山西省吕梁市2017届高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年山西省吕梁市高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）
　
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集U=R，A={x|x2＜16}，B={x|y=log3（x﹣4）}，则下列关系正确的是（　　）
A．A∪B=R
B．A∪（ RB）=R
C．A∩（ RB）=R
D．（ RA）∪B=R
2．已知i为虚数单位，复数z=在复平面内对应的点位于第（　　）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
3．已知a、b都为集合{﹣2，0，1，3，4}中的元素，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（　　）
A．n=6
B．n＜6
C．n≤6
D．n≤8
5．已知数列{an}，若点{n，an}（n∈N
）在直线y﹣2=k（x﹣5）上，则数列{an}的前9项和S9等于（　　）
A．16
B．18
C．20
D．22
6．某几何体的三视图如图，则几何体的体积为（　　）
A．8π﹣16
B．8π+16
C．16π﹣8
D．8π+8
7．已知双曲线﹣=1的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线一个交点为（4，3），则该双曲线的实轴长为（　　）
A．6
B．8
C．4
D．10
8．若函数f（x）=sin（2x+φ）满足 x∈R，f（x）≤f（），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（　　）
A．[0，]与[，]
B．[，]
C．[0，]与[，π]
D．[0，]与[，]
9．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数）使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为f（x）的一个承托函数，现在如下函数：①f（x）=x3；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=x+sinx则存在承托函数的f（x）的序号为（　　）
A．①④
B．②④
C．②③
D．②③④
10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AC=AA1，则AB1与CA1所成角的大小为（　　）
A．60°
B．105°
C．75°
D．90°
11．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）
A．
B．2
C．
D．3
12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x2﹣2x+2）＜f（1﹣a2x2）的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣，﹣）∪（，]
B．（，]
C．[﹣，﹣）∪（，]
D．[﹣，﹣）∪（，]
　
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是　　．
14．（x﹣）6的展开式中常数项为　　．
15．若不等式（﹣1）na＜2+（﹣1）n+1对 n∈N
恒成立，则实数a的取值范围是　　．
16．设实数x，y满足，则Z=max{2x+y﹣1，x+2y+2}的取值范围是　　．
　
三、解答题（本题共5小题，共70分）
17．设函数f（x）= ，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，
sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，a=，b+c=3（b＞c），求b，c的值．
18．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证AD⊥BM．；
（2）若E是线段DB的中点，求二面角E﹣AM﹣D的余弦值．
19．近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差．
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（，其中n=a+b+c+d）
20．已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）设直线m与曲线C交于P，Q两点，O为坐标原点，若∠POQ=90°，问+是否为定值？若是求其定值，若不是说明理由．
21．已知函数f（x）=lnx+ax2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＞1，若对任意x1，x2∈（0，+∞），恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．
　
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1几何证明选讲]
22．如图，已知点P是圆O外一点，过P做圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，过P做一条割线交圆O于E，F，若2PA=PF，取PF的中点D，连接AD，并延长交圆于H．
（1）求证：四点O，A，P，B共圆；
（2）求证：PB2=2ED×DF．
　
[选修4-4坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．
（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
　
[选修4-5不等式选讲]
24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
　
2016-2017学年山西省吕梁市高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集U=R，A={x|x2＜16}，B={x|y=log3（x﹣4）}，则下列关系正确的是（　　）
A．A∪B=R
B．A∪（ RB）=R
C．A∩（ RB）=R
D．（ RA）∪B=R
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】确定出A与B，根据全集U=R求出A，B的补集，再根据交并计算即可．
【解答】解：由x2＜16，解得﹣4＜x＜4，即A=（﹣4，4），
∴ RA=（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞），
由对数函数的定义得：x﹣4＞0，即x＞4，即B=（4，+∞），
∴ RB=（﹣∞，4]，
∴A∪B=（﹣4，+∞），
A∪（ RB）=（﹣∞，4]，
A∩（ RB）=（﹣4，4），
（ RA）∪B=R．
故选：D
　
2．已知i为虚数单位，复数z=在复平面内对应的点位于第（　　）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z===i﹣1，在复平面内对应的点（﹣1，1）位于第二象限，
故选：B．
　
3．已知a、b都为集合{﹣2，0，1，3，4}中的元素，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】基本事件总数为n=5×5=25，由函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数，知a2﹣2＞0，由此能求出函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率．
【解答】解：∵a、b都为集合{﹣2，0，1，3，4}中的元素，
∴基本事件总数为n=5×5=25，
∵函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数，
∴a2﹣2＞0，
∴函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数包含的基本事件个数m=3×5=15，
∴函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率p=．
故选：B．
　
4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（　　）
A．n=6
B．n＜6
C．n≤6
D．n≤8
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，S=，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=2
满足条件，S=，n=4
满足条件，S==，n=6
满足条件，S==，n=8
由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，
故判断框中填写的内容可以是n≤6，
故选：C．
　
5．已知数列{an}，若点{n，an}（n∈N
）在直线y﹣2=k（x﹣5）上，则数列{an}的前9项和S9等于（　　）
A．16
B．18
C．20
D．22
【考点】数列的求和．
【分析】根据条件求出数列{an}的通项公式，利用等差数列的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点{n，an}（n∈N
）在直线y﹣2=k（x﹣5）上，
∴an﹣2=k（n﹣5），
即an=k（n﹣5）+2=kn+2﹣5k，
则数列{an}是等差数列，
∴数列{an}的前9项和S9==9a5，
∵a5=2，
∴S9=2×9=18，
故选：B．
　
6．某几何体的三视图如图，则几何体的体积为（　　）
A．8π﹣16
B．8π+16
C．16π﹣8
D．8π+8
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱切去一个三棱柱所得的组合体，分别计算体积相减，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱切去一个三棱柱所得的组合体，
半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积V=π 22 4=8π，
三棱柱的体积V=×4×2×4=16，
故组合体的体积V=8π﹣16，
故选：A．
　
7．已知双曲线﹣=1的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线一个交点为（4，3），则该双曲线的实轴长为（　　）
A．6
B．8
C．4
D．10
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，点（4，3）到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25．由点（4，3）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3，b=4，即可得到所求双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在y轴上，下、上焦点分别为F1，F2，
∴以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2=c2，a
∵以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），
∴，解得a=3，b=4，
∴双曲线的方程为．
双曲线的实轴长2a=6，
故选：A．
　
8．若函数f（x）=sin（2x+φ）满足 x∈R，f（x）≤f（），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（　　）
A．[0，]与[，]
B．[，]
C．[0，]与[，π]
D．[0，]与[，]
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据题意得出f（）=1，求出φ的值写出f（x）的解析式；
再求f（x）的单调增区间，即可得出f（x）在x∈[0，π]上的单调增区间．
【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）满足 x∈R，f（x）≤f（），
∴f（）=sin（2×+φ）=1，
解得φ=+2kπ，k∈Z；
∴f（x）=sin（2x+）；
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
当x∈[0，π]时，有[0，]，[，π]满足条件．
故选：C．
　
9．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数）使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为f（x）的一个承托函数，现在如下函数：①f（x）=x3；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=x+sinx则存在承托函数的f（x）的序号为（　　）
A．①④
B．②④
C．②③
D．②③④
【考点】函数恒成立问题．
【分析】函数g（x）=kx+b（k，b为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）；
【解答】解：函数g（x）=kx+b（k，b为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）；
①f（x）=x3
的值域为R，所以不存在函数g（x），使得函数f（x）的图象恒在g（x）的上方，故不存在承托函数；
②f（x）=2﹣x＞0，所以y=A（A≤0）都是函数f（x）的承托函数，故②正确；
③∵f（x）=的值域为R，所以不存在函数g（x），使得函数f（x）的图象恒在g（x）的上方，故不存在承托函数；
④f（x）=x+sinx≥x﹣1，所以存在函数g（x）=x﹣1使得函数f（x）的图形恒在函数g（x）的上方，故存在承托函数．
故答案为：②④
　
10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AC=AA1，则AB1与CA1所成角的大小为（　　）
A．60°
B．105°
C．75°
D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB1与CA1所成角的大小．
【解答】解：以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AC=AA1=2，
则A（0，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（，，2），
=（），=（0，﹣2，2），
设AB1与CA1所成角的大小为θ，
则cosθ==0，
∴AB1与CA1所成角的大小为90°．
故选：D．
　
11．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）
A．
B．2
C．
D．3
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．
【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；
P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=
则d1+d2=a2+1=
当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2
故选B
　
12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式f（x2﹣2x+2）＜f（1﹣a2x2）的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣，﹣）∪（，]
B．（，]
C．[﹣，﹣）∪（，]
D．[﹣，﹣）∪（，]
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x＞1时，函数递增，所以不等式f（x2﹣2x+2）＜f（1﹣a2x2）可化为：（a2﹣1）x2+2x﹣1＞0，分a＜0和a＞0两种情况，可得满足条件的实数a的取值范围．
【解答】解：由解析式得：函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x＞1时，函数递增，
所以不等式f（x2﹣2x+2）＜f（1﹣a2x2）可化为：
|x2﹣2x+2﹣1|＜|1﹣a2x2﹣1|，
即x2﹣2x+1＜a2x2，即（a2﹣1）x2+2x﹣1＞0，
若原不等式的解集中有且仅有三个整数，
则a＜0时，（，）有且仅有三个整数，解得：a∈[﹣，﹣），
a＞0时，（，）有且仅有三个整数，解得：a∈（，]，
综上可得：x∈[﹣，﹣）∪（，]，
故选：A
　
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是　　．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得向量与向量的夹角θ的值．
【解答】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得 （﹣）=﹣=1﹣1××cosθ=0，
求得cosθ=，可得θ=，
故答案为：．
　
14．（x﹣）6的展开式中常数项为　﹣　．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0得常数项．
【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1=（﹣）rC6rx6﹣2r，
令6﹣2r=0得r=3，
得常数项为C63（﹣）3=﹣．
故答案为：﹣．
　
15．若不等式（﹣1）na＜2+（﹣1）n+1对 n∈N
恒成立，则实数a的取值范围是　[﹣2，]　．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】若n为正奇数，﹣a＜2+恒成立 ﹣a＜（2+）min，可解得：a≥﹣2；若n为正偶数，a＜2﹣恒成立 ﹣a＜（2﹣）min，利用函数的单调性可得a≤．从而可得答案．
【解答】解：若n为正奇数，则﹣a＜2+恒成立 ﹣a＜（2+）min，由于y=2+为减函数，当n→+∞时，y→0，故﹣a≤2，解得：a≥﹣2；
若n为正偶数，则a＜2﹣恒成立 ﹣a＜（2﹣）min，由于y=2﹣为增函数，当n=2时，y=2﹣取得最小值（2﹣）=，故a≤．
因为不等式（﹣1）na＜2+（﹣1）n+1对 n∈N
恒成立，
所以，﹣2≤a≤．
故答案为：[﹣2，]．
　
16．设实数x，y满足，则Z=max{2x+y﹣1，x+2y+2}的取值范围是　[﹣1，5]　．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
2x+y﹣1﹣（x+2y+2）=x﹣y﹣3，
即z=max{2x+y﹣1，x+2y+2}=
其中直线x﹣y﹣3=0过C点．
在直线x﹣y﹣3=0的上方，平移直线z=2x+y﹣1（红线），当直线z=2x+y﹣1经过点B（2，2）时，
直线z=2x+y﹣1的截距最大，
此时z取得最大值为z=2×2+2﹣1=5．
可行域没有在直线x+y﹣3=0的下方的，平移直线z=x+2y+2，当直线z=2x+y﹣1经过点O（0，0）时，
直线z=2x+y﹣1的截距最小，
此时z取得最小值为z=﹣1．
即﹣1≤z≤5，
故答案为：[﹣1，5]．
　
三、解答题（本题共5小题，共70分）
17．设函数f（x）= ，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，
sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，a=，b+c=3（b＞c），求b，c的值．
【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的余弦函数公式变形后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）由f（A）=2，以及f（x）解析式，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，并利用完全平方公式变形后，将cosA，a，b+c的值代入求出bc的值，与b+c=3联立即可确定出b与c的值．
【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（2）由f（A）=2，得到2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=，
∴2A+=，即A=，
由余弦定理得：cosA=，即=，
整理得：bc=2①，
由b+c=3②，b＞c，
联立①②，解得：b=2，c=1．
　
18．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证AD⊥BM．；
（2）若E是线段DB的中点，求二面角E﹣AM﹣D的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）推导出BM⊥AM，BM⊥面ADM，由此能证明BM⊥AD．
（2）以AM中点O为原点，OA为x轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AM﹣D的余弦值．
【解答】证明：（1）∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM，
∵面ADM⊥面ABCM，
∴BM⊥面ADM，
∵AD 面ADM，∴BM⊥AD．
解：（2）以AM中点O为原点，OA为x轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），E（﹣，1，），=（，﹣1，﹣），=（﹣2，0，0），
平面AMD的法向量=（0，1，0），
设平面EAM的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（0，1，﹣2），
设二面角E﹣AM﹣D的平面角为θ，
则cosθ=||=．
∴二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．
　
19．近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差．
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（，其中n=a+b+c+d）
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K2，对照数表即可得出正确的结论；
（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．
【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
计算观测值，
对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；
（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；
其中；
；
；
；
；
；
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
由于X～B（5，），
则；
．
　
20．已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）设直线m与曲线C交于P，Q两点，O为坐标原点，若∠POQ=90°，问+是否为定值？若是求其定值，若不是说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，由|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4可得点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，则其标准方程可求；
（2）分类讨论，设直线OP方程为y=kx（k≠0），与椭圆方程联立可得x2，y2．进而得到|OP|2，同理得到|OQ|2，即可证明为定值．
【解答】解：（1）由x2+y2+2x﹣15=0，得（x+1）2+y2=42，
∴圆心为H（﹣1，0），半径为4，
连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|=|MB|，
∴|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4，
又|AH|=2＜4，
故点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为=1；
（2）设直线OP方程为y=kx（k≠0），联立椭圆方程，解得，
∴|OP|2=．
同理解得|OQ|2=．
∴+=，
OP斜率不存在时，|OP|2=3，|OQ|2=4，
+=
综上所述，
+=是定值．
　
21．已知函数f（x）=lnx+ax2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＞1，若对任意x1，x2∈（0，+∞），恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）﹣4x在（0，+∞）单调增函数，再利用参数分离法求出a的范围．
【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=，（x＞0），
a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，
a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，
令f′（x）＜0，解得：x＞，
故函数f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；
（2）不妨设x1≤x2，而a＞1，
由（1）得：f（x）在（0，+∞）递增，
从而对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|
等价于 x1，x2∈（0，+∞），f（x2）﹣4x2≥f（x1）﹣4x1①
令g（x）=f（x）﹣4x，则g′（x）=+2ax﹣4
①等价于g（x）在（0，+∞）单调递增，即+2ax﹣4≥0．
从而2a≥=+4，∴a≥2
故a的取值范围为[2，+∞）．
　
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1几何证明选讲]
22．如图，已知点P是圆O外一点，过P做圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，过P做一条割线交圆O于E，F，若2PA=PF，取PF的中点D，连接AD，并延长交圆于H．
（1）求证：四点O，A，P，B共圆；
（2）求证：PB2=2ED×DF．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）如图所示，连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB，可得∠OAP+∠OBP=π，即可证明．
（2）由切割线定理可得：PA2=PE PF，由相交弦定理可得：AD DH=ED DF，化简利用已知即可证明．
【解答】证明：（1）如图所示，连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP+∠OBP=π
∴四点O，A，P，B共圆．
（2）由切割线定理可得：PA2=PE PF，∵PF=2PA，
∴PA2=PE 2PA，∴PA=2PE，PE=ED=PA．
由相交弦定理可得：AD DH=ED DF，
∴AD DH=，
∵PB=PA，
∴PB2=2ED DF．
　
[选修4-4坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．
（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；
（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．
【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，
因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．
（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，
∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13
，
因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．
　
[选修4-5不等式选讲]
24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
【考点】其他不等式的解法；函数的定义域及其求法．
【分析】（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域．
（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，由于x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值范围．
【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，
∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
　
2017年1月11日