(共21张PPT)
正方形
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
复习导入：
1.平行四边形的性 质有：边 _________;角___________;对角线____________;
2.菱形特有的性质有________________________;
3.矩形特有的性质有___________________________.
平行且相等
对角相等，邻角互补
互相平分
四条边相等；对角线互相垂直，且平分每一组对角
四个角是直角；对角线相等
下图中的四边形都是特殊的平行四边形。观察这些特殊的平行四边形你能发现它们有什么样的共同特征？
情景创设：
观察结论：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
探究一：
正方形是矩形吗？菱形吗
正方形既是矩形，邻边相等的矩形；又是菱形，一个角是直角的菱形
议一议：
正方形是轴对称图形，它有几条对称轴？
正方形是中心对称图形，它对称中心在哪里？
有四条对称轴：直线EF、HG、AC、BD
对称中心是：点O
探究一：
根据讨论，我们可以得到：
因此我们得到：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
探究二：
思考：平行四边形，矩形，菱形，正方形，在小组里交流.
你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流
探究二：
它具有矩形和菱形的所有性质:
通过上面的探究活动，于是我们得到了正方形的两条定理一个结论：
探究总结：
定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 ;
定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分．
一个结论：正方形即是轴对称图形也是中心对称对称图形，它有4条对称轴，一个对称中心。
探究证明：
定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 ;
已知：四边形ABCD是正方形
求证:AB=BC=CD=AD ∠A=∠B=∠C=∠D
证明:四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD ，∠A=900 ，四边形ABCD平行四边形
∴AB=CD AD=BC ∠A=∠C ,∠B=∠D
∴AB=BC=CD=AD ,∵∠A=∠D=900
∴∠A=∠B=∠C=∠D
探究证明：
定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分．
已知：四边形ABCD是正方形
求证:AC=BD,AC BD,OA=OC,OB=OD.
证明:四边形ABCD是正方形,
∴OB=OD ，OA=OC
∵AB= AD ∴CA BD ,∵∠BAD=900
∴AO=OD=OB=OC
∴AC=BD
∴正方形的对角线相等且互相垂直平分
如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
典例探究：
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°
（1） ∵四边形ABCD是正方形.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
∴∠BCE=∠DCF
又∵CE=CF
∴△BCE≌△DCF
∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M
典例探究：
∵△BCE≌△DCF
∴∠CBE=∠CDF
∵∠DCF=90°
∴∠CDF+∠F=90°
∴∠CBE+∠F=90°
∴∠BMF=90°
∴BE⊥DF
尝试应用
1.AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE,EF垂直AC交BC 于F,求证EC=EF=FB
证明：在Rt△AEF和Rt△ABF中，
AE＝AB
AF＝AF，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE=FB．∵正方形ABCD，
∴∠ACB=45°，
在Rt△CEF中，∵∠ACB=45°，
∴∠CFE=45°，∴∠ACB=∠CFE，
∴EC=EF，
∴FB=EC．
尝试应用：
2.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：AE=FC+EF．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，
又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，
∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，
∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF．
达标测试;
1.正方形对角线长6，则它的面积为_________ ,周长为________．
2如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝_______.
3.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是______.
18
22.50
达标测试：
4.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为___cm2.
5. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____．
8_
6
在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.
求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.
拓展提升
证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，
BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，
即∠BCH＝∠DCE，
∴△BCH≌△DCE，
∴BH＝DE
拓展提升：
(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，
∴∠DMB＝∠BCD＝90°，
∴BH⊥DE
体验收获：
正方形形的定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形的性质：
平行四边形，菱形，矩形的性质，正方形都具有。
七、布置作业
教材P22习题1.7第1、2、3题1.3正方形的性质和判定（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题
1.正方形的边和对角线构成的等腰直角三角形共有（ ）
A、4个 B、6个 C、8个 D、10个
2.如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）2·1·c·n·j·y
A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙
3．如图，在正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于E 点，则∠BEC＝( )
A．45° B．60° C．70° D．75°
4.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．30 B．34 C．36 D．40
5.如图，在正方形ABCD中，∠DAE＝25°，AE交对角线BD于E点，
那么∠BEC等于（ ）
A、45° B、60° C、70° D、75°
二、填空题
6.如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_________．21·世纪*教育网
7.正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为______________．
8．如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE是等边三角形，那么∠DCE＝________，如果DE的延长线交BC于G，则∠BEG＝_______________.
9. 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为__________．
三、简答题
10.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE=∠CDF．
（1）求证：AE=CF；
（2）连结DB交CF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．21·cn·jy·com
11.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．www-2-1-cnjy-com
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．21世纪教育网版权所有
参考答案
一、选择题
1. C
【解析】因为正方形的对角线互相垂直，共有8个直角三角形，所以答案选C
2.B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，
甲行走的距离是AB+BF+CF=AB+BC=2AB；
乙行走的距离是AF+EF+EC+CD；
丙行走的距离是AF+FC+CD，
∵∠B=∠ECF=90°，
∴AF＞AB，EF＞CF，
∴AF+FC+CD＞2AB，AF+FC+CD＜AF+EF+EC+CD，
∴甲比丙先到，丙比乙先到，
即顺序是甲丙乙，
3.C
【解析】延长CE至G，连接AC交BD于点O，
在正方形ABCD中，因为BD为AC的垂直平分线，且E为BD上一点，
EA=EC，∴∠EAO=∠ECO，
又∵∠DAO=∠DCO，∴∠DCE=∠DAF
∵∠DCB=90°，∴∠ECB=90°-25°=65°．
∴∠BEC=180°-∠ECB-∠EBC=180°-45°-65°=70°．
故答案为70°．21教育网
4.B
【解析】由题意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4××5×3＝30cm2，而正方形ABCD的面积为64cm2，所以四边形EFGH的面积是34cm2，选B．21cnjy.com
故选：B．
5.C
【解析】在△AEB和△CEB中
∵AB=BC ,BE=BE
∠ABE=∠CBE=45°
∴△AEB≌△CE
∠AEB=∠BEC
∵∠DAF=25°∠BAE=65°
∴∠AEB=∠BEC180°-∠ABE-∠BAE=180°-45°-65°=70°www.21-cn-jy.com
二、填空题
6. 5
【解析】过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE===5，
故答案为：5．
7.Bn的坐标是(2n-1, 2n-1)
【解析】A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
根据题意得： b=1，k+b=2，
解得： b=1，k=1．
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；
则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；
据此可以得到An的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1．
由图知，An的纵坐标与Bn的纵坐标相等，
B3的横坐标为1+2+4=7
∴Bn的横坐标为2n-1
则Bn的坐标是(2n-1, 2n-1)2-1-c-n-j-y
8.∠EDC=150
【解析】因为四边形ABCD是正方形
所以∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠BCD=900
AB=BC=AD
因为△ABE是等边三角形
所以AB=AE=BE
∠BAE=∠ABE=600
因为∠BAE+∠DAE=900
所以∠DAE=300
AE=AD
所以∠ADE=∠AED
因为∠ADE+∠AED+vDAE=1800
所以∠ADE=750
因为∠ADE+∠EDC=∠ADC=900
所以∠EDC=150【来源：21cnj*y.co*m】
9.
【解析】∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴。
同理
∴。
三、解答题
10.（（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，
在△ADE和△CDF中，【出处：21教育名师】
∠ADE＝∠CDF
AD＝CD
∠A＝∠C＝90°，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF；
（2）四边形DEGF是菱形．
理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB-AE=BC-CF，
即BE=BF，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴BD垂直平分EF，
又∵OG=OD，
∴四边形DEGF是菱形．21*cnjy*com
11. （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
A
B
C
D
E
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网课题： 1.3正方形的性质与判定（1）
教学目标：
一、知识与技能目标：
1、理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．
2、掌握正方形的有关性质．
3、能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题．.
二、过程与方法目标：
1、通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，发展学生的合情推理能力，进一步提高学生逻辑思维能力．
2、通过四边形从属关系的教学，渗透集合思想．
三、情感态度与价值观目标：
1、经历探索正方形有关性质的过程，培养学生动手操作的能力、主动探究的习惯和合作交流的意识．
2、通过理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证观点
重点：正方形的定义和性质
难点：利用正方形的性质解决相关的题目．
教学流程：
复习导入
平行四边形的性质有：边___________;角_______________;对角线________________;
2.菱形特有的性质有____________________________________________________;
3.矩形特有的性质有_________________________________________________________.
情景创设：
下图中的四边形都是特殊的平行四边形。观察这些特殊的平行四边形你能发现它们有什么样的共同特征？
观察结论：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
探究一
议一议：
正方形是矩形吗？菱形吗
正方形既是矩形，邻边相等的矩形；又是菱形，一个角是直角的菱形；
正方形是轴对称图形，它有几条对称轴？
正方形是中心对称图形，它对称中心在哪里？
有四条对称轴：直线EF、HG、AC、BD
对称中心是：点O
根据讨论，我们可以得到：
因此我们得到：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
探究二：
思考：平行四边形，矩形，菱形，正方形有怎样的关系？
在小组里交流.
你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流。
它具有矩形和菱形的所有性质:
探究总结：
通过上面的探究活动，于是我们得到了正方形的两条定理一个结论：
定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 ;
定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分．
一个结论：正方形即是轴对称图形也是中心对称对称图形，它有4条对称轴，一个对称中心。
探究证明：
定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 ;
已知：四边形ABCD是正方形
求证:AB=BC=CD=AD ∠A=∠B=∠C=∠D
证明:四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD ，∠A=900 ，四边形ABCD平行四边形
∴AB=CD AD=BC ∠A=∠C ,∠B=∠D
∴AB=BC=CD=AD ,∵∠A=∠D=900
∴∠A=∠B=∠C=∠D
2.定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分．
已知：四边形ABCD是正方形
求证:AC=BD,AC BD,OA=OC,OB=OD.
证明:四边形ABCD是正方形,
∴OB=OD ，OA=OC
∵AB= AD ∴CA BD ,∵∠BAD=900
∴AO=OD=OB=OC
∴AC=BD
∴正方形的对角线相等且互相垂直平分
三、典例探究：
如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.21世纪教育网版权所有
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1） ∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°
∴∠BCE=∠DCF
又∵CE=CF
∴△BCE≌△DCF
∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M
∵△BCE≌△DCF
∴∠CBE=∠CDF
∵∠DCF=90°
∴∠CDF+∠F=90°
∴∠CBE+∠F=90°
∴∠BMF=90°
∴BE⊥DF
尝试应用
1.AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE,EF垂直AC交BC 于F,求证EC=EF=FB21教育网
证明：在Rt△AEF和Rt△ABF中，
AE＝AB
AF＝AF，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE=FB．∵正方形ABCD，
∴∠ACB=45°，
在Rt△CEF中，∵∠ACB=45°，
∴∠CFE=45°，∴∠ACB=∠CFE，
∴EC=EF，
∴FB=EC．
如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：AE=FC+EF．21cnjy.com
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，
又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，
∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，
∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF．
达标测评
1.正方形对角线长6，则它的面积为_________ ,周长为________．
2如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝( B )2·1·c·n·j·y
B．2 C．2 D．1
3.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是
4.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为__8__cm2.
5. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．21·cn·jy·com
拓展提升
在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.
求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.
证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE，∴△BCH≌△DCE，∴BH＝DEwww.21-cn-jy.com
(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，∴∠DMB＝∠BCD＝90°，∴BH⊥DE
七、体验收获
正方形形的定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形的性质：
平行四边形，菱形，矩形的性质，正方形都具有。
八、布置作业
教材P22习题1.7第1、2、3题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网
