上海市金山中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题

金山中学2016学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷
（考试时间：90分钟　满分：100分）
一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．若全集且,则集合___________．
2．已知集合,
,则________．
3．函数则___________．
4．函数的定义域是__________________．
5．设函数,若,则实数为________．
6．若，则关于的不等式的解集是_________________．
7．已知，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是
______________．
8．若关于的不等式的解集为，则=_________．
9．若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是
____________．
10．已知集合，，且，则实数的取值范围是_________．
11．设函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是_________
．
12．满足不等式的实数的集合叫做的邻域，若的邻域是一个关于原点对称的区间，则的取值范围是_________．
二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.
13．若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是
（
）
（A）锐角三角形
（B）直角三角形
（C）钝角三角形
（D）等腰三角形
14．设取实数，则与表示同一个函数的是
（
）
（A）
,
（B）
，
（C）,
（D），
15．若和均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那
么函数解析式为
，值域为的“孪生函数”共有
(
)
（A）4个
（B）6个
（C）8个
（D）9个
三、（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．(本小题满分8分)解不等式组
18．(本小题满分8分)已知集合，，若，，求的值
19．(本小题满分10分)已知集合，
集合，求
20．(本小题满分12分)
本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分。
我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地.如图，点在上，点在上，且点在斜边上．已知，米，米，.设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）.
（1）试用表示，并求的取值范围；
（2）求总造价关于面积的函数；
（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）
21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分。
设函数，函数，，其中为常数，且。令函数为函数与的积。
（1）求函数的表达式，并求其定义域；
（2）当时，求函数的值域；
（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。
金山中学2016学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷答案
（考试时间：90分钟　满分：100分　）
一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．若全集且,则集合___________．
2．已知集合,
,则________．
3．函数则_______
4．函数的定义域是__________________．
5．设函数,若,则实数为________．
6．若，则关于的不等式的解集是_________________。
7．已知，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是______________
8．若关于的不等式的解集为，则=_________
9．若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是
____________
10
．已知集合，，且，则实数的取值范围是_________
11．设函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是_________
12．满足不等式的实数的集合叫做的邻域，若的邻域是一个关于原点对称的区间，则的取值范围是_________
二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.
13．若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是
（
D
）
（A）锐角三角形
（B）直角三角形
（C）钝角三角形
（D）等腰三角形
14．设取实数，则与表示同一个函数的是（
B
）
（A）
,
（B）
，
（C）,
（D），
15．若和均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是
（
A
）
（A）
（B）
（C）
（D）
16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那
么函数解析式为
，值域为的“孪生函数”共有
(
D
)
（A）4个
（B）6个
（C）8个
（D）9个
三、（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．(本小题满分8分)解不等式组．
解：原不等式组等价于
2分
得到
6分
所以解集为
8分
18．(本小题满分8分)已知集合，，若，，求的值
解：由题意得，，代入中方程得，故，
由和得：
代入中方程得：，
所以
19．(本小题满分10分)已知集合，
集合，求
解：，故，解得或，
集合，对分类：
(1)时恒成立；(2)时，，解得
综合得：
故
20．(本小题满分12分)我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地.如图，点在上，点在上，且点在斜边上．已知，米，米，.设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）.
（1）试用表示，并求的取值范围；
（2）求总造价关于面积的函数；
（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）.
解：1）在中，显然，，
，
矩形的面积，
于是为所求.
………………4分
（2）
矩形健身场地造价,
又的面积为，即草坪造价，
由总造价，，.
………………8分
（3），
当且仅当即时等号成立，
此时，解得或，
答：选取的长为12米或18米时总造价最低.
………………12分
21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分。
设函数，函数，，其中为常数，且。令函数为函数与的积。
（1）求函数的表达式，并求其定义域；
（2）当时，求函数的值域；
（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。
解：（1）由条件，函数，因为的定义域为，故的定义域为。
（2）令，则有，得,。
（3）假设存在这样的自然数，满足条件。令，代换可得。
因为的定义域为，则有。
要满足值域为，则要满足。
由于当且仅当等号成立，此时恰好取得最大值，则由，
故。
又在区间上是随着的增大而减小，在区间上是着的增大而增大，
由于，。则有，由于，得。
故满足条件的所有自然数的集合为。