2017年四川省省级联考高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

2017年四川省省级联考高考数学模拟试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i是虚数单位，复数（2+i）2的共轭复数为（　　）
A．3﹣4i B．3+4i C．5﹣4i D．5+4i
2．设向量=（2x﹣1，3），向量=（1，﹣1），若⊥，则实数x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
3．设集合A={﹣1，1}，集合B={x|ax=1，a∈R}，则使得B?A的a的所有取值构成的集合是（　　）
A．{0，1} B．{0，﹣1} C．{1，﹣1} D．{﹣1，0，1}
4．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（　　）
A．45 B．55 C．66 D．110
5．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（　　）
A．96种 B．120种 C．480种 D．720种
6．函数的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）
A． B． C． D．
7．设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E，C是轨迹E上一点，直线BC垂直于x轴，则=（　　）
A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9
8．利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（　　）
A．P=lg（1+） B．P= C．P= D．P=×
9．如图，A1，A2为椭圆+=1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=（　　）
A．5 B．3+ C．9 D．14
10．设a，b是不相等的两个正数，且blna﹣alnb=a﹣b，给出下列结论：①a+b﹣ab＞1；②a+b＞2；③ +＞2．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
　
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．在（2﹣）6的展开式中，含x3项的系数是　　（用数字填写答案）
12．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为　　．
13．已知tanα=3，则sinαsin（﹣α）的值是　　．
14．已知圆的方程为x2+y2﹣6x=0，过点（1，2）的该圆的三条弦的长a1，a2，a3构成等差数列，则数列a1，a2，a3的公差的最大值是　　．
15．已知=（1，0），=（1，1），（x，y）=，若0≤λ≤1≤μ≤2时，z=+（m＞0，n＞0）的最大值为2，则m+n的最小值为　　．
　
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．
17．设数列{an}各项为正数，且a2=4a1，an+1=+2an（n∈N*）
（I）证明：数列{log3（1+an）}为等比数列；
（Ⅱ）令bn=log3（1+a2n﹣1），数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn＞345成立时n的最小值．
18．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．
（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；
（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；
（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？
19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．
（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；
（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．
20．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．
21．设a，b∈R，函数，g（x）=ex（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．
　

2017年四川省省级联考高考数学模拟试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i是虚数单位，复数（2+i）2的共轭复数为（　　）
A．3﹣4i B．3+4i C．5﹣4i D．5+4i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：复数（2+i）2=3+4i共轭复数为3﹣4i．
故选：A．
　
2．设向量=（2x﹣1，3），向量=（1，﹣1），若⊥，则实数x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】利用向量垂直的性质求解．
【解答】解：∵向量=（2x﹣1，3），向量=（1，﹣1），⊥，
∴=（2x﹣1，3）?（1，﹣1）=2x﹣1﹣3=0，
解得x=2．
故选：C．
　
3．设集合A={﹣1，1}，集合B={x|ax=1，a∈R}，则使得B?A的a的所有取值构成的集合是（　　）
A．{0，1} B．{0，﹣1} C．{1，﹣1} D．{﹣1，0，1}
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】利用B?A，求出a的取值，注意要分类讨论．
【解答】解：∵B?A，
∴①当B是?时，可知a=0显然成立；
②当B={1}时，可得a=1，符合题意；
③当B={﹣1}时，可得a=﹣1，符合题意；
故满足条件的a的取值集合为{1，﹣1，0}
故选：D．
　
4．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（　　）
A．45 B．55 C．66 D．110
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
s=0，i=1，i＜10，
s=1，i=2，i＜10，
s=3，i=3，i＜10，
s=6，i=4＜10，
s=10，i=5＜10，
s=15，i=6＜10，
s=21，i=7＜10，
s=28，i=8＜10，
s=36，i=9＜10，
s=45，i=10≤10，
s=55，i=11＞10，
输出s=5，5，
故选：B．
　
5．小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（　　）
A．96种 B．120种 C．480种 D．720种
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】小孔的拿法有一种，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人的拿法有4种，其余人的拿法有种，根据乘法原理求得梨子的不同分法．
【解答】解：由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有种，
其余人的拿法有种，则梨子的不同分法共有480种，
故选：C．
　
6．函数的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式．
【解答】解：由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，ω=2，
因为：当x=时取得最大值2，
所以：2=2sin（2×+φ），
所以：2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，
因为：|φ|＜，
所以：可得φ=﹣，可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x﹣）．
故选：B．
　
7．设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E，C是轨迹E上一点，直线BC垂直于x轴，则=（　　）
A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件便可得出轨迹E为双曲线，并可求得方程为，并可求出点C的坐标为（2，3），或（2，﹣3），从而可分别求出向量的坐标，这样即可得出的值．
【解答】解：根据题意知，轨迹E是以A，B为焦点的双曲线，方程为，x=2带入方程得：y=±3；
∴C点的坐标为（2，3），或（2，﹣3）；
（1）若C点坐标为（2，3），则：；
∴；
（2）若C点坐标为（2，﹣3），则：；
∴；
综上得，．
故选：D．
　
8．利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（　　）
A．P=lg（1+） B．P= C．P= D．P=×
【考点】频率分布直方图．
【分析】利用排除法，即可判断．
【解答】解：当d=5时，其概率为P==，
对于B，P=，
对于C，P=0，
对于D，P=，
故B，C，D均不符合，
故选：A．
　
9．如图，A1，A2为椭圆+=1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=（　　）
A．5 B．3+ C．9 D．14
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设Q（x0，y0），则+=1，可得： ?=﹣．设直线OS，OT的方程分别为：y=k1x，y=k2x，则=k1， =k2．可得k1k2．直线方程与椭圆方程分别联立可得，；，．即可得出：|OS|2+|OT|2．
【解答】解：设Q（x0，y0），则+=1，∴ =．
设直线OS，OT的方程分别为：y=k1x，y=k2x，
则=k1， =k2．
∵?===﹣．
∴k1k2=﹣．
联立，解得=， =．
同理可得： =， =．
∴|OS|2+|OT|2=+++=+++
=+==14．
故选：D．
　
10．设a，b是不相等的两个正数，且blna﹣alnb=a﹣b，给出下列结论：①a+b﹣ab＞1；②a+b＞2；③ +＞2．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】不等式的基本性质．
【分析】①由blna﹣alnb=a﹣b得=，构造函数f（x）=，x＞0，判断a，b的取值范围即可．
②由对数平均不等式进行证明，
③构造函数，判断函数的单调性，进行证明即可．
【解答】解：①由blna﹣alnb=a﹣b，得blna+b=alnb+a，即=，
设f（x）=，x＞0，
则f′（x）=﹣=，
由f′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，
由f′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，
即当x=1时，函数f（x）取得极大值，
则=，等价为f（a）=f（b），
则a，b一个大于1，一个小于1，
不妨设0＜a＜1，b＞1．
则a+b﹣ab＞1等价为（a﹣1）（1﹣b）＞0，
∵0＜a＜1，b＞1．∴（a﹣1）（1﹣b）＞0，则a+b﹣ab＞1成立，故①正确，
②由即=，
得=，
由对数平均不等式得=＞，
即lna+lnb＞0，即lnab＞0，
则ab＞1，
由均值不等式得a+b2，故②正确，
③令g（x）=﹣xlnx+x，则g′（x）=﹣lnx，
则由g′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，此时g（x）为增函数，
由g′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，此时g（x）为减函数，
再令h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），0＜x＜1，
则h′（x）=g′（x）+g′（2﹣x）=﹣lnx﹣lm（2﹣x）=﹣ln[x（2﹣x）]＞0，
则h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），在0＜x＜1上为增函数，
则h（x）=g（x）﹣g（2﹣x）＜h（1）=0，
则g（x）＜g（2﹣x），
即g（）＜g（2﹣），
∵g（）=﹣ln=+lna==，
∴g（）=g（）
则g（）=g（）＜g（2﹣），
∵g（x）在0＜x＜1上为增函数，
∴＞2﹣，
即+＞2．
故③正确，
故选：D
　
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．在（2﹣）6的展开式中，含x3项的系数是　64　（用数字填写答案）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中含x项的指数等于3，求出r的值，即可求出展开式中x3项的系数．
【解答】解：二项式（2﹣）6展开式的通项公式为
Tr+1=??=（﹣1）r?26﹣r??x3﹣r，
令3﹣r=3，
解得r=0；
∴展开式中x3项的系数是26×=64．
故答案为：64．
　
12．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为　π　．

【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】该几何体是一个半圆柱，即可求出其体积．
【解答】解：该几何体是一个半圆柱，如图，其体积为．
故答案为：π．

　
13．已知tanα=3，则sinαsin（﹣α）的值是　﹣　．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”即可得出．
【解答】解：∵tanα=3，则sinαsin（﹣α）=﹣sinαcosα=﹣=﹣=﹣=﹣．
故答案为：﹣．
　
14．已知圆的方程为x2+y2﹣6x=0，过点（1，2）的该圆的三条弦的长a1，a2，a3构成等差数列，则数列a1，a2，a3的公差的最大值是　2　．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，得到最大弦长，再求出过P且垂直于CP的弦的弦长，即最小弦长，然后利用等差数列的通项公式求得公差得答案．
【解答】解：如图，由x2+y2﹣6x=0，得（x﹣3）2+y2=9，
∴圆心坐标C（3，0），半径r=3，
由圆的性质可知，过点P（1，2）的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，
最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长，
∵|CP|=，
∴|AB|=2，
即a1=2，a3=6，
∴公差d的最大值为．
故答案为：2．

　
15．已知=（1，0），=（1，1），（x，y）=，若0≤λ≤1≤μ≤2时，z=+（m＞0，n＞0）的最大值为2，则m+n的最小值为　+　．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义；基本不等式．
【分析】化简可得（x，y）=λ（1，0）+μ（1，1），从而可得x=λ+μ，y=μ；从而可得+=1；再化简（m+n）（+）=+1++，从而利用基本不等式求最小值．
【解答】解：∵ =（1，0），=（1，1），
∴（x，y）=λ（1，0）+μ（1，1），
∴x=λ+μ，y=μ；
z=+=+，
∵0≤λ≤1≤μ≤2，z=+（m＞0，n＞0）的最大值为2，
∴+=2，即+=1；
故（m+n）（+）=+1++≥+2=+；
（当且仅当=时，等号成立）．
故答案为： +．
　
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．
【分析】（1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin（A﹣B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；
（2）把sin（2A+）﹣2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A的三角函数，再由A的范围求得答案．
【解答】解：（1）由acosB=bcosA，结合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，
即sinAcosB﹣cosAsinB=0，得sin（A﹣B）=0，
∵A，B∈（0，π），
∴A﹣B∈（﹣π，π），则A﹣B=0，
∴A=B，即△ABC为等腰三角形；
（2）sin（2A+）﹣2cos2B=sin2Acos+cos2Asin﹣2cos2B
=﹣（1+cos2B）=﹣cos2A﹣1
==．
∵0，∴，
则．
即sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围是．
　
17．设数列{an}各项为正数，且a2=4a1，an+1=+2an（n∈N*）
（I）证明：数列{log3（1+an）}为等比数列；
（Ⅱ）令bn=log3（1+a2n﹣1），数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn＞345成立时n的最小值．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（I）由a2=4a1，an+1=+2an（n∈N*），可得a2=4a1，a2=，解得a1，a2．由于an+1+1=+2an+1=，两边取对数可得：log3（1+an+1）=2log3（1+an），即可证明．
（II）由（I）可得：log3（1+an）=2n﹣1，可得bn=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，可得数列{bn}的前n项和为Tn，代入化简即可得出．
【解答】（I）证明：∵a2=4a1，an+1=+2an（n∈N*），
∴a2=4a1，a2=，解得a1=2，a2=8．
∴an+1+1=+2an+1=，
两边取对数可得：log3（1+an+1）=2log3（1+an），
∴数列{log3（1+an）}为等比数列，首项为1，公比为2．
（II）解：由（I）可得：log3（1+an）=2n﹣1，
∴bn=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为Tn==．
不等式Tn＞345，
化为＞345，即4n＞1036．
解得n＞5．
∴使Tn＞345成立时n的最小值为6．
　
18．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．
（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；
（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；
（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？
【考点】古典概型及其概率计算公式；概率的基本性质．
【分析】（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，由此能求出顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率．
（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），由此能求出商场经理希望顾客参加抽奖．
（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．恰好k次中奖的概率为，k=0，1，…，10．由此能求出顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．
【解答】解：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，
摸到红球的结果共有种，
所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是．…
（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），
所以E（X）=np=3×0.4=1.2．
由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的
均值为1.2×100=120元．
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，
所以商场经理希望顾客参加抽奖．…
（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．
于是，恰好k次中奖的概率为，k=0，1，…，10．
从而，k=1，2，…，10，
当k＜4.4时，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k）；
当k＞4.4时，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k），
则P（Y=4）最大．
所以，最有可能获得的现金奖励为4×100=400元．
于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．…
　
19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．
（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；
（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出PD⊥PF，PD⊥PE，则PD⊥平面PEF，由此能证明平面PBD⊥平面BFDE．
（2）连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值．
【解答】证明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，
∵点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．
∴PD⊥PF，PD⊥PE，
∵PE∩PF=P，PE、PF?平面PEF．
∴PD⊥平面PEF．
又∵EF?平面PEF，
∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，
∴EF⊥平面PBD，
又EF?平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．
解：（2）连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设在正方形ABCD的边长为2，则DO=， =，PE=PF=1，PO==，
∴P（0，0，），D（0，，0），E（﹣，0，0），F（，0，0），
=（﹣，﹣，0），=（0，﹣，），=（，﹣，0），
设平面PDE的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，则=（﹣3，，3），
平面DEF的法向量=（0，0，1），
设二面角P﹣DE﹣F的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值为．

　
20．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．

【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；
（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．通过当y1=﹣2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．
【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则，
所以，点P到直线l的距离．
当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…
（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．
当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1；
当y1≠﹣2时，直线AP的方程为，
化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；
综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0．
与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为．
因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．
因此，B点的坐标为．
当，即时，直线AB的斜率．
所以直线AB的方程为，
整理得．
当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，
此时，直线AB恒过定点（2，2），
当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），
故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…
　
21．设a，b∈R，函数，g（x）=ex（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）求出两个函数的导数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．列出方程即可求解b．
（Ⅱ）求出导函数f'（x）=，通过﹣1≤a≤1时，当a2＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调区间．
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，可得h（0）0．求出h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，求出导数u'（x）=ex﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，求出．考虑的情况，的情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围即可．
【解答】（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=ex，
由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…
（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2，
当a2≤1时，即﹣1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，
当a2＞1时，，此时
若，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；
若，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；
若时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，则h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，则u'（x）=ex﹣2．
当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，
令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得．
先考虑的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；
又当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；
故当x∈（﹣∞，0）时，h（x）单调递增；
又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，
从而函数g（x）﹣f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减；
又因为g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立．
接下来考虑的情况，此时，h'（0）＜0，
令x=﹣a，则h'（﹣a）=e﹣a＞0．
由零点存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，
当x∈（x0，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，
又因为h（0）=0，故当x∈（x0，0）时h（x）＞0．
从而函数g（x）﹣f（x）在区间（x0，0）单调递增；
又因为g（0）﹣f（0）=0，所以当x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．
综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立，则a的取值范围是．…
　

2017年1月12日