上海市金山中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题

金山中学2016学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷
（考试时间：120分钟
满分：150分）
一.填空题（每小题4分，共56分）
1．已知向量，，若，则
．
2．若直线经过点，的方向向量为，则直线的点方向式方程是
.
3．已知方程表示椭圆，则的取值范围为
．
4．若直线过点且点到直线的距离最大，则的方程为
．
5．直线过点与以为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围是
．
6．已知直角坐标平面内的两个向量，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围为
．
7．已知△ABC是等腰直角三角形，，则＝
．
8．设满足约束条件，则的取值范围为___________.
9．平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为
．
10．过点作圆的切线，切点为，如果，那么的取值范围是
．
11．已知椭圆内有两点为椭圆上一点，则的最大值为
．
12．是边长为2的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的是
（写出所有正确结论的序号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤．
13．已知函数与的图像相交于、两点。若动点满足，则的轨迹方程为
．
14．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是,则
．
二.选择题（每小题5分，共20分）
15．对任意向量，下列关系式中不恒成立的是
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
16．直线和直线,则“”是“”的
(
)
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充要条件
（D）既非充分也非必要条件
17．已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系
（　
　）
（A）相离
　
（B）相切　
（C）相交且不过圆心　
（D）相交且过圆心
18.
已知是平面上一定点,
是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的
（A）重心
（B）垂心
（C）
外心
（D）
内心
(
)
三.解答题（12分＋14分＋14分＋16分＋18分，共74分）
19．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程是，边上的高所在的直线方程是
（1）求边所在的直线方程；
（2）求边所在的直线方程．
20．已知直线过点且被两条平行直线和截得的线段长为，求直线的方程．
21．若、是两个不共线的非零向量，
(1)
若与起点相同，则实数为何值时，、、三个向量的终点在一直线上
(2)
若，且与夹角为，则实数为何值时，的值最小
22．已知点；
若点在第二或第三象限，且，求取值范围；
若,求在方向上投影的取值范围；
若，求当,且的面积为12时，和的值．
23．已知椭圆的左焦点为
短轴的两个端点分别为，且为等边三角形
.
(1)
求椭圆的方程；
(2)
如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；
过点M
作
轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；
(3)
已知是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于两点，直线与椭圆交于另一点；求面积取最大值时，直线的方程．
金山中学2016学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷
（考试时间：120分钟
满分：150分
命题人：俞丹萍
审核人：沈瑾）
一.填空题（每小题4分，共56分）
1．已知向量，，若，则
．3
2．若直线经过点，的方向向量为，则直线的点方向式方程是
.
3．已知方程表示椭圆，则的取值范围为
．
4．若直线过点且点到直线的距离最大，则的方程为
．
5．直线过点与以为端点的线段AB有公共点，则直线倾斜角的取值范围是
．
6．已知直角坐标平面内的两个向量，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围为
．
7．已知△ABC是等腰直角三角形，，则＝
．
8．设满足约束条件，则的取值范围为___________.
9．平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为
．
10．过点作圆的切线，切点为，如果，那么的取值范围是
．
11．已知椭圆内有两点为椭圆上一点，则的最大值为
．
12．是边长为2的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的是
（写出所有正确结论的序号）
①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤．
①④⑤
13．已知函数与的图像相交于、两点。若动点满足，则的轨迹方程为
．
14．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是,则
．
二.选择题（每小题5分，共20分）
15．对任意向量，下列关系式中不恒成立的是
（
B
）
（A）
（B）
（C）
（D）
16．直线和直线，则“”是“”的
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（
C
）
（C）充要条件
（D）既非充分也非必要条件
17．已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系
（　C　）
（A）相离
　
（B）相切　
（C）相交且不过圆心　
（D）相交且过圆心
18.
已知是平面上一定点,
是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的
（A）重心
（B）垂心
（C）
外心
（D）
内心
(
B
)
三.解答题（12分＋14分＋14分＋16分＋18分，共74分）
19．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程是，边上的高所在的直线方程是
（1）求边所在的直线方程；
（2）求边所在的直线方程。
解：（1）由题意，直线的一个法向量是AC边所在直线的一个方向向量
AC边所在直线方程为2x+y－5=0。
（2）y=1是AB中线所在直线方程
设AB中点P，则B满足方程
，得，
P(－1,1)
则AB边所在直线方程为。
20．已知直线过点且被两条平行直线和截得的线段长为，求直线的方程。
解：与之间的距离
设直线与两平行直线的夹角为，
则
①当直线斜率存在时，设，即
则：
即直线的方程为：
②当直线斜率不存在时，
符合
所以直线的方程为：或
21．若、是两个不共线的非零向量，
（1）若与起点相同，则实数为何值时，、、三个向量的终点在一直线上
（2）若，且与夹角为，则实数为何值时，的值最小
解：（1），，
即
；
（2）
，。
22．已知点；
若点在第二或第三象限，且，求取值范围；
若,求在方向上投影的取值范围；
若，求当,且的面积为12时，和的值。
解:
(1)
点在第二或第三象限,
(2)
,
在方向上投影为
在方向上投影的范围为
(3)
,
,
已知,,
点M到直线距离为
,,解得,.
23.
已知椭圆的左焦点为
短轴的两个端点分别为且为等边三角形
.
(1)
求椭圆的方程；
(2)
如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；
过点M
作
轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；
(3)
已知是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于两点，直线与椭圆交于另一点；求面积取最大值时，直线的方程.
解：（1）由题意，得
故椭圆C的方程为
（2）设则由条件，知
从而
于是由
再由点M在椭圆C上，得
所以
进而求得直线NH的方程:
由
进而
因此以线段NJ为直径的圆的方程为：
（3）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C相切于点A，不合题意；当直线的斜率为0时，可以求得
当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为则点O到直线的距
离为从而由几何意义，得
由于故直线的方程为可求得它与椭圆C的交点R的坐标为
于是
当且仅当
时，上式取等号.
因为故当时，；
此时直线的方程为：
（也可写成
）