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矩形的性质和判定1
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
问题情境：
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
是平行四边形，且它们的四个角都相等，且都等于90度.
有一个角是直角平行四边形叫矩形．
平行四边形
有一个角是90度
矩形
∠A=90°
ABCD
四边形ABCD是矩形
与上图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？
探究一：
回顾：
①平行四边形的对边平行且相等.
②平行四边形的对角相等.
矩形是特殊的平行四边形，应该具有平行四边形所有的性质，请你回想一下，平行四边形的性质有哪些？
③平行四边形的对角线互相平分.
议一议：
观察下面的矩形，图中有哪些相等的角或者是线段，（除了平行四边形具有的）
①∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;②AC=BD
想一想：
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系，它是中心对称吗，对称中心是谁？
用矩形纸片折一折，回答下列问题：
矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对边垂直平分线，两条对称轴互相垂直.
也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
探究总结：
通过上面的活动，我们可以发现：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；；
2.矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是对边的垂直平分线
矩形还具有特殊的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等.
已知：如图，在矩形ABCD中，∠A=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D
结论论证：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=90° ，∠A=∠D=90°,∠C+∠B=90°
∵∠A=90
∴∠B=∠D=∠C=90°
∴∠A=∠B=∠C=∠D
已知：如图，矩形ABCD.求证：AC=BD.
结论论证：
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD.
在△ABC和△DCB中,
AB=DC
∵ ∠ABC= ∠DCB
BC=CB
∴ △ ABC≌△DCB(SAS)
∴ AC=BD.
矩形的特殊性质定理
探究归纳：：
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言:∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AC = BD
尝试应用
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
3.矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,
AB=4cm,则矩形的面积是 _______.
2.若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为 （ ）
A．22 B．26 C．22或26 D．28
A
C
4.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是________.
50°
第3题图
观察上图，完成下列问题：
AO=_____AC，BO=______BD呢？BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
探究二;
直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
AO= AC，BO= BD，BO是Rt△ABC的中线．
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线.
求证: BO = AC
结论证明：
证明: 延长BO至D,使OD=BO,
连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900
∴ ABCD是矩形
∴AC=BD
∴ BO= BD= AC
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
探究总结：
典例探究
例1 已知:矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点0, ∠AOB=60°, AB = 4cm,
求矩形对角线的长.
解：∵矩形ABCD
∴ AC=BD=2AO=2BO(矩形的对角线互相平分且相等)
又∵ ∠AOB=60°(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)
∴ △AOB为正三角形.
∴ AB=OA=OB=4cm
∴ AC=BD=2OB=2×4=8cm
尝试应用
1.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于_______ .
2.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE。
（1）求证：∠AEC=∠C；
（2）求证：BD=2AC；
尝试应用
证明：
（1）∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形，
又∵点E是BD的中点，
∴AE=BD，又∵BE=BD，
∴AE=BE，∴∠B=∠BAE，
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C；
（2）由（1）可得AE=AC，
又∵AE=BD，
∴BD=AC，
∴BD=2AC，
1.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A.对角线相等 B.四个角相等
C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
2如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=4.则OD的长是（ ）
A.1 B. C.2 D.
达标测评：
D
C
达标测评：
3.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°,那么∠DAE等于（ ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
A
B
达标测评：
5.如果矩形的周长是20 cm，相邻两边长之比为2∶3，那么矩形的对角线长为________cm.度数。
拓展提升：
如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．
解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，
则S△BEP+S△DEP=S△BED，即BE PF+DE PG =DE AB．
又∵BE=DE，∴DE PF+DE PG=DE AB，即DE(PF+PG)=DE AB，
∴PF+PG =AB．
体验收获
3.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．性质归纳：
（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形．
七、布置作业
习题1.4第3题，第4题。1.2矩形的性质和判定（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题
四边形ABCD是矩形，若已知AB=8㎝，AD=6㎝，则AC____㎝,OB=______ ㎝;
A．10cm, 5cm B．8cm, 6cm C．4cm, 3cm D．3cm,4cm
2.一个矩形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，且∠DOC＝120°，DC＝，则图中长度为1的线段共有( )21cnjy.com
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A．6 B．12 C． D．
5.如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．18° B．36° C．45° D．72°
二、填空题
6.矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20 ，则矩形的对角线为 _______，面积为__________.21·世纪*教育网
7.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,已知AC=8， ∠DOC=1200 ,则AD=______ , AB=________www-2-1-cnjy-com
8．矩形两条对角线夹角为60°，较短一边长为 ,则此矩形对角线长为_______.
如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝______.
三、简答题
10.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处.
（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；
（2）若AB＝6cm，AD＝10cm，求线段CE的长及△AEF的面积.
参考答案
选择题
A
【解析】因为ABCD是矩形，所以AC=BD,B0=BD,在RT△ABD中，
，AC=BD=10cm，B0=BD=5cm.答案选A
C
【解析】因为矩形的四个角都是90°，所以答案选C
D
【解析】因为ABCD是矩形，所以∠ADC＝90°AC=BD,B0=DO=AO=COBD,∠DOC＝120°，所以∠ACD＝30°在RT△ABD中，设AD=x,则AC=2x,， 解之得：x=1,则AD=BC=AO=BO=C0=DO=1答案选D21世纪教育网版权所有
4.A
【解析】设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE=CE=16﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
即82+x2=（16﹣x）2，
解得x=6，
∴AE=16﹣6=10，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=10，
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=8，
AH=BE=6，
∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，
在Rt△EFH中，EF= 故选：D．
5.C.
【解析】：如图
∵∠DAE：∠BAE=3：1，
∴∠BAE=22.5°，
∴∠ABE=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABE=67.5°
∴∠EAC=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°．
故答案为：C21教育网
.
二、填空题
6.10,48
【解析】因为ABCD是矩形，所以AC=BD,又因为F、G、H、E是各边的中点，所以EH=GH=FG=FE=AC,所以EFGH是菱形，因为其周长为20 ，所以边长为5，所以AC=10,在在Rt△ABC中，BC= ,所以
7.4
【解析】因为ABCD是矩形，所以AC=BD,B0=DO=AO=CO=AC=8=4,又因为∠DOC＝120°，所以∠AOD＝60°，所以△AOD是等边三角形，所以AD=AO=4
8.
【解析】因为ABCD是矩形，所以AC=BD,B0=DO=AO=CO=AC,因为∠AOD＝60°，△AOB是等边三角形，所以BO=AB=,所以BD=21·cn·jy·com
矩形两条对角线夹角为60°，较短一边长为 ,则此矩形对角线长为_______.
9. 4
【解析】
在△ABC中，AB=AC=8，所以△ABC是等腰三角形，又因为AD是底边上的高，所以AD⊥BC，在在△ADC中，∠ADC＝90°，E为AC的中点，所以DE=AC=8=4,
所以DE=4
三、解答题
10.解：（1）长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处
所以：AE垂直平分DF
AD=AF，∠DAE=∠DAF
又因为：
∠BAF=60°,∠BAD=90°
所以：
∠DAF=∠BAD-∠BAF=30°
∠DAE=∠DAF=15°www.21-cn-jy.com
在Rt△ABF中，,所以FC=BC-BF=10-8=2，在Rt△EFC中,设EF=x则CE=6-x，则解之得：x=,
所以
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教学目标：
一、知识与技能目标：
掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系；理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明.2·1·c·n·j·y
二、过程与方法目标：
经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法.
三、情感态度与价值观目标：
培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．
重点：掌握矩形的性质，并学会应用
难点：理解矩形的特殊性．
教学流程：
情景创设：
下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
二、新知探究
探究一：
与上图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？
定义：有一个角是直角平行四边形叫矩形．
几何语言 ： ∠A=90°
四边形ABCD是矩形
ABCD
回顾：矩形是特殊的平行四边形，应该具有平行四边形所有的性质，请你回想一下，平行四边形的性质有哪些？
①平行四边形的对边平行且相等.
②平行四边形的对角相等.
③平行四边形的对角线互相平分.
议一议：
用矩形纸片折一折，回答下列问题：
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对边垂直平分线，两条对称轴互相垂直.
想一想：
观察下面的矩形，图中有哪些相等的角或者是线段，（除了平行四边形具有的）
①∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;②AC=BD
总结：
通过上面的探究活动，我们可以发现：
矩形具有平行四边形的所有性质；
矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是对边的垂直平分线；
矩形还具有特殊的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等.
下面我们证明矩形特有的结论.
已知：如图，在矩形ABCD中，∠A=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=90° ，∠A=∠D=90°,∠C+∠B=90°
∵∠A=90°
∴∠B=∠D=∠C=90°
∴∠A=∠B=∠C=∠D
已知：如图，矩形ABCD.求证：AC=BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD.
在△ABC和△DCB中,
AB=DC
∵ ∠ABC= ∠DCB
BC=CB
∴ △ ABC≌△DCB(SAS)
∴ AC=BD.
探究归纳：
矩形的特殊性质定理
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言:∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AC = BD
尝试应用
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为 （ ）
A．22 B．26 C．22或26 D．28
3.矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4cm,则矩形的面积是 _____. www.21-cn-jy.com
4.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是 ____ .
探究二;
观察上图，完成下列问题：
AO=_____AC，BO=______BD呢？BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？【来源：21·世纪·教育·网】
AO=AC，BO=BD，BO是Rt△ABC的中线．
由此归纳直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
我们来证明：
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线.
求证: BO = AC
证明: 延长BO至D,使OD=BO,
连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900
∴ ABCD是矩形
∴AC=BD
∴ BO=BD=AC
推论: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三、典例探究：
例1 已知:矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点0, ∠AOB=60°, AB = 4cm,
求矩形对角线的长.
解：∵矩形ABCD
∴ AC=BD=2AO=2BO(矩形的对角线互相平分且相等)
又∵ ∠AOB=60°(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)
∴ △AOB为正三角形.
∴ AB=OA=OB=4cm
∴ AC=BD=2OB=2×4=8cm
尝试应用
1.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于
2.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE。
（1）求证：∠AEC=∠C；
（2）求证：BD=2AC；
证明：
（1）∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形，
又∵点E是BD的中点，
∴AE=BD，又∵BE=BD，
∴AE=BE，∴∠B=∠BAE，
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C；
（2）由（1）可得AE=AC，
又∵AE=BD，
∴BD=AC，
∴BD=2AC，
达标测评
1.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A.对角线相等 B.四个角相等
C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
2如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=4.则OD的长是（ ）
A.1 B. C.2 D.
如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°,那么∠DAE等于（ ）21世纪教育网版权所有
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )21教育网
A．30° B．60° C．90° D．120°
5.如果矩形的周长是20 cm，相邻两边长之比为2∶3，那么矩形的对角线长为________cm.
拓展提升
如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．
解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，
则S△BEP+S△DEP=S△BED，即BE PF+DE PG =DE AB．
又∵BE=DE，∴DE PF+DE PG=DE AB，即DE(PF+PG)=DE AB，
∴PF+PG =AB．21cnjy.com
七、体验收获
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．21·cn·jy·com
2．性质归纳：
（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形．
3.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
八、布置作业
习题1.4第3题，第4题。
有一个角是直角
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