目标：
知识与技能目标：
1、经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符合意义
2、理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式
过程与方法目标
1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
情感与态度目标
1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。
2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力
重点：
将实际问题用一次函数表示
难点：
能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.
教学流程：
课前回顾
函数
一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么我们称y是x的函数.21·cn·jy·com
2、函数的表示法：
①图象法、
②列表法、
③解析式法（关系式法）
情境引入
探究1： 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.2-1-c-n-j-y
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
(2)你能写出x与y之间的关系式吗
答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；
(2) .
探究2：某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.
(1)完成下表:
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余汽油量y/L
(2)你能写出x与y之间的关系式吗
(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗 有没有一个取值范围 剩余油量y呢
答案 (1) 100、91、82、73、64、46；
(2) x与y之间的关系式为 ；
(3) 汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L,行驶560km后,油箱就没有油了,所以x不会超过560km.y代表油箱剩余油量,所以y应该小于100但不能小于零.【来源：21·世纪·教育·网】
思考：这些函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.
归纳：一次函数的定义
一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成(为常数,≠0)的形式,则称是的一次函数(是自变量,为因变量).特别地,当时,则是的正比例函数.www-2-1-cnjy-com
注意：1. ≠0
2.x的次数为1
3．常数k可以取任意实数
当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，则称y是x的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数2·1·c·n·j·y
练习1：
1、下列语句中,具有正比例函数关系的是( C ).
A.长方形花坛的面积不变, 长y与宽 x 之间的关系;
B.正方形的周长不变, 边长 x与面积 S 之间的关系;
C.三角形的一条边不变, 这条边上的高h与S之间的关系;
D.圆的面积为S , 半径为r , S 与r 之间的关系.
2、下列说法正确的是（ D ）
A.一次函数是正比例函数.
B.正比例函数不是一次函数.
C.不是正比例函数就不是一次函数.
D.正比例函数是一次函数.
3、当m= _1或0__ 时，函数y=xm+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
练习2：已知正比例函数y=-2x，写出下列集合中相对应的自变量x的值或函数y的值。
探究3：写出下列各题中与之间的关系式,并判断:是否为的一次函数 是否为正比例函数
汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程(千米)与行驶时间(时)之间的关系；
由路程=速度×时间,得,是的一次函数,也是的正比例函数；
圆的面积(厘米2)与它的半径(厘米)之间的关系；
由圆的面积公式,得,不是的一次函数,也不是的正比例函数；
(3)某水池里有水15m3 ，先打开进水管进水，进水水速为5m3 /h，x 小时后，水池内有水ym3 .21*cnjy*com
y = 5x+15，形如y=kx+b，所以y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
练习3：下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1）y=-x-4 它是一次函数，不是正比例函数.
（2）y=5x2+6 它不是一次函数，也不是正比例函数
（3）y=2πx 它是一次函数，也是正比例函数.
（4） 它不是一次函数，也不是正比例函数.
(5)y=-8x 它是一次函数，也是正比例函数.
自主思考
探究4：我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8（元）
（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y元与月收入x元之间的关系式；21世纪教育网版权所有
y=(x－3500)×3%,
即y=0.03x－105；
（2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
当x=4160时,
y=0.03×4160－105=19.8(元)；
（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
因为(5000－3500)×3%=45(元)
19.2<45
所以此人本月工资、薪金收入低于5000。
设此人本月工资、薪金收入是x元，则
解得x=4140
即此人本月工资、薪金收入是4140元。
小结：一次函数、正比例函数定义及一般形式？
注:正比例函数是一种特殊的一次函数.
五、达标测评
1. 函数，当时，的值是（ C ）
A、1 B、0 C、－1 D、－5
2. 甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式是 ，s是t的 一次 函数.www.21-cn-jy.com
3.已知正比例函数y=2x中,
(1)若0< y <10,则x的取值范围为__0(2)若-6< x <10,则y的取值范围为__-124.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,
(1)此函数为一次函数；
(2)此函数为正比例函数.
解:(1)由题意得， k = 2-m≠0, m≠2,所以m≠2时, 此函数为一次函数.
(2)由题意, k = 2-m≠0, 解得，m≠2，
又因为b = 2m-3= 0, 解得，m=
所以当 m= 时,函数为正比例函数y= x.
5.某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元.21cnjy.com
(1)写出每月电话费(元)与通话次数(＞50)的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费；
(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.
分析:解决此类问题首先要理解题意,然后找出相等关系.此题相等关系为:每月通话费=月租费+超过50次后电话费.21教育网
答案: (1)根据题意得: ×,即；
(2)当时,×；
(3)因为＞,可知通话次数大于50次,即当时,求的值.,解得.
六、应用提高
1、已知函数 ,m为何值时，y是x的一次函数？
解：由题意可知
解得m=-3
∴当m=-3时， y是x的一次函数。
2、已知y与x－3成正比例，且当x＝4时y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)y与x之间是什么函数关系；
(3)求x＝2.5时，y的值．21·世纪*教育网
解 (1) ∵ y与x－3成正比例,
∴设y＝k(x－3)．
又∵x＝4时，y＝3，
∴3＝ k(4－3)，解得k＝3，
∴ y＝3(x－3)＝3x－9．
(2) y是x的一次函数．
(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．
3、已知一次函数y=kx+b,当自变量x=2时，
函数值y=－1；当x=5时，y=8。求k、b的值。
解：由x=2时y=-1,得 -1=2k+b；
由x=5时y=8,得 8=5k+b.
解方程组
得 k=3, b=-7.
∴ k的值为3, b的值为-7。
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、什么是一次函数
2、什么是正比例函数。
3、学会区分一次函数与正比例函数。
七、布置作业
教材82页习题第3、4题。
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班级：___________姓名：___________得分：__________
填空选择题（每小题8分，40分）
1.下列函数中，是一次函数的是( )．
A．y＝7x2 B．y＝x－9
C．y＝ D．y＝
2.下列函数中，是正比例函数的是( )．
A．y＝－2x B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x2 D．y＝－
3.乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是 .
4．某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．
5.已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是 .
二、解答题（每小题10分，60分）
1.在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数．当所挂物体的质量为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y与x之间的函数关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．
2.当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？
3.已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y的值；
（3）当y=4时，求x的值．
4.现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．21世纪教育网版权所有
（1）设A地到甲地运送蔬菜吨，请完成下表：
运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨)
A x
B
（2）设总运费为W元，请写出W与的函数关系式．
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
5.已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式．
6.某蒜薹生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售，并按这三种方式销售，计划每吨的售价及成本如下表：21教育网
销售方式 批发 零售 冷库储藏后销售
售价（元／吨） 3000 4500 5500
成本（元／吨） 700 1000 1200
若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y（元）蒜薹x（吨），且零售是批发量的1/3
①求y与x之间的函数关系；
②由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。
参考答案
选择题
1. B
【解析】
A × x的次数是2，不是1，所以它不是一次函数．
B √ 符合一次函数的一般形式．
C × 含有自变量x的代数式不是整式，所以不是一次函数．
D ×
2． A
【解析】
A √ 符合正比例函数的一般形式．
B × b＝1≠0，所以它不是正比例函数．
C × x的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数.
D × 含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.
3. s=600-58t
【解析】本题可采用线段图示法，如图所示．
火车从乌鲁木齐出发，t小时所走路程为58t千米，此时，距离库尔勒的距离为s千米，
故有58t+s=600，所以，s=600-58t．
4 102
【解析】本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t的具体值．
从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，
当t=-2时，M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．
5. y=2x+2
【解析】由y与x+1成正比例，可设y与x的函数关系式为y=k（x+1）.
再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y关于x的函数关系式．
设y关于x的函数关系式为y=k（x+1）.
∵当x=5时，y=12，
∴12=（5+1）k，∴k=2．
∴y关于x的函数关系式为y=2x+2．
【注意】 y与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.
二、解答题
1. 解：分析：解题的关键是要准确分析题意,进而列出函数解析式y=kx+b(k≠0).
分析题意,根据一次函数的定义,可设y=kx+b(k≠0);
结合挂上1千克物体时,弹簧长15厘米,挂上3千克物体后,弹簧长16厘米,代入即可求出k、b的值,至此问题就迎刃而解了!动手试试吧!21cnjy.com
解:根据题意,设y=kx+b(k≠0),则
15=k+b,16=3k+b
解得
k=0.5,b=14.5
所以
y=0.5x+14.5
当x=4时,y=0.5*4+14.5=16.5
即y与x之间的函数关系式为y=0.5x+14.5;
当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米.
2.分析： 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．
解：∵函数y=（m-2）x+（m-4）是一次函数，
∴∴m=-2.
∴当m=-2时，函数y=（m-2）x+（m-4）是一次函数．
3. 分析：由y-3与x成正比例，则可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式．
解：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．
把x=2，y=7代入y-3=kx中，得
7-3＝2k，
∴k＝2．
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．
（2）当x=4时，y=2×4+3=11．
（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=.
4.（1）
运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨)
A x
B
（2）由题意，得
整理得，．
（3）∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数，
∴ 解不等式组，得
在中，随增大而增大，
∴当x最小为1时，有最小值 1280元．
5.分析：设正比例函数解析式为y＝kx(k≠0)，要求出待定系数k，必须有x与y的一组对应值，所以关键是要将已知条件转化为具体的数值．因为当x＝0时，y＝0，所以我们可以根据题意，给出一对特殊值：当x＝1时，y＝－2.这就是我们需要的等量关系．
解：设正比例函数解析式为y＝kx(k≠0)，
根据题意，当x＝1时，y＝－2.
代入函数解析式，得－2＝k.
故所求函数解析式为y＝－2x.
6.解：（1）由题意，批发蒜薹3x吨，储藏后销售（200-4x）吨
则y=3x(3000-700)+x·（4500-1000）+（200-4x）·（5500-1200）
=-6800x+860000，
（2）由题意得 200-4x≤80 解之得 x≥30
∵-6800x+860000 -6800＜0
∴y的值随x的值增大而减小
当x=30时，y最大值=-6800+860000=656000元
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一次函数与正比例函数
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
一般的，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么我们称y是x的函数.
1、函数
2、函数的表示法：
①图象法、
②列表法、
③解析式法（关系式法）
课前回顾
因变量
自变量
某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm。
情境引入
（1）计算所挂物体的质量分别为1kg，2kg，3kg，4kg，5kg时弹簧的长度，并填入下表：
x /kg 1 2 3 4 5 ……
y /cm ……
3.5
4
4.5
5
5.5
y=3+0.5x
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
所挂物体的质量x(kg)是自变量，弹簧的长度y(cm)是x的函数，他们之间的数量关系是:
弹簧长度=原长+弹簧申长量
探究1
某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L。
（1）完成下表：
汽车行驶路程 x /km 0 50 100 150 200 300
耗油量 y /L
0
6
12
18
24
36
探究2
耗油
耗油量= x
油箱中的油为什么会减少？
探究2
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
（3）你能写出油箱余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
余油量=原油量 -耗油量
余油量与什么有关？
探究2
汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L,行驶560km后,油箱就没有油了,所以x不会超过560km.y代表油箱剩余油量,所以y应该小于100但不能小于零.
想一想：这道题是实际问题，汽车能否一直开着？
什么时候汽车就不能动了呢？
思考
这些函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.
y = x + 60
y = 0.5 x + 3
y
k(常数)
x
=
b(常数）
+
思考
两个变量x，y间的关系可以表示成ｙ＝kx＋b（k，b为常数，k≠０）的形式，则称y是x的一次函数.
总结
一次函数的定义
一次函数的结构特征有哪些？
次数为1
取一切实数
y = k x (k≠0的常数)
比例系数
自变量
X的正比例函数
一次函数
正比例函数
当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，则称y是x的正比例函数
正比例函数是一种特殊的一次函数
思考
下列语句中,具有正比例函数关系的是( ).
A.长方形花坛的面积不变, 长y与宽 x 之间的
关系;
B.正方形的周长不变, 边长 x与面积 S 之间的
关系;
C.三角形的一条边不变, 这条边上的高h与S之间
的关系;
D.圆的面积为S , 半径为r , S 与r 之间的关系.
C
练习1
2、下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数.
B.正比例函数不是一次函数.
C.不是正比例函数就不是一次函数.
D.正比例函数是一次函数.
3、当m= _______ 时，函数y=xm+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
D
1或0
练习1
已知正比例函数y=-2x，写出下列集合中相对应的自变量x的值或函数y的值。
x
y
-4
-2
0
-2
-6
-10
…
…
8
4
0
1
3
5
练习 2
y
-2
-6
-10
…
8
4
0
自
变
量
的
值
分析
已知正比例函数y=-2x，写出下列集合中相对应的自变量x的值或函数y的值。
x
自
变
量
的
值
函
数
的
值
已知正比例函数y=-2x，写出下列集合中相对应的自变量x的值或函数y的值。
分析
自
变
量
的
值
函
数
的
值
代入解析式
已知正比例函数y=-2x，写出下列集合中相对应的自变量x的值或函数y的值。
分析
写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
y =60x
形如y=kx，所以是正比例函数，也是一次函数
探究3
由圆的面积公式，得 y=πx2
（2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
探究3
x的次数为2，所以y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
探究3
（3）某水池里有水15m3 ，先打开进水管进水，进水水速为5m3 /h，x 小时后，水池内有水ym3 .
形如y=kx+b，所以y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
y = 5x+15
下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
它是一次函数，不是正比例函数.
它不是一次函数，也不是正比例函数.
它是一次函数，也是正比例函数.
它不是一次函数，也不是正比例函数.
它是一次函数，也是正比例函数.
（1）y=-x-4
（2）y=5x2+6
（3）y=2πx
(5)y=-8x
(4)
练习3
我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8（元）
探究4
解:当月收入大于3500元而又小于5000元时,
y=(x－3500)×3%,
即y=0.03x－105；
（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y元与月收入x元之间的关系式；
解答
当x=4160时,
y=0.03×4160－105=19.8(元)；
（2）某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
解答
（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
因为(5000－3500)×3%=45(元)
19.2<45
所以此人本月工资、薪金收入低于5000。
设此人本月工资、薪金收入是x元，则
19.2=0.03x－105；
解得x=4140
即此人本月工资、薪金收入是4140元。
解答
一般形式
一次函数
正比例函数
注:正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数、正比例函数定义及一般形式？
小结
2. 甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式 ______________，s是t的________函数.
，当x=1时, y的值是（ ）
达标测试
一次
C
1. 函数y=2x-3
A、1 B、0 C、－1 D、－5
3.已知正比例函数y=2x中,
(1)若0< y <10,则x的取值范围为_________.
(2)若-6< x <10,则y的取值范围为_________.
2x
1
2
y
0< <10
-6< <10
0-124.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,
(1)此函数为一次函数；
(2)此函数为正比例函数.
解:(1)由题意得， k = 2-m≠0, m≠2,所以m≠2时, 此函数为一次函数.
(2)由题意, k = 2-m≠0, 解得，m≠2，
又因为b = 2m-3= 0, 解得，m=
所以当 m= 时,函数为正比例函数y= x.
5.某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元.
(1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x＞50)的函数关系式；
解: (1) 根据题意得:
有y=25+(x－50)×0.2 ,
即 y=0.2x+15;
(2)求出月通话150次的电话费；
(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.
(2) 当x=150时, y=0.2×150+15=45;
(3) 因为53.6 > 25,可知通话次数大于50次,即当y=53.6时, 53.6=0.2x+15,解得 x=193.
解:
1、已知函数 ,m为何值时，y是x的一次函数？
解：由题意可知
解得m=-3
∴当m=-3时， y是x的一次函数。
应用提高
2、已知y与x－3成正比例，且当x＝4时y＝3． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系； (3)求x＝2.5时，y的值．
解 (1) ∵ y与x－3成正比例,
∴设y＝k(x－3)．
又∵x＝4时，y＝3，
∴3＝ k(4－3)，解得k＝3，
∴ y＝3(x－3)＝3x－9．
(2) y是x的一次函数．
(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．
解：由x=2时y=-1,得 -1=2k+b；
由x=5时y=8,得 8=5k+b.
解二元一次方程组
得 k=3, b=-7.
∴ k的值为3, b的值为-7。
3、已知一次函数y=kx+b,当自变量x=2时，
函数值y=－1；当x=5时，y=8。求k、b的值。
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、什么是一次函数
3、学会区分一次函数与正比例函数。
2、什么是正比例函数。
布置作业
教材82页习题第3、4题。
