广东省东莞市南开实验学校2016-2017学年高二（上）10月期初数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）10月期初数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．
1．若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
2．若a＞b，则下列正确的是（　　）
1．a2＞b2 2．ac＞bc 3．ac2＞bc2 4．a﹣c＞b﹣c．
A．4 B．2，3 C．1，4 D．1，2，3，4
3．在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（　　）
A． B． C．或 D．以上都不对
4．已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若am=8，则m为（　　）
A．12 B．8 C．6 D．4
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（　　）www.21-cn-jy.com
A．3 B．2 C．2 D．
6．数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1?a2?a3?…?an=n2，则a3+a5等于（　　）
A． B． C． D．
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＞0，S16＜0，则，，…，中最大的项为（　　）
A． B． C． D．
8．数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2016的值是（　　）
A． B． C． D．
9．已知点M（x，y）满足若ax+y的最小值为3，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（　　）21·世纪*教育网
A．（） B．[2，8] C．[2，8） D．[2，7]
11．数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于（　　）
A．1006 B．2012 C．503 D．0
12．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．5
　
四．填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．
13．若实数x∈Z，y∈Z，满足，则S=2x+y﹣1的最大值为　　．
14．已知数列{an}满足an≤an+1，an=n2+kn，n∈N*，则实数k的最小值是　　．
15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　　m．【版权所有：21教育】
16．△ABC中，∠A=60°，M为边BC的中点，AM=，则2AB+AC的取值范围是　　．
　
五．解答题
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足a2﹣b2﹣c2+bc=0，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为21教育名师原创作品
（ I）求角A和角B的大小；
（ II）求△ABC的各边长．
18．已知等差数列{an}满足：a1=2且a22=a1a5
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{a2n﹣1}的前n项和，求Sn．
19．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，则甲船应沿　　方向前进才能尽快追上乙船，相遇时乙船已行驶了　　海里．21*cnjy*com
20．△ABC中，角A，B，C的对分别为a，b，c，且a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）求cosB的最小值．
21．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）
22．实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1）（a﹣1）2+（b﹣2）2的值域．
（2）的取值范围．
　

2016-2017学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）10月期初数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．
1．若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】由题意和和差角公式易得sin（A﹣B）=0，进而可得A=B，可判△ABC为等腰三角形．
【解答】解：∵在△ABC中2cosBsinA=sinC，
∴2cosBsinA=sinC=sin（A+B），
∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，
∴sin（A﹣B）=0，
∴A﹣B=0，即A=B，
∴△ABC为等腰三角形，
故选：C．
　
2．若a＞b，则下列正确的是（　　）
1．a2＞b2 2．ac＞bc 3．ac2＞bc2 4．a﹣c＞b﹣c．
A．4 B．2，3 C．1，4 D．1，2，3，4
【考点】不等式比较大小．
【分析】对于1，2，3举例排除即可，对4利用不等式的基本性质即可判断
【解答】解：若a＞b，当a=0时，b=﹣1时，a2＞b2 不成立，
当c=0时，ac＞bc 不成立，
当c=0时，ac2＞bc2 不成立，
根据不等式基本性质可得a﹣c＞b﹣c成立，
故选：A．
　
3．在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（　　）
A． B． C．或 D．以上都不对
【考点】正弦定理．
【分析】由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．21教育网
【解答】解：由，利用余弦定理得：
=+c2﹣2c×，即c2﹣3c+10=0，
因式分解得：（c﹣2）（c﹣）=0，解得：c=2或．
故选C
　
4．已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若am=8，则m为（　　）
A．12 B．8 C．6 D．4
【考点】等差数列的性质．
【分析】根据a3+a6+a10+a13 中各项下标的特点，发现有3+13=6+10=16，优先考虑等差数列的性质去解．2·1·c·n·j·y
【解答】解：a3+a6+a10+a13=32即（a3+a13）+（a6+a10）=32，
根据等差数列的性质得 2a8+2a8=32，a8=8，∴m=8
故选：B．
　
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（　　）
A．3 B．2 C．2 D．
【考点】正弦定理．
【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．
【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，
由余弦定理可得，
a2=b2+c2﹣2bccosA，
即有4=b2+12﹣4×b，
解得b=2或4，
由b＜c，可得b=2．
故选：C．
　
6．数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1?a2?a3?…?an=n2，则a3+a5等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】由n≥2，n∈N时a1?a2?a3?…?an=n2得当n≥3时，a1?a2?a3…an﹣1=（n﹣1）2．然后两式相除an=（）2，即可得a3=，a5=从而求得a3+a5=．【出处：21教育名师】
【解答】解：当n≥2时，a1?a2?a3…an=n2．
当n≥3时，a1?a2?a3…an﹣1=（n﹣1）2．
两式相除an=（）2，
∴a3=，a5=．∴a3+a5=．
故选A
　
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＞0，S16＜0，则，，…，中最大的项为（　　）
A． B． C． D．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由S15＞0，S16＜0，可得=15a8＞0，=8（a8+a9）＜0，a8＞0，a9＜0，因此d＜0．利用单调性即可得出．21世纪教育网版权所有
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S15＞0，S16＜0，∴=15a8＞0，=8（a8+a9）＜0，
∴a8＞0，a9＜0，因此d＜0．
若视为函数，则对称轴在S8和S9之间，
∵S8＞S9，∴Sn最大值是S8，
故Sn最大值为S8．
又d＜0，an递减，前8项中Sn递增，
故Sn最大且an取最小正值时有最大值，
∴最大．
故选：D．
　
8．数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2016的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】由数列{an}满足an+1=，a1=，可得an+3=an．
【解答】解：∵数列{an}满足an+1=，a1=，
∴a2=2a1﹣1=，a3=2a2﹣1=，a4=2a3=，…，
∴an+3=an．
则a2016=a671×3+3=a3=．
故选：C．
　
9．已知点M（x，y）满足若ax+y的最小值为3，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标函数ax+y的最小值为3，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分△ABC如右图），
通过直线方程联解，可得A（1，0），B（3，4），C（1，2），
设z=F（x，y）=ax+y，可得F（1，0）=a，F（3，4）=3a+4，F（1，2）=a+2，
显然，实数a不是零，接下来讨论：
①当a＞0时，z=ax+y的最小值为F（1，0）=a=3，符合题意；
②当a＜0时，z=ax+y的最小值为F（1，0），F（3，4），F（1，2）中的最小值，
∵F（1，0）=a为负数，说明z的最小值为负数
∴找不到负数a值，使z=ax+y的最小值为3．
综上所述，得a=3．
故选：C．
　
10．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（　　）21cnjy.com
A．（） B．[2，8] C．[2，8） D．[2，7]
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】先求出关于[x]的不等式的解集，然后根据新定义得到x的范围即可．
【解答】解：由4[x]2﹣36[x]+45＜0，得，
又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8．
故选C
　
11．数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于（　　）
A．1006 B．2012 C．503 D．0
【考点】数列的求和．
【分析】由数列通项公式可求得该数列的周期及其前4项，根据数列的周期性及前4项和即可求得S2012．
【解答】解：由得，
该数列周期为T==4，且，a2=﹣1=﹣，a3=，a4=，
则a1+a2+a3+a4=++=1，
所以S2012=503×（a1+a2+a3+a4）=503×1=503．
故选C．
　
12．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．5
【考点】基本不等式．
【分析】已知式子可化为=1，进而可得3x+4y=（3x+4y）（）++，由基本不等式可得．
【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴=1，即=1，
∴3x+4y=（3x+4y）（）
=++≥+2=5
当且仅当=即x=1且y=时取等号，
∴3x+4y的最小值为：5
故选：D
　
四．填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．
13．若实数x∈Z，y∈Z，满足，则S=2x+y﹣1的最大值为　6　．
【考点】简单线性规划．
【分析】由已知得到平面区域，利用目标函数的几何意义求最优解．
【解答】解：由题意，xy，满足的区域如图：由S=2x+y﹣1的几何意义得到当直线经过图中整点B（2，3）时使得S最大，所以S=2x+y﹣1的最大值为2×2+3﹣1=6．
故答案为：6．
　
14．已知数列{an}满足an≤an+1，an=n2+kn，n∈N*，则实数k的最小值是　﹣3　．
【考点】数列递推式．
【分析】由已知得an+1﹣an≥0，对任意n恒成立，由此能求出实数k的最小值．
【解答】解：∵数列{an}满足an≤an+1，an=n2+kn，n∈N*，
∴an+1﹣an≥0，对任意n恒成立，
∵an+1﹣an=2n+1+k，
∴k≥﹣2n﹣1，对任意n恒成立，
∵n∈N*，∴﹣2n﹣1的最大值为﹣3，
∴k≥﹣3．
∴实数k的最小值是﹣3．
故答案为：﹣3．
　
15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　100　m．2-1-c-n-j-y

【考点】解三角形的实际应用．
【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．21*cnjy*com
【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得=，
解得h=100（m）
故答案为：100．
　
16．△ABC中，∠A=60°，M为边BC的中点，AM=，则2AB+AC的取值范围是　（2，4）　．
【考点】正弦定理．
【分析】用极限思想，把一边缩短至接近0，判断另一边的极限长，从而得解．
【解答】解：如图所示，∠A=60°，M为边BC的中点，AM=，
当AB边缩短至接近0时，AC边接近2AM，AC接近2，此时2AB+AC接近2；
当AC边缩短至接近0时，AB边接近2AM，AB接近2，此时2AB+AC接近4；
则2AB+AC的取值范围是：（2，4）．
故答案为：（2，4）．

　
五．解答题
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足a2﹣b2﹣c2+bc=0，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为
（ I）求角A和角B的大小；
（ II）求△ABC的各边长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到a=b，设a=b=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出a与b的长，再由sinC的值，利用正弦定理可求c的值．
【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理得：cosA==，
∵A为三角形内角，
∴A=，
由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，
则B=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分
（Ⅱ）由A=B，得到a=b=x，可得C=，
由余弦定理得AM2=x2+﹣2x??（﹣）=14，
解得：x=2，
可得：a=b=2，c===2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．
　
18．已知等差数列{an}满足：a1=2且a22=a1a5
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{a2n﹣1}的前n项和，求Sn．
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意和等差数列的通项公式列出方程，求出d的值，由等差数列的通项公式分别求出an；
（2）由（1）和等差数列的前n项和公式，分别求出 a2n﹣1和Sn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵a1=2且a22=a1a5，∴（2+d）2=2（2+4d），
化简得：d2﹣4d=0，解得d=0或d=4．
当d=0时，an=2；
当d=4时，an=2+（n﹣1）?4=4n﹣2，
∴an=2或an=4n﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分
（2）由（1）得，
当an=2时，a2n﹣1=2，则Sn=2n，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9分
当an=4n﹣2时，a2n﹣1=8n﹣6，
Sn==4n2﹣2n﹣﹣﹣﹣12分．
　
19．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，则甲船应沿　北偏东30°　方向前进才能尽快追上乙船，相遇时乙船已行驶了　a　海里．21·cn·jy·com
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度追为v，则BC=tv，AC=tv，B=120°，在三角形中利用正弦定理及余弦定理即可求解．
【解答】解：如图所示，设到C点甲船追上乙船，
乙到C地用的时间为t，乙船的速度为v，
则BC=tv，AC=tv，∠B=120°，
由正弦定理知=，
∴=，
∴sin∠CAB=，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，
∴BC=AB=a，
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcos120°
=a2+a2﹣2a2?（﹣）=3a2，
∴AC=a，BC=a，
则甲船应沿北偏东30°方向前进才能尽快追上乙船，相遇时乙船已行驶了a海里．
故答案为：北偏东30°，a．

　
20．△ABC中，角A，B，C的对分别为a，b，c，且a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b．
（1）求证：a，b，c成等差数列；
（2）求cosB的最小值．
【考点】等差数列的性质；余弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理，结合条件，即可证明a，b，c成等差数列；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求cosB的最小值．
【解答】（1）证明：由正弦定理得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB
?sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB
?sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB
?sinA+sinC=2sinB．
由正弦定理知a+c=2b，
所以a，b，c成等差数列． …
（2）解：cosB===?﹣
≥﹣=，
所以当a=c时，（cosB）min=．…
　
21．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．www-2-1-cnjy-com
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）
【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式．
【分析】（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；
（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．
【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）
由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5
∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，
∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9
当且仅当x=5时，等号成立
∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．
　
22．实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：【来源：21cnj*y.co*m】
（1）（a﹣1）2+（b﹣2）2的值域．
（2）的取值范围．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】（1）利用一元二次方程根的分布与系数的关系，列出不等式组，画出关于点（a，b）的可行域，根据（a﹣1）2+（b﹣2）2表示区域内的点（a，b）与定点（1，2）之间距离的平方，从而求得它的范围．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）根据=1+，根据的几何意义，数形结合可得kAD＜＜kCD，求得 的范围．
【解答】解：方程x2+ax+2b=0的两根区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：
函数y=f（x）=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）
和（1，2）内，
由此可得不等式组 ?．
由，解得A（﹣3，1）；
由解得B（﹣2，0）；
由解得C（﹣1，0），
故在图所示的aOb坐标平面内，满足约束条的点（a，b）对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．
（1）因为（a﹣1）2+（b﹣2）2表示区域内的点（a，b）与定点（1，2）之间距离的平方，
所以（a﹣1）2+（b﹣2）2∈（8，17）．
（2）=1+，而的几何意义是点（a，b）和点D（1，2）连线的斜率．
因为kAD==，kCD==1，由图可知kAD＜＜kCD，
所以＜＜1，即∈（，1），∴∈（，2）．

　

2017年1月11日