安徽省2017届高三（上）10月联考数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年安徽省高三（上）10月联考数学试卷（理科）
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）
1．已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣1，x∈R}，B={y|y=x+，x∈R且x≠0}，则（ RB）∩A=（　　）
A．（﹣2，2]
B．[﹣2，2）
C．[﹣2，+∞）
D．（﹣2，2）
2．在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．下列推理过程是演绎推理的是（　　）
A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人
C．两条直线平行，同位角相等；若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A=∠B
D．在数列{an}中，a1=2，an=2an﹣1+1（n≥2），由此归纳出{an}的通项公式
4．设a=log10072014，b=log10082016，c=log10092018，则（　　）
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．a＞c＞b
D．a＞b＞c
5．设动点P（x，y）满足，则z=5x+2y的最大值是（　　）
A．50
B．60
C．70
D．100
6．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且am=bm=16，am+4=bm+4，m∈N
，则下列大小关系正确的是（　　）
A．am+1＜am+2
B．am+1＞bm+2
C．bm+2＜am+2
D．bm+1＞bm+2
7．已知函数y=sinx+acosx的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（　　）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=π
8．在整数Z中，被7除所得余数为r的所有整数组成的一个“类”，记作[r]，即[r]={7k+r|k∈Z}，其中r=0，1，2，…6．给出如下五个结论：
①2016∈[1]；
②﹣3∈[4]；
③[3]∩[6]= ；
④z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]∪[6]；
⑤“整数a，b属于同一“类””的充要条件是“a﹣b∈[0]．”
其中，正确结论的个数是（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
9．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．2
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，又I为△ABC的内心，且b﹣c=4，b+c﹣a=6，则×=（　　）
A．6
B．8
C．12
D．16
11．如图，网格纸上小正方形变长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体体积为（　　）
A．
B．
C．8
D．
12．奇函数f（x）定义域是（﹣1，0）∪（0，1），f（）=0，当x＞0时，总有（﹣x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．使得二项式（3x+）n的展开式中含有常数项的最小的n为　　．
14．国庆节放假，2个三口之家结伴乘火车外出，每人均实名购票，上车后随意坐所购票的6个座位，则恰好有2人是对号入座（座位号与自己车票相符）的坐法有　　种？（用具体数字作答）
15．已知函数f（x）=，则f
17．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）=，a=1，求△ABC的面积的最大值．
18．随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图．
分组（单位：岁）
频数
频率
[20，25）
5
0.05
[25，30）
20
0.20
[30，35）
①
0.350
[35，40）
30
②
[40，45]
10
0.10
合计
100
1.000
（I）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名市民的平均年龄；
（II）在抽出的100名中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30，40）的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[30，35）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，
=．
（I）证明：CB1∥平面A1EM；
（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．
20．数列{an}中，a1=3，an+1=2an+2．
（I）求证：{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（II）设bn=，求Sn=b1+b2+…+bn，并证明： n∈N
，≤Sn＜．
21．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．
22．已知函数．
（Ⅰ）若函数g（x）=ex在x=0处的切线也是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在直线x﹣y+1=0的下方，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若x1，x2∈（，），且x1≠x2，判断与a2x1x2的大小关系，并说明理由．
注：题目中e=2.71828…是自然对数的底数．
　
2016-2017学年安徽省高三（上）10月联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）
1．已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣1，x∈R}，B={y|y=x+，x∈R且x≠0}，则（ RB）∩A=（　　）
A．（﹣2，2]
B．[﹣2，2）
C．[﹣2，+∞）
D．（﹣2，2）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出集合A中二次函数的值域，确定出集合A，当x大于0时，利用基本不等式求出集合B中函数的值域；当x小于0时，﹣x大于0，同理利用基本不等式求出函数的值域，综上，求出两解集的并集确定出集合B，根据全集为R，求出集合B的补集得到CRB，然后找出CRB与集合A的公共部分即可得到所求的集合．
【解答】解：由集合A中的函数y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2≥﹣2，
∴集合A=[﹣2，+∞），
由集合B中的函数y=x+，
当x＞0时，x+≥2；
当x＜0时，﹣x＞0，﹣（x+）=（﹣x）+（﹣）≥2，此时x+≤﹣2，
综上，集合B=（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），又全集为R，
∴CRB=（﹣2，2），
则（CRB）∩A=（﹣2，2）．
故选D
　
2．在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z===的共轭复数对应的点位于第三象限．
故选：C．
　
3．下列推理过程是演绎推理的是（　　）
A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人
C．两条直线平行，同位角相等；若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A=∠B
D．在数列{an}中，a1=2，an=2an﹣1+1（n≥2），由此归纳出{an}的通项公式
【考点】演绎推理的基本方法．
【分析】根据三种推理的定义及特点，逐一分析四个答案中的推理过程，可得结论．
【解答】解：A中，由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理；
B中，某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人，是归纳推理；
C中，两条直线平行，同位角相等；若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A=∠B，是演绎推理；
D中，在数列{an}中，a1=2，an=2an﹣1+1（n≥2），由此归纳出{an}的通项公式，是归纳推理．
故选：C
　
4．设a=log10072014，b=log10082016，c=log10092018，则（　　）
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．a＞c＞b
D．a＞b＞c
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log10072，log10082，log10092大小即可．
【解答】解：因为a=log10072014=1+log10072，b=log10082016=1+log10082，c=log10092018=1+log10092，
因为y=log2x是增函数，所以log21009＞log21008＞log21007，
∵log21009=，log21008=，log21007=
所以log10072＞log10082＞log10092，
所以a＞b＞c，
故选：D．
　
5．设动点P（x，y）满足，则z=5x+2y的最大值是（　　）
A．50
B．60
C．70
D．100
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合求出z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABCO）．
由z=5x+2y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，
由图象可知当直线y=﹣x+经过点C（20，0）时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大．
代入目标函数z=5x+2y得z=5×20=100．
即目标函数z=5x+2y的最大值为100．
故选：D．
　
6．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且am=bm=16，am+4=bm+4，m∈N
，则下列大小关系正确的是（　　）
A．am+1＜am+2
B．am+1＞bm+2
C．bm+2＜am+2
D．bm+1＞bm+2
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】根据等差数列、等比数列的性质得到am+am+4=bm+4+bm 2am+2≥2即可判定．
【解答】解：∵am=bm=16，am+4=bm+4 am+am+4=bm+4+bm
2am+2≥2 bm+2＜am+2．
故选：C．
　
7．已知函数y=sinx+acosx的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（　　）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=π
【考点】正弦函数的对称性．
【分析】函数y=sinx+acosx变为y=sin（x+ ），tan =a又图象关于对称，
+ =kπ+，k∈z，可求得 =kπ﹣，由此可求得a=tan =tan（kπ﹣）=﹣，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．
【解答】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+ ），（令tan =a）又
图象关于对称，
∴+ =kπ+，k∈z，可求得 =kπ﹣，
由此可求得a=tan =tan（kπ﹣）=﹣，
∴函数y=﹣sinx+cosx=sin（x+θ），（tanθ=﹣）
其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，
即x=kπ+﹣θ
又tanθ=﹣，故θ=k1π﹣，k1∈z
故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k﹣k1）π++=（k﹣k1）π+，k﹣k1∈z，
当k﹣k1=1时，对称轴方程为x=
故选A．
　
8．在整数Z中，被7除所得余数为r的所有整数组成的一个“类”，记作[r]，即[r]={7k+r|k∈Z}，其中r=0，1，2，…6．给出如下五个结论：
①2016∈[1]；
②﹣3∈[4]；
③[3]∩[6]= ；
④z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]∪[6]；
⑤“整数a，b属于同一“类””的充要条件是“a﹣b∈[0]．”
其中，正确结论的个数是（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
【考点】整除的定义．
【分析】根据“类”的定义分别进行判断即可．
【解答】解：①∵2016÷7=288，∴2016∈[0]，故①不正确；
②∵﹣3=7×（﹣1）+4，∴﹣3∈[4]，故②正确；
③[3]∩[6]= ，正确
④∵整数集中的数被7除的数可以且只可以分成7类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]∪[6]，故④正确；
⑤∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，
反之也成立，故当且仅当“a﹣b∈[0]”整数a，b属于同一“类”．故⑤正确．
正确的结论为②③④⑤．
故选：B．
　
9．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，
可得F到渐近线的距离为=b，
即有圆F的半径为b，
令x=c，可得y=±b=±，
由题意可得=b，
即a=b，c==a，
即离心率e==，
故选C．
　
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，又I为△ABC的内心，且b﹣c=4，b+c﹣a=6，则×=（　　）
A．6
B．8
C．12
D．16
【考点】正弦定理．
【分析】设AD=x，BD=y，CE=z，则，解得x==3．由，可得=||（b﹣c）即可得解．
【解答】解：设AD=x，BD=y，CE=z，
则，解得x==3，
如图所示，
∵，
∴=（）=﹣　　
=||b﹣||c
=||（b﹣c）
=3×4
=12．
故选：C．
　
11．如图，网格纸上小正方形变长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体体积为（　　）
A．
B．
C．8
D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该多面体是一个四棱锥，画出真直观图，进而可得体积．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该多面体是一个四棱锥，
其直观图如下图所示：
其体积相等于正方休体积一半的三分之二；
故V==，
故选：A．
　
12．奇函数f（x）定义域是（﹣1，0）∪（0，1），f（）=0，当x＞0时，总有（﹣x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】把已知条件（﹣x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）变形为f′（x）ln（1﹣x2）﹣＞0，可想到构造函数g（x）=f（x）ln（1﹣x2）并判断其单调性，结合f（）=f（﹣）=0，得g（）=g（﹣）=0，由单调性可得，在（﹣1，），（0，）上，g（x）＜0，而ln（1﹣x2）＜0，则f（x）＞0成立，答案可求．
【解答】解：∵当x＞0时，总有（﹣x）f′（x）ln（1﹣x2）＞2f（x）成立，即f′（x）ln（1﹣x2）＞成立，也就是f′（x）ln（1﹣x2）﹣＞0成立，
又∵ln（1﹣x2）=ln（1﹣x）+ln（1+x），
∴，即[f（x）ln（1﹣x2）]′＞0恒成立，
可知函数g（x）=f（x）ln（1﹣x2）在（0，1）上单调递增，
∵f（x）是奇函数，∴g（x）=f（x）ln（1﹣x2）是奇函数，则在（﹣1，0）上单调递增，
又f（）=f（﹣）=0，∴g（）=f（﹣）=0，
∴g（x）的图象如下：
在（﹣1，），（0，）上，g（x）＜0，而ln（1﹣x2）＜0，∴f（x）＞0成立．
∴不等式f（x）＞0的解集为．
故选：B．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．使得二项式（3x+）n的展开式中含有常数项的最小的n为　5　．
【考点】函数的最值及其几何意义；二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0方程有解．由于n，r都是整数求出最小的正整数n即可．
【解答】解：二项式（3x+）n展开式的通项为：
Tr+1=Cnr3r，
令=0，
据题意此方程有解，
∴n=r，
当r=3时，n的最小值为5．
故答案为：5．
　
14．国庆节放假，2个三口之家结伴乘火车外出，每人均实名购票，上车后随意坐所购票的6个座位，则恰好有2人是对号入座（座位号与自己车票相符）的坐法有　135　种？（用具体数字作答）
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分2步进行分析：首先在在6个人中任取2人，使其对号入座，利用组合数公式计算可得其情况数目，其次分析不是对号入座的4人，假设这4人为A、B、C、D，利用列举法分析可得情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，6人中恰好有2人是对号入座，需要在6个人中任取2人，使他的座位号与自己车票相符，有C62=15种坐法，
另外的4人不是对号入座，假设这4人为A、B、C、D，
其座位号与自己车票都不相符的坐法有：BADC，CADB，DABC，BDAC，CDAB，DCAB，BCDA，DCBA，CDBA；共9种坐法，
故6人中恰好有2人是对号入座的坐法有15×9=135种；
故答案为：135．
　
15．已知函数f（x）=，则f=f（1）=，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f==2+（sin﹣sin0）=．
故答案为：．
　
16．已知平面θ截一球面得圆P，过该圆心P且与平面θ成60°二面角的平面γ截该球面得圆Q．若该球的半径为，圆P的面积为3π，则该圆Q的面积为　6π　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】先求出圆P的半径，然后根据勾股定理求出OP的长，找出二面角的平面角，从而求出OQ的长，最后利用垂径定理即可求出圆Q的半径，从而求出面积．
【解答】解：设球心为O，则
∵圆P的面积为3π
∴圆P的半径为
根据勾股定理可知OP=2
∵过圆心P且与θ成60°二面角的平面β截该球面得圆Q
∴∠OPQ=30°，
在直角三角形OPQ中，OQ=1，∴圆Q的半径为
∴圆Q的面积为6π．
故答案为：6π
　
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）=，a=1，求△ABC的面积的最大值．
【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）先化简函数，利用三角函数的性质求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（Ⅱ）利用f（B+C）=，求出A，根据a=1，利用余弦定理，结合基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos（2x+）+1，
∴f（x）的最大值为2，此时2x+=2kπ，∴x=kπ﹣，
∴使f（x）取最大值时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；
（Ⅱ）∵f（B+C）=，
∴cos[2（B+C）+]+1=，
∴B+C=，
∴A=．
∵a=1，
∴1=b2+c2﹣2bc ≥2bc﹣bc，
∴bc≤1，
∴S==bc≤，
∴△ABC的面积的最大值为．
　
18．随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图．
分组（单位：岁）
频数
频率
[20，25）
5
0.05
[25，30）
20
0.20
[30，35）
①
0.350
[35，40）
30
②
[40，45]
10
0.10
合计
100
1.000
（I）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名市民的平均年龄；
（II）在抽出的100名中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30，40）的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[30，35）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）根据频数之和为100计算①，根据频率计算公式计算②；补全频率分布直方图，利用加权平均数公式计算平均年龄；
（II）求出20名人中，[30，35）和[35，40）内的人数，利用概率公式计算P（ξ），得出分布列和数学期望．
【解答】解：（
I）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，
②位置应填数字为：
=0.3．
补全频率分布直方图，如图所示．
平均年龄估值为：22.5×0.05+27.5×0.20+32.5×0.35+37.5×0.30+42.5×0.10=33.5．
（
II）设抽出的20名受访者年龄在[30，35）和[35，40）分别由m，n名，由分层抽样可得，解得m=7，n=6
所以年龄在[30，40）共有13名．
故ξ的可能取值为0，1，2，，，，
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
．
　
19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，
=．
（I）证明：CB1∥平面A1EM；
（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出F的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明：CB1∥平面A1EM；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】（I）如图，连接AB1，交A1E于F，连接MF，
∵E为BB1的中点，
∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
设AA1=h，
则A（0，0，0），C1（0，1，h），A1（0，0，h），E（2，0，），M（0，，0），
B1（2，0，h），设F（x，0，z），
则∥，∥，
∵=（x，0，z），=（2，0，h），∴
①
∵=（x，0，z﹣h），=（2，0，﹣），∴=
②，
由①②得z=h，x=，
或F作FT⊥AB，
则==，则∴AF=AB1，
∵=．
∴MF∥CB1，
∵MF 平面平面A1EM，CB1 平面A1EM，
∴CB1∥平面A1EM；
（Ⅱ）设平面C1A1E的法向量为=（x，y，z），平面MA1E的法向量为=（x，y，z），
则，则，令z=1，则x=，y=0，
则=（，0，1），
由得，令z=1，则x=，y=，
即=（，，1）
|cos＜，＞|==，
得h2=2，即h=，
则AA1的长度为．
　
20．数列{an}中，a1=3，an+1=2an+2．
（I）求证：{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（II）设bn=，求Sn=b1+b2+…+bn，并证明： n∈N
，≤Sn＜．
【考点】数列的求和；等比关系的确定．
【分析】（Ⅰ）把原数列递推式变形，可得{an+2}是等比数列，求出其通项公式后可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入，整理后利用错位相减法求Sn=b1+b2+…+bn，然后放缩得答案．
【解答】（Ⅰ）证明：由an+1=2an+2，得an+1+2=2（an+2），
∵a1+2=5≠0，∴，
∴{an+2}是首项为5，公比为2的等比数列，
则，
∴；
（Ⅱ）解：，
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
①﹣②得：．
∴；
∵，
∴{Sn}单调递增，则，
∴．
　
21．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+ =，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），
可得椭圆的c=1，设P为（，m），
由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+ =，
由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，
解得a=2，b==，
即有椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），
代入抛物线的方程，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0，
由相切的条件可得，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0，
化简可得kb=1，
由y=kx+和椭圆方程3x2+4y2=12，
可得（3+4k2）x2+8x+﹣12=0，
由64﹣4（3+4k2）（﹣12）＞0，
可得k＞，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，
即有中点坐标为（﹣，），
设N（0，n），由=﹣，
可得n=﹣，
由y=kx+，设y=0，则x=﹣，
M（﹣，0），可得直线MN的斜率为kMN==﹣
=﹣≥﹣=﹣．
当且仅当k=＞时，取得最小值﹣．
　
22．已知函数．
（Ⅰ）若函数g（x）=ex在x=0处的切线也是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在直线x﹣y+1=0的下方，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若x1，x2∈（，），且x1≠x2，判断与a2x1x2的大小关系，并说明理由．
注：题目中e=2.71828…是自然对数的底数．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算g′（0），g（0），得到切线方程，从而求出a的值；
（Ⅱ）问题转化为对于x＞0恒成立，根据函数的单调性，求出a的范围即可；
（Ⅲ）根据函数f（x）的单调性得到f（x1）＞f（x1+x2），整理变形即可．
【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=ex，g（x）在x=0处切线斜率k=g′（0）=1，切线l：y=x+1，
又，设l与f（x）相切时的切点为，
则斜率，
则切线l的方程又可表示为，
由解之得a=e2；
（Ⅱ）由题f（x）﹣x﹣1＜0对于x＞0恒成立，
即对于x＞0恒成立，
令，则，由h'（x）=0得x=，
x
（0，）
（，+∞）
h'（x）
+
0
﹣
h（x）
↗
极大值
↘
则当x＞0时，h（x）max=h（）=﹣1，
由﹣1＜0，得：0＜a＜e2，即实数a的取值范围是（0，e2）；
（Ⅲ）＞a2x1x2，理由如下：
由题，由f'（x）=0得x=，
当＜x＜a时，f′（x）＜0，单调递减，
因为x1＜x1+x2＜a，所以f（x1）＞f（x1+x2），
即，
所以，①
同理，②
①+②得，
因为，
由x1+x2＜a得，即，
所以，即，
所以＞a2x1x2．
　
2017年1月11日