1．1 二次函数
知识要点 二次函数的概念及表达式
二次函数
概念
注意点
概念及一
般形式
如果函数的表达式是自变量的________多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是________________(a，b，c为常数，a________)，其中x是自变量，________，________，________分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
判断二次函数需注意：①先化简再判断，若化简后原二次项抵消就不属于二次函数；②若二次项系数含有字母，则该字母可能为0，不一定属于二次函数；③y＝ax2＋bx和y＝ax2＋c(其中a≠0)同样是二次函数.
取值范围
二次函数的自变量的取值范围是________．但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有所限制，需要符合实际意义．如长度、面积、数量等首先需为非负数.
列二次函
数的表达
式
建立二次函数模型的步骤：
→→→
解题策略
(1)利用二次函数的定义求字母的值的方法：先根据最高项指数为2得出字母系数的值，若二次项系数前含有字母，则选取使二次项系数不为________的值．
(2)列二次函数的表达式时要根据实际情况确定自变量的取值范围.
(教材P4习题T1变式)下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )
A．y＝3(x＋1)2－3x2 B．y＝ax2＋bx＋c
C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋
分析：根据二次函数含x项的最高次数为2，且前面的系数不为0的定义来判断．对于A选项要注意化简后再判断，对于B选项应考虑二次项系数是否为0.
方法点拨：满足二次函数的三个条件：(1)最高次幂为二次；(2)最高次项的系数不为0；(3)属于整式函数，分母不含未知数．另外需注意要判断化简后的表达式．
如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k＝________.
分析：紧扣二次函数的定义求解，易错点为忽视k＋2≠0.
方法点拨：紧扣定义中的两个特征：①二次项系数不为零；②自变量最高次数为2.
(教材P4习题T3变式)姥姥有一张长2米、宽1米的十字绣，她在十字绣的四周加上花边做成了挂毯，上下花边宽度为x米，左右花边宽度为y米，若十字绣与挂毯是相似的长方形．21教育网
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若姥姥准备挂在客厅墙上，墙长为4米，高为2.8米，挂毯的面积为S，求S与x的函数表达式．
分析：(1)根据题意，利用相似图形对应边成比例得出y与x的函数表达式；(2)利用长方形的面积，代入求得S与x的函数表达式．21世纪教育网版权所有
方法点拨：根据实际问题确定二次函数关系式后，应注意自变量的取值范围．
1．若y＝mxm－1＋4x是关于x的二次函数，则m的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．2
2．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是( )
A．a＝1，b＝－3，c＝5
B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1
D．a＝5，b＝－3，c＝1
3．(教材P2“动脑筋”变式)某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产量y与x的函数表达式是( )21cnjy.com
A．y＝20(1－x)2 B．y＝20＋2x
C．y＝20(1＋x)2 D．y＝20＋20x2＋20x
4．周长为16的矩形的面积y与它的一条边长x之间的函数表达式为y＝________(不要求写出自变量的取值范围).21·cn·jy·com
5．某校为绿化校园，在一块长为15米，宽为10米的长方形空地上建造一个长方形花圃，如图设计这个花圃的一边靠墙(墙长大于15米)，并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为x米，花圃面积为y平方米，求y关于x的函数表达式，并写出函数自变量的范围．www.21-cn-jy.com
参考答案:
要点归纳
知识要点：二次 y＝ax2＋bx＋c ≠0 a b c 全体实数 0
典例导学
例1 C
例2 2
例3 解：(1)挂毯的长为(2＋2y)米，宽为(1＋2x)米，由题意得：＝，则y＝2x；(2)由题意可知x2＋2y≤4①；1＋2x<2.8②.由①得2＋4x≤4，x≤0.5.由②得x≤0.9，∴0当堂检测
1．A 2.D 3.C 4.8x－x2
5．解：设小路的宽为x米，那么长方形花圃的长为(15－2x)，宽为(10－x)，根据题意得：y＝(15－2x)(10－x)＝2x2－35x＋150，由解得0＜x＜7.5.2·1·c·n·j·y
1．2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
知识要点 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
知识点
基本内容
图例
作图
步骤
(1)列表：采用7点作图法，以O为对称中心左右按顺序各选取对称3点；
(2)________：将所取的点在平面直角坐标系中描出；
(3)________：将所描点用光滑的________线连接.
图象
性质
(1)开口方向：________；
(2)对称性：关于________轴对称；
(3)对称轴与x轴的交点：________；
(4)增减性：函数图象“左降”(y随x的增大而________)，“右升”(y随x的增大而________)；
(5)最值：当x＝________时，函数有最________值________.
解题策略
(1)比较函数值大小的方法：①代入法：直接将自变量的值代入到表达式中，利用得出的函数值直接比较；②性质法：适合所给自变量在对称轴的同一侧，直接根据性质比较；③图象法：先画出函数的草图，在图象上描出要比较的点，再观察比较，适合给出字母系数或给出多个点，所给点在对称轴异侧等．
(2)利用图象求函数最值时要注意：当给出自变量的取值范围求最值时，应先确定对称轴是否在所给范围内，若在，则________就是最值点；若不在，则根据函数图象的高低，求其最值.
(教材P7练习T2变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2和y＝2x2的图象，并比较它们的异同．21·cn·jy·com
分析：首先画出二次函数的图象，然后根据抛物线的开口方向和大小、对称轴、顶点坐标等特征找出相同点和不同点即可．21cnjy.com
方法点拨：注意作函数图象中列表、描点、连线三步基本方法，作y＝ax2最简单的方法是采用七点法，即找出距原点距离相等的三点，结合原点，共七点通过对称法作图即可．
已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；(2)由于函数图象经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图象关于y轴对称求出OA＝OB，即图象左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积．www.21-cn-jy.com
方法点拨：二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．2·1·c·n·j·y
1．抛物线y＝x2的顶点坐标是( )
A．(0，0) B．(1，1)
C．(－1，－1) D．(0，1)
2．二次函数y＝ax2的图象如下，则( )
A．a<0
B．对称轴为y轴
C．在对称轴的左边y随x的增大而增加
D．在对称轴的右边y随x的增大而减小
3．二次函数y＝x2图象的对称轴是 ________．当x<0时，y随x的增大而________；当x>0时，y随x的增大而________．21教育网
4．二次函数y＝ax2的图象经过点A(－3，12)和点B(3，m)，则m＝________．
参考答案：
要点归纳
知识要点：描点 连线 曲 向上 y (0，0) 减小 增大 0 小 0 顶点
典例导学
例1 解：函数图象如图所示：
相同点：①开口都是向上；②都经过坐标原点；③对称轴都是y轴；
不同点：开口的大小不同．
例2 解：(1)<
(2)∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.21世纪教育网版权所有
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1．A 2.B 3.y轴 减小 增大 4.12
第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质
知识要点 二次函数y＝ax2的图象与性质(含a＞0和a＜0)
y＝ax2(a≠0)
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，0)(有最低点)
(0，0)(有最高点)
对称轴
y轴(直线x＝0)
y轴(直线x＝0)
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
最值
当x＝0时，y最小＝0
当x＝0时，y最大＝0
草图
解题策略
(1)二次函数开口大小的判断：|a|越大，开口越小．
(2)二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象的关系：关于x轴对称，在两个函数同时出现时，注意运用其对称性解题，尤其是在求阴影部分面积时.
(教材P10练习T2变式)画出函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象，并比较它们的共同点和不同点．21世纪教育网版权所有
分析：在同一坐标系中，根据描点法，可作出函数图象，再根据图象找共同点和不同点．
方法点拨：(1)列表应以0为中心，选取x>0的几个点求出对应的y值；(2)描点要准；(3)画出y轴右边的部分，利用对称性，可画出y轴左边的部分，连线要用平滑的曲线，不能是折线．21教育网
当ab>0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是( )
分析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限；当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.21cnjy.com
方法点拨：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．2·1·c·n·j·y
抛物线y＝－4x2不具有的性质是( )
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
D．最高点是原点
分析：此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y＝ax2的基本形式，根据它的性质，进行解答．因为a＝－4＜0，所以图象开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴，最高点是原点．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．故选A.2-1-c-n-j-y
方法点拨：抛物线y＝ax2(a<0)的开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．当x＝0时，图象有最高点，y有最大值0.21*cnjy*com
(教材P10练习T1变式)抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点P(1，b)．
(1)求a的值；
(2)求这条抛物线的对称轴，顶点坐标；
(3)当x取什么值时，y随x的增大而减少？
分析：用待定系数法把点P(1，b)分别代入抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3，列出方程组，即可求出a的值，再根据函数图象的性质解答．www.21-cn-jy.com
方法点拨：函数图象的交点坐标满足两函数的表达式，通过代定系数法可求出a的值．
1．函数y＝－2x2的图象是( )
A．直线 B．双曲线
C．抛物线 D．线段
2．下列二次函数的图象符合在对称轴的左边y随x的增大而增大的表达式是( )
A．y＝2017x2 B．y＝－2017x2
C．y＝x2 D．y＝x2
3．抛物线y＝－5x2的顶点坐标是( )
A．(0，0) B．(1，1)
C．(－1，－1) D．(0，1)
4．若二次函数y＝(2018－a)x2图象的开口向下，则a的取值范围是________．
5．关于二次函数y＝－x2的描述：①顶点为；②对称轴是y轴；③有最小值；④x>0时，y随x的增大而减小．其中正确的是____________．【来源：21·世纪·教育·网】
6．已知抛物线y＝ax2经过点(2，－2)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求出这个二次函数的最大值或最小值；
(3)试说明当x<0时，函数值的变化情况．
参考答案：
要点归纳
上 下 (0，0) 底 (0，0) 高 减小 增大 增大 减小 0 0
典例导学
例1 解：函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象如图．
相同点：开口方向、顶点坐标、对称轴都相同；
不同点：开口大小不同．
抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．21·cn·jy·com
例2 D
例3 A
例4 解：(1)∵直线y＝2x－3过点P(1，b)，∴b＝2×1－3＝－1，即点P的坐标为(1，－1)．将P(1，－1)代入y＝ax2中，得a＝21·世纪*教育网
－1；
∵a＝－1，∴这条抛物线的表达式y＝
－x2，∴对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)；
(3)由于抛物线的表达式为y＝－x2的a<0，故开口向下，在对称轴的左边函数图象是上升的，故y随x的增大而增大，对称轴的右边y随x的增大而减少，即答案为x>0.
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1．C 2.B 3.A 4.a>2018 5.②④
6．解：(1)将点(2，－2)代入y＝ax2中，得－2＝4a，∴a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－x2；www-2-1-cnjy-com
(2)函数的最大值为0；
(3)当x<0时，y随x的增大而增大．
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
知识要点1 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
a>0
a<0
开口方向
向________
向________
对称轴
x＝________
x＝________
顶点坐标
________
________
增减性
当x当x>h时，y随x的增大而________.
当x当x>h时，y随x的增大而________.
最值
当x＝h时，y最小＝________.
当x＝h时，y最大＝________.
图例
解题策略
二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系：当a值相同时，它们图象的形状(含开口大小)、开口方向完全相同，只是位置发生了变化，顶点坐标由(0，0)变成了(h，0).
知识要点2 抛物线的平移
函数y＝a(x－h)2的图象可由函数y＝ax2的图象左右平移得到，规律如下：
y＝ax2y＝a(x－h)2
口诀：左加右减
对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＝－1时，y有最小值0
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
分析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.21世纪教育网版权所有
已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．21教育网
分析：根据二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标公式，先直接由定义求出h的值，再将图象上经过点的坐标代入该式，求得未知数a的值．21cnjy.com
方法点拨：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)．
(教材P10探究变式)抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．www.21-cn-jy.com
分析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．2·1·c·n·j·y
方法点拨：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．【来源：21·世纪·教育·网】
分析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积．www-2-1-cnjy-com
方法点拨：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－2017)2的图象可能是( )
2．将二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，得到二次函数的表达式是( )
A．y＝2(x＋2)2 B．y＝2(x－2)2
C．y＝2x2＋2 D．y＝2x2－2
3．(教材P12练习T1变式)二次函数y＝－2(x－1)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )21·cn·jy·com
A．向上，直线x＝－1，(－1，0)
B．向上，直线x＝1，(1，0)
C．向下，直线x＝－1，(－1，0)
D．向下，直线x＝1，(1，0)
4．关于二次函数y＝－(x－1)2，下列说法正确的是( )
A．当x＞1时，y随x的增大而减小
B．图象与y轴的交点坐标为(0，2)
C．图象的开口向上
D．图象的顶点坐标是(－1，2)
5．已知二次函数y＝－(x－a)2(a≠0)的图象过点(1，－)．
(1)求出函数的表达式并确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
参考答案:
要点归纳
知识要点1：上 下 h h (h，0) (h，0) 减小 增大 增大 减小 0 0
典例导学
例1 D
例2 解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴a(－4＋2)2＝2，∴a＝.21·世纪*教育网
例3 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝，∴平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2.21*cnjy*com
例4 解：平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，OC＝4.解方程组得或∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)，∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝×4×8－×4×2＝12.2-1-c-n-j-y
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1．D 2.A 3.D 4.A
5．解：(1)将点(1，－)代入二次函数y＝
－(x－a)2中，解得a＝0(舍去)或a＝2，
∴二次函数的表达式为y＝－(x－2)2，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，0)；【来源：21cnj*y.co*m】
(2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小.
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
知识要点1 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
y＝a(x－h)2＋k
(a≠0)
a＞0(k>0，h＞0)
a＜0(k<0，h＞0)
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(h，k)
(h，k)
对称轴
直线____________
直线____________
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.
最值
当x＝h时，y最小＝k.
当x＝h时，y最大＝k.
草图
解题策略
已知抛物线的顶点坐标求表达式：常设二次函数的模型为y＝________，通过代入顶点及一点坐标再求解.
知识要点2 抛物线的平移
内容
图例
平移
解题
策略
二次函数平移的实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式.
(教材P13探究变式)在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2＋1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的表达式是______________．【来源：21·世纪·教育·网】
分析：先求出原抛物线的顶点坐标为(0，1)，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后抛物线的顶点坐标．21·世纪*教育网
方法点拨：二次函数图象的几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”．www-2-1-cnjy-com
关于x的二次函数y＝－(x－1)2＋2，下列说法正确的是A
A．当x＞1时，y随x的增大而减小
B．图象与y轴的交点坐标为(0，2)
C．图象的开口向上
D．图象的顶点坐标是(－1，2)
分析：参照上述“知识要点1”中“a＜0”的情况画出函数y＝－(x－1)2＋2的大致图象，然后利用图形进行判断．2-1-c-n-j-y
方法点拨：熟练掌握二次函数的对称轴、增减性、开口方向等性质是解题的关键．
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．21·cn·jy·com
分析：(1)把点(3，0)的坐标代入函数表达式计算即可得解；(2)方法一：根据y1＝y2列出关于m、n的方程，然后开方整理即可得解；方法二：根据二次函数的对称性列出关于m、n的方程，然后整理即可得解．21*cnjy*com
方法点拨：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
1．二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( )
2．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m>1 B．m>0
C．m>－1 D．－13．关于二次函数y＝－(x－3)2－2的图象与性质，下列结论错误的是( )
A．抛物线开口方向向下
B．当x＝3时，函数有最大值－2
C．当x＞3时，y随x的增大而减小
D．抛物线可由y＝x2经过平移得到
4．抛物线y＝(x－1)2＋2的对称轴是________．
5．将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位得到二次函数的表达式是____________，再将所得的二次函数图象向上平移2个单位得到二次函数的表达式是____________．
6．已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象上，若x1＞x2＞2，则y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”)．21教育网
7．已知二次函数的图象经过(0，0)，且它的顶点坐标是(1，－2)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)判断点P(3，5)是否在这条抛物线的图象上．
参考答案:
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知识要点1：上 下 (h，k) (h，k) x＝h x＝h 减小 增大 增大 减小 k k a(x－h)2＋k21世纪教育网版权所有
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例1 y＝(x＋1)2＋4.
例2 A
例3 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；21cnjy.com
方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m＋n＝2.www.21-cn-jy.com
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1.D 2.B 3.D 4.x＝1
5．y＝(x＋1)2 y＝(x＋1)2＋2 6.<
7．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－2，将点(0，0)代入得a－2＝0，解得a＝2，∴抛物线的表达式为y＝2(x－1)2－2；2·1·c·n·j·y
(2)当x＝3时，y＝2×(3－1)2－2＝6，∴点P(3，5)不在这条抛物线的图象上．
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
知识要点 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)
a>0
a<0
开口方向
向________
向________
对称轴
直线________
顶点坐标
________
增减性
当x<________，y随x的增大而减小；
当x>________，y随x的增大而增大.
当x<______，y随x的增大而增大；
当x>______，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y最小＝________
当x＝－，y最大＝________
与系数相关的解题策略
①a决定开口________：a＞0?开口向上；a＜0?开口向下；
②a、b同号对称轴在y轴的________侧；a、b异号对称轴在y轴的_______侧；
③c＝0?经过原点；c>0?与y轴的交点位于x轴的________方；c<0?与y轴的交点位于x轴的________方；
④当x＝1时，y的值为________，当x＝－1时，y的值为________．当x＝2时，y的值为________；当x＝－2时，y的值为________；…
⑤当对称轴x＝1时，x＝－＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝________；当对称轴x＝－1时，－＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝________．因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝－与________的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则－________1，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与________的大小.
把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( )21世纪教育网版权所有
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
分析：先将y＝x2－3x＋5化为顶点式，再将其向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，然后将所得顶点式的表达式化简为一般式，即为y＝x2＋bx＋c.
方法点拨：二次函数由一般式化为顶点式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆向推理则相反．
在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )21cnjy.com
分析：此类可先假定y＝mx＋m中m的正负．据此判断y＝mx2＋2x＋2的大致图象．
方法点拨：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．2·1·c·n·j·y
(教材P17例6变式)函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值，并求出最值．【来源：21·世纪·教育·网】
分析：先将函数的表达式化成一般形式，再利用配方法，根据a的正负性确定函数的最值．
方法点拨：求二次函数的最值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，在求最值时要注意自变量的取值范围．21·世纪*教育网
如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，顶点坐标为(3，－2)，那么该抛物线有( )
A．最小值－2 B．最大值－2
C．最小值3 D．最大值3
二次函数y＝－x2＋2x的图象可能是 ( )
3．二次函数y＝x2－4x＋1的顶点坐标为( )
A．(2，5) B．(－2，5)
C．(2，－3) D．(－2，－3)
4．抛物线y＝－2x2＋4x－1的对称轴是直线________．
5．已知二次函数y＝－2x2＋8x－6.
(1)将函数表达式用配方法化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；
(2)它的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右边），顶点为C，求S△ABC.
参考答案:
要点归纳
知识要点：上 下 x＝－ － － － － 方向 左 右 上 下 a＋b＋c a－b＋c 4a＋2b＋c 4a－2b＋c 0 0 1 ＜ －121教育网
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例1 A
例2 D
例3 解：∵y＝x(2－3x)＝－3(x－)2＋，∴该抛物线的顶点坐标是(，)．∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，函数有最大值，最大值是.21·cn·jy·com
例4 解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c得解得∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6；www.21-cn-jy.com
(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－＝4，∴点C的坐标为(4，0)，∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6.www-2-1-cnjy-com
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1．A 2.B 3.C 4.x＝1
5．解：(1)y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2，∴顶点坐标为(2，2)，对称轴为直线x＝2.
(2)令－2(x－2)2＋2＝0，解得x1＝3，x2＝1，∴A(3，0)，B(1，0)，∴AB＝3－1＝2.∵C(2，2)，∴S△ABC＝×2×2＝2.2-1-c-n-j-y
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
知识要点 求二次函数的表达式
待定系数法
基本内容
适合条件
利用一般式
求二次函数
的表达式
(1)设：设二次函数表达式为____________；
(2)代：分别将三点代入表达式中，得________元一次方程组；
(3)解：解方程组，得________，________，________的值；
(4)返代：将a，b，c的值代入到所设的模型__________________中，得函数表达式.
已知在这个函数图象上的任意三点的坐标.
顶点式
设表达式为____________，其中(h，k)为顶点，对称轴为直线x＝h.
已知抛物线的顶点或对称轴或最值时，通常设顶点式
交点式
已知函数图象与x轴的两交点坐标(x1，0)，(x2，0)，设表达式为____________
已知抛物线与x轴的两交点坐标，通常设交点式
解题策略
求二次函数表达式的技巧：当抛物线的顶点是原点时，h＝0，k＝0，可设函数表达式为y＝ax2；当已知抛物线与y轴的交点设表达式时，可直接写出c值；当抛物线的对称轴为y轴时，可设表达式为y＝ax2＋k等.
(教材P21例1变式)已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是D21cnjy.com
A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2
分析：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把(1，0)、(2，0)和(0，2)分别代入，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解出a、b、c即可得二次函数的表达式．
方法点拨：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．
已知一条抛物线过点(3，2)和(0，1)，且它的对称轴为直线x＝3，试求这条抛物线的表达式．
分析：根据对称轴可设抛物线的顶点式，将(3，2)和(0，1)代入可得方程组，解方程组即可得抛物线的表达式．21·cn·jy·com
方法点拨：用待定系数法求二次函数表达式时，要根据题目给定的条件，设出恰当的函数表达式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其表达式为交点式来求解．
1．二次函数的图象如图，则它的表达式正确的是( )
A．y＝2x2－4x
B．y＝－x(x－2)
C．y＝－(x－1)2＋2
D．y＝－2x2＋4x
2．已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则此二次函数的表达式为( )21教育网
A．y＝－6x2＋3x＋4
B．y＝－2x2＋3x－4
C．y＝x2＋2x－4
D．y＝2x2＋3x－4
3．已知抛物线的对称轴为x＝1，且经过点(0，2)和(4，0)，则抛物线的表达式为____________．
4．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)写出顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点B，且S△OAB＝3，求点B的坐标．
参考答案:
要点归纳
y＝ax2＋bx＋c 三 a b c y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－x1)(x－x2)
典例导学
例1 D
例2 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，∴设抛物线的表达式为y＝a(x－3)2＋k.由抛物线过点(3，2)和(0，1)可得解得故抛物线的表达式为y＝－(x－3)2＋2.
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1．D 2.D
3．y＝－(x－1)2＋
4．解：(1)∵y＝x2＋bx＋c过原点，可得c＝0，又∵y＝x2＋bx过点A(2，0)，可得b＝－2，∴y＝x2－2x；21世纪教育网版权所有
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x＝1；
(3)∵OA＝2，S△OAB＝3，∴|yB|＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴yB＝3，∴3＝x2－2x，即x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.故B点坐标为(－1，3)或(3，3)．
1．4 二次函数与一元二次方程的联系
知识要点 二次函数与一元二次方程的联系
基本内容
图示
抛物线
y＝ax2＋bx＋c
与x轴的交点
(1)有两个交点?方程ax2＋bx＋c＝0有两个________的实数根?ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac________.
(2)有一个交点?方程ax2＋bx＋c＝0有两个________的实数根?方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac________.
(3)没有交点?方程ax2＋bx＋c＝0________实数根?ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac________.
已知二次函数的函数值求解自变量
已知函数y＝ax2＋bx＋c的某一个函数值y＝M，求对应自变量x的值，可转化为求解一元二次方程ax2＋bx＋c＝M.
(教材P28习题T4变式)已知二次函数y＝2x2＋bx－1.
(1)求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2＋bx－1的图象与x轴必有两个交点；
(2)若两点P(－3，m)和Q(1，m)在该函数的图象上．
①求b、m的值；
②将二次函数的图象向上平移多少单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个
公共点？
分析：(1)由Δ＝b2－4ac的正负即可判定函数图象与x贺的交点情况；(2)由抛物线的对称性可求得b、m的值；由平移后Δ＝0即可求得平移的距离．21世纪教育网版权所有
方法点拨：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点Δ＝b2－4ac的正负性决定：Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．21教育网
(教材P28习题T5变式)如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋x＋，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A．6m B．12m C．8m D．10m
分析：依题意，该二次函数与x轴的交点即为所求．令y＝0，求x的正数值．
方法点拨：已知函数y＝ax2＋bx＋c的某一个函数值y＝M，求对应自变量x的值，只需要求解一元二次方程ax2＋bx＋c＝M的结果，取适合的x的值即可．
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根
2．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴有( )
A．两个交点 B．一个交点
C．无交点 D．三个交点
3．方程x2－3x＋2＝0的两根分别为x1＝1，x2＝2，那么抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的交点的坐标为________________．21cnjy.com
4．关于x的一元二次方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第________象限．21·cn·jy·com
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象回答问题．
(1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)直接写出y随x增大而减小的x的取值范围．
参考答案:
要点归纳
知识要点：不相等 >0 相等 ＝0 没有 <0
典例导学
例1 (1)证明：∵Δ＝b2－4×2×(－1)＝b2＋8＞0，∴无论b取何值，二次函数y＝2x2＋bx－1的图象与x轴必有两个交点；www.21-cn-jy.com
(2)解：①∵点P、Q是二次函数y＝2x2＋bx－1图象上的两点，且两点纵坐标都为m，∴点P、Q关于抛物线对称轴对称，∴抛物线对称轴是直线x＝－1，∴－＝－1，解得b＝4，∴抛物线表达式为y＝2x2＋4x－1，当x＝1时，m＝2×12＋4×1－1＝5；
②设平移后抛物线的表达式为y＝2x2＋4x－1＋k，∵平移后的图象与x轴仅有一个交点，∴Δ＝16＋8－8 k＝0，解得k＝3，即将二次函数图象向上平移3个单位时，函数图象与x轴仅有一个公共点．2·1·c·n·j·y
例2 D
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1．A 2.A 3.(1，0)，(2，0) 4.一
5．解：(1)x1＝1，x2＝3；
(2)1(3)x>2.
1．5 二次函数的应用
第1课时 抛物线形二次函数
知识要点 抛物线形二次函数
知识点
步骤
关键点
根据抛物线的实际问题建模(如拱桥、运动的物体构成的抛物线等)
(1)审题；
(2)建立合适的______________；
(3)结合坐标系，利用二次函数的图象与性质求解；
(4)通过函数值、对称轴、________坐标等方面知识转化方程，达到解决实际问题的目的.
若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当(如在x轴、y轴、原点、抛物线上等)，方便求二次函数、表达式和之后的计算求解.
某桥洞是呈抛物线形状，它的截面在平面直角坐标系中如图所示，现测得水面宽AB＝16m，桥洞顶点O到水面距离为16m，当水面上升7m时，水面宽为12m.
分析：设这条抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)．由已知抛物线经过点B(8，－16)，可求出抛物线的解析式．当水面上升7m时到达CD处，则点C的纵坐标为－9，即可设点C的坐标为(x，－9)(x＞0)，将C点坐标代入抛物线解析式，可求出x，即可得水面宽CD＝2|x|m.
方法点拨：先用待定系数法求解抛物线解析式，设出相应点的坐标，根据点与抛物线的位置关系，解决实际问题．21世纪教育网版权所有
从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(米)与运动时间t(秒)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球抛出 3 秒后达到最高点．21教育网
分析：在关系式h＝30t－5t2中，通过配方法，求出h的最大值，使h取得最大值的t值即为所求．
方法点拨：解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，注意利用配方法解决问题．21cnjy.com
1．如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，则会以顶点为原点建立直角坐标系，并可求得其解析式为_____________.21·cn·jy·com
2．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y＝－x2＋x＋，则羽毛球飞出的水平距离为5米．www.21-cn-jy.com
参考答案:
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知识要点：平面直角坐标 顶点
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例1 12
例2 3
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1．顶点 y＝－x2 2.5
第2课时 二次函数实际应用中的最值问题
知识要点 二次函数与最值问题
步骤
商品利润
最大问题
①运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品的利润×销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式；
②求出这个函数的________式；
③结合自变量的取值范围，确定最大利润.
几何面积
最值问题
①利用题目中的已知条件和学过的有关公式列出关系式；
②把关系式转化为二次函数解析式；
③结合实际意义，确定自变量的________；
④把二次函数解析式转化为________式，结合自变量的取值范围，确定最值.
解题策略
解决最值应用题要注意两点：①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大(最小)”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②求解最值时，一定要考虑顶点(横、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围内.
(教材P50探究2变式)一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可以多售出4件．要使每天获得的利润最大，则每件降价的钱数为5元．21·cn·jy·com
分析：设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则y＝(135－x－100)(100＋4x)，化为顶点式，求出满足y的值最大时，x的取值范围得到答案．www.21-cn-jy.com
方法点拨：根据“每天的利润＝一件的利润×每天的销售件数”，建立函数关系式．
用长为8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是 m2(铝合金条遮光部分忽略不计)．
分析：设窗的高度为xm，则宽为m，故窗户的透光面积S＝＝－x2＋x，再根据二次函数求出最大值．2·1·c·n·j·y
方法点拨：根据面积公式列出面积关于其中一边长的二次函数关系式是解决这类问题的关键，通常在求最值的过程中还要注意自变量的取值范围．21教育网
1．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系式y＝－(x－12)2＋144(02．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．21cnjy.com
3．如图，用10m长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形养殖场，则养殖场的最大面积为12.5m2.
4．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多．【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案:
要点归纳
知识要点：顶点 取值范围 顶点
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例1 5
例2
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1．144m2 2.3 3.12.5 4.10
