课题：2.3 用公式法求解一元二次方程(一)
教学目标：
一、知识与技能目标：
①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。www-2-1-cnjy-com
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.熟悉证明的基本步骤和书写格式。21世纪教育网版权所有
二、过程与方法目标：
通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
情感态度与价值观目标：
通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力。2-1-c-n-j-y
重点：能正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程。
难点：求根公式的推导过程。
教学流程：
导入新课
1、说说下列关于x的方程中各项系数.
系数名称
二次项系数
一次项系数
常数项
2、按配方法步骤解下列方程
步骤
1.化
2.移项
3.配方
4.开方
新课讲解
探究1
1、公式的推导
把 进一步计算你发现了什么？
关于x的方程的解是由方程各项的系数的代数式组成的。
试一试
如果把 中的a,b,c 用
3，-9，2来代替，你会发现什么呢？
与用配方法求的方程的结果是一样！
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
老师提示:
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
探究理解
你能用配方法解方程 3x2+2x+1=0吗
【解析】
∴原方程无解．
例题
用求根公式法解一元二次方程
(1) （2）
【例3】解方程：（x-2)(1-3x)=6
3、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，并写出a、c的值;
（2）求出b2-4ac的值; 特别注意:当b2-4ac时无解;
（3）代入求根公式 :
（4）写出方程的解：x1;x2
4、根的判别式
（1）当b2-4ac〉0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2-4ac〈0时，方程没有实数根。
所以b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“”来表示.
即：
探究2
在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计方案吗 21教育网
1、我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,我得到小路的宽为2m或12m. 你认为小明的结果对吗 为什么 21cnjy.com
2、我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相同你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是多少吗 21·cn·jy·com
3、我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等. 你能通过解方程,帮我得到小路的宽x是多少吗 2·1·c·n·j·y
典题精讲
如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.21·世纪*教育网
四、课堂练习
用公式法解下列方程
（1）x2-7x-18=0． （2）
五、课堂小结
在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？
1、一元二次方程当时了ax2+bx+c=0(a≠0)方程的根为:
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤；
3、根的判别式
4、一元二次方程的在生活中应用----方案设计问题。
课堂拓展
如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．www.21-cn-jy.com
七、达标测评
1、已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0
（1）当m=8时，判断方程的根的情况；
（2）当m=-8时，求方程的根．
2、解下列方程:
(1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x （2）4x（x-1)+3=0
(3)(x+1)(3x-5)=1 (4)25x2+20x+4=0
4、在一块长为16m，宽为12m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积是荒地面积的一半．如图是甲、乙两位同学的设计方案，请分别求出两种方案中小路的宽度．
（甲方案）在荒地四周修建等宽的小路；
（乙方案）在荒地中间修建等宽的“十字型”小路。【来源：21·世纪·教育·网】
七、布置作业
教材43页习题2.5第1、2题。。
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精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网《2.3 用公式法求解一元二次方程(一)》练习
一、基础过关
1．用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=
2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（ ）
A．这个方程是一元二次方程
B．方程的解是
C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式
D．这个方程可以用公式法求解
3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）21教育网
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=0
4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
6．到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困难学生450元，2013年发放的金额为625元．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）21cnjy.com
A．450（1+x）2=625 B．450（1+x）=625
C．450（1+2x）=625 D．625（1+x）2=450
二、综合训练
7．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为 ．
8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为 ．21·cn·jy·com
9．根的判别式内容：
△=b2﹣4ac＞0 一元二次方程 ；
△=b2﹣4ac=0 一元二次方程 ；
此时方程的两个根为x1=x2= ．
△=b2﹣4ac＜0 一元二次方程 ．
△=b2﹣4ac≥0 一元二次方程 ．
10．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为 ．
11．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程： ．
12．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：b= ．www.21-cn-jy.com
三、拓展应用
13．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．2·1·c·n·j·y
14．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽．【来源：21·世纪·教育·网】
15．已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．
16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
17．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积= ；
（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．
18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．21世纪教育网版权所有
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
参考答案
一、基础过关
1．D
解：方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，
这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，
∵△=144+48=192，
∴x==，
故选：D．
2．B
解：A、这个方程是一元二次方程，正确；
B、方程的解是x=±，错误；
C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；
D、这个方程可以用公式法求解，正确；
故选：B．
3．C
解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x-1）（x-2）=18，
故选C．
4．B
解：在方程x2﹣4x+4=0中，
△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选B．
5．B
解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
6．A．
解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，
则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x）2元，21·世纪*教育网
由题意，得：450（1+x）2=625．
故选A．
二、综合训练
7．答案为：0
解：∵x=（b2﹣4c＞0），
∴x2+bx+c
=（）2+b+c
=++c
=
=
=0．
故答案为：0．
8．答案为：（100-x）（80-x）=7644
解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100-x）（80-x）=7644，
故答案为：（100-x）（80-x）=7644
9．答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．
解：△=b2﹣4ac＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根；
△=b2﹣4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数根；
此时方程的两个根为x1=x2=﹣．
△=b2﹣4ac＜0 一元二次方程无解．
△=b2﹣4ac≥0 一元二次方程有实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．
10．答案为：﹣1或2．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．
故答案为：﹣1或2．
11．答案为：x2-35x+34=0．
解：设小道进出口的宽度为xm，
根据题意，得：30×20-20×2x-30x+2x x=532，
整理，得：x2-35x+34=0．
故答案为：x2-35x+34=0．
12．答案为3．
解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣8＞0，
∴b＞2或b＜﹣2，
∴b为3，4，5等等，
∴b为3（答案不唯一）．
故答案为3．
三、拓展应用
13．解：如方程x2+5x+6=0，
（x+2）（x+3）=0，
∴x1=﹣2，x2=﹣3，
小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．
则x==，
x=2和x=3，
这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，
故小红的结论是错误的．
14．解：设道路的宽为x米，则可列方程：
x（12-4x）+x（20-4x）+16x2= ×20×12，
即：x2+4x-5=0，
解得：x1=l，x2=-5（舍去）．
答：道路的宽为1米
15．解：∵+|b+1|+（c+3）2=0，
∴a=1，b=﹣1，c=﹣3，
原方程为x2﹣x﹣3=0，
这里a=1，b=﹣1，c=﹣3，
∴x=．
16．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，
得：1+m+m﹣2=0，
解得：m=；
（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
17．解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40-2×10）（60-2×10）=800（平方米）．
故答案为：800；
（2）根据题意得：
60×40-（40-2a）（60-2a）=×60×40，
解得：a1=5，a2=45（舍去）．
答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．
18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
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2.3 用公式法求解一元二次方程
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
导入新课
系数名称
二次项系数
一次项系数
常数项
说说下列关于x的方程中各项系数.
1、知识回顾
3
a
-9
b
2
c
导入新课
按配方法步骤解下列方程.
步骤
1.化
2.移项
3.配方
4.开方
探究1
把 进一步计算你发现了什么？
关于x的方程的解是由方程 各项的系数的代数式组成的。
探究1
如果把 中的a,b,c 用
3，-9，2来代替，你会发现什么呢？
与用配方法求的方程的结果是一样！
试一试
或
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
老师提示:
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
探究1
你能用配方法解方程 3x2+2x+1=0吗
∴原方程无解．
【解析】
∵
探究1
当b2-4ac＜0时，原方程无解．
用求根公式法解一元二次方程
1、
2、
解：
∴
，
∴
，
∴
∵
例题精讲
2、
解：
∴
把原方程化成一般形式，得：
∴
∵
例题精讲
【例3】解方程：（x-2)(1-3x)=6．
这里 a=3, b=-7, c=8.
∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0,
∴原方程没有实数根.
【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0
3x2-7x+8=0
例题精讲
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
3、代入求根公式 :
2、求出 的值，
1、把方程化成一般形式，并写出 的值.
4、写出方程的解：
特别注意:当 时无解;
总结
（ ）
对于一元二次方程：
①当 时，方程有两个不相等的实数根；
②当 时，方程有两个相等的实数根；
③当 时，方程没有实数根。
所以 叫做一元二次方程
的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示.
即：
总结
1、x2-7x-18=0．
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
即：x1=9, x2= -2．
用公式法解下列方程
牛刀小试
2、
解：化简为一般式得
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac= - 4×4×1=0,
即：x1= x2=
用公式法解下列方程
牛刀小试
探究2
在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
你能给出设计方案吗
16m
12m
探究2
我—小明,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,我得到小路的宽为2m或12m.
你认为小明的结果对吗 为什么
16m
12m
你能将小明解答的过程重现吗
老师提示:在检验时,方程的根一定要符合问题的实际意义.否则,舍去.
探究2
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相同你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是多少吗
我—小亮,我的设计我做主！
16m
12m
xm
探究2
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.
我—小颖 ,我的设计我做主！
你能通过解方程,帮我得到小路的宽x是多少吗
16m
12m
xm
xm
典题精讲
如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.
典题精讲
解：设AB为xm，则BC为（50-2x）m， 根据题意得方程：x（50-2x）=300， 2x2-50x+300=0，
解得；x1=10，x2=15，
当x1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去）， 当x2=15时50-2x=20＜25（符合题意）． 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米
在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？
课堂小结
1、一元二次方程当时了 方程的根为:
3、根的判别式
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤；
4、一元二次方程的在生活中应用----方案设计问题。
课堂拓展
如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
课堂拓展
（1）设通道的宽度为x米，则a= .
（用含x的代数式表示）； （2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？
解：设通道的宽度为x米，则a=
根据题意得，
解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．
答：中间通道的宽度为2米
1、已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0
（1）当m=8时，判断方程的根的情况； （2）当m=-8时，求方程的根．
解：（1）当m=8时，b2-4ac=22-4×1×8=4-32=-28＜0，
∴原方程没有实数根．
达标测评
（2）当m=-8时，原方程为x2+2x-8=0，
即（x-2）（x+4）=0， ∴x1=2，x2=-4
2、解下列方程:
(1) x2-2x－8＝0；
(2) 9x2＋6x＝8；
(3) (2x-1)(x-2) =-1;
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x （2）4x（x-1)+3=0
(3)(x+1)(3x-5)=1 (4)25x2+20x+4=0
两个不相等的实数根
无实数根
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
达标测评
4、在一块长为16m，宽为12m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园的占地面积是荒地面积的一半．如图是甲、乙两位同学的设计方案，请分别求出两种方案中小路的宽度． （甲方案）在荒地四周修建等宽的小路； （乙方案）在荒地中间修建等宽的“十字型”小路。
达标测评
达标测评
解：（甲方案）设小路宽xm，则得方程
（16-2x）（12-2x）= ×16×12， 解得：x1=2，x2=12， 而矩形的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不合题意； 故甲方案设计图中的道路的宽为2米．
1
2
达标测评
1
2
（乙方案）设小路宽ym，则得方程
（16-y）（12-y）= ×16×12， 解得：y1=4，y2=24， 而矩形的宽为12m，所以小路宽为24m不合题意；故乙方案设计图中的道路的宽为4米．
教材43页习题2.5第1、2题。
布置作业
