课件11张PPT。七年级数学下册（XJ）课件11张PPT。七年级数学下册（XJ）课件11张PPT。七年级数学下册（XJ）课件21张PPT。七年级数学下册（XJ）课件16张PPT。七年级数学下册（XJ）课件17张PPT。3.1 多项式的因式分解第3章 因式分解导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优七年级数学下（XJ）
教学课件1.理解因式分解的意义和概念;
2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？6＝2×3问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式？导入新课回顾与思考 对于整数 6 与 2，有整数 3 使得 6＝2×3，我们把2叫作6的一个因数．同理，3也是6的一个因数．讲授新课 一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式．为什么要把一个多项式因式分解呢？ 万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因
此， 砖是基本建筑块之一. 在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式．有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为例如 同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．例1 检验下列因式分解是否正确？ (1) x2 y-xy 2=xy(x-y)；(2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1);(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2).用什么方法检验
因式分解是否
正确呢？分析：看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等解：（1）因为xy(x-y)=x2 y-xy 2，所以因式分解 x2 y-xy2 =xy(x-y)正确；
(2)因为(2x+1)(2x-1)= 4x2-1,所以因式分解 2x2-1=(2x+1)(2x-1)错误；
（3）因为(x+1)(x+2)= x2+3x+2，所以因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确.x2-1 (x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1 = (x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即练一练:1.把下列多项式因式分解：2.求4，6，14的最大公因数.4=1×2×26=1×2×314=1×2×7最大公因数是2 当堂练习3.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
(4)x2+4x+4=(x+2)2
(5)2πR+ 2πr= 2π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解aabba – ba + ba2– b2 =（a + b)（a – b）4.手工课上，老师给南韩兵同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助南韩兵同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？ 因式分解要注意以下几点: 3.要分解到不能分解为止. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.1.分解的对象必须是多项式.因式分解与整式乘法是互逆过程.课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件14张PPT。3.2 提公因式法第3章 因式分解导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优七年级数学下（XJ）
教学课件第1课时 提单项式公因式1.理解公因式及提公因式法的概念.（重点）
2.能运用提公因式法分解因式.（难点）问题：整数18，42，60的最大公因数是什么？18=6×342=6×760=6×106思考：多项式 z2+yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什么？每一项中均有因式 zz2的因式是 z 和 z
yz的 因式是 y 和 z回顾与思考导入新课下列每个式子含字母的因式有哪些？
xy，xz，xw由此看出，xy, xz , wx有公共的因式 x ．几个多项式的公共的因式称为它们的公因式．如何把多项式xy+xz+xw因式分解？讲授新课 像上面那样，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫提公因式法.即：把多项式各项的公因式提到括号外面分解因式的方法，叫提公因式法.注意例1中括号内的第3项为1分析：第3项的因式有哪些？提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找公因式
第二步，提公因式由于x = x · 1，因此x是x的因式．
由此看出，x是这个多项式各项的公因式．找出公因式
提取公因式得到另一个因式
写成积的形式 分析：先确定公因式的系数，再确定字母.系数为4和6，最大公因数是2；两项的字母部分x2与x都含有字母x，且x的最低次数是1，所以公因式为2x.练一练：分解因式：3x2-6xy+3x不能漏掉1解：原式=3x(x-2y+1)公因式中含有哪些字母？它们的指数取多少？ 4xy2 是公因式，把 4xy2 提出后，括号内的各项是什么样子？分析：公因式的系数如何确定？解:找多项式的公因式的方法（1）系数——各项系数的最大公因数;（2）字母——各项相同字母；（3）指数——各项相同字母的最低次幂.一看系数 二看字母 三看指数1.下列各多项式的公因式是什么？ 3aa23mn-2xy(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)9 m 2n-6mn
(5)-6 x 2 y-8 xy 2 当堂练习2.把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.解：原式==当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数.提负号，要变号2.确定公因式的方法：
一看系数 二看字母 三看指数1.提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式.3.用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉；（3）多项式的首项取正号.课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件12张PPT。3.2 提公因式法第3章 因式分解导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优七年级数学下（XJ）
教学课件第2课时 提多项式公因式1.会找多项式公因式.（重点）
2.能运用提公因式法分解因式.（难点）请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=_____（a－2）；
（2）y－x=_____ （x－y）；
（3）b+a=______（a+b）；
（4）-m－n=_______（m+n）；
（5）(a-b)3 = (-a+b)3
回顾与思考导入新课--+--下列多项式中各项的公因式是什么？解：（1）2am(x+1)，4bm(x+1)与8cm(x+1)的公因式是2m(x+1)；
（2）b-3a可以看作-(3a-b)，所以2x(3a-b)与y(b-3a)的公因式是3a-b.讲授新课提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.例1 把下列多项式因式分解：解：原式 分析： 第2项中的2－x可以写成 -(x-2) ，
于是x－2是各项的公因式．解：原式 （1）（2）例2 把 因式分解.解：公因式中含有什么式子？因此，－6xy(x+y) 是各项的公因式．解：例3 把 因式分解．分析：公因式的系数是多少?公因式中含哪些字母因式？它们的指数各是多少？解： (1) a(m-6)+b(m-6)1.把下列各式进行因式分解：
(1) a(m-6)+b(m-6) (2) 3(a-b)+a(b-a)=(m-6)(a+b)(2) 3(a-b)+a(b-a)=3(a-b)-a(a-b)=(a-b)(3-a)当堂练习2.分解因式：(x-y)2+y(y-x).解法1：(x-y)2+y(y-x)
=(x-y)2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).解法2：(x-y)2+y(y-x)
=(y-x)2+y(y-x)
=(y-x)(y-x+y)
=(y-x)(2y-x).课堂小结因式
分解定义am+bm+mc=m(a+b+c)方法提公因式法公式法确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式（下节课学习）注意1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号见《学练优》本课时练习课后作业课件18张PPT。3.3 公式法第3章 因式分解导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优七年级数学下（XJ）
教学课件第1课时 利用平方差公式进行因式分解1.能说出平方差公式的结构特征．（重点）
2.能较熟练地应用平方差公式分解因式．（难点）1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2从左边到右边的这个过程叫___________.整式乘法2.反过来，a2-b2=__________.(a+b)(a-b)从左边到右边的这个过程叫___________.分解因式因此，a2-b2= (a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式.思考：如何把x2-25进行因式分解？回顾与思考导入新课如何把 x2-25 因式分解？平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2，把这个乘法公式从右到左地使用，得
a2-b2=(a+b)(a-b) 因此 x2-25= x2-52= (x+5)(x-5) .讲授新课 像上述例子那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做公式法.√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√两数是平方，
减号在中央．（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1)分析: 可以用平方差公式吗？因为4x2 可以写成(2x)2 ,所以能用平方差公式分解.怎么化成平方差公式的形式？例3 把 因式分解.分析：可以用平方差公式吗？注意：因式分解中必须进行到每个因式都不能分解为止. 例5 把x3y2-x5 因式分解. 解：x3y2-x5= x3(y2-x2)= x3(y+x)(y-x)分析 : x3y2-x5有公因式 x3，应先提出公因式，再用公式进行因式分解.问题：能直接用公式分解因式吗？又如：把-4ax2+16ay2因式分解解：-4ax2+16ay2= -4a(x2-4y2)= -4a(x+2y)(x-2y)1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式？2.判断正误: (1) x2+y2=(x+y)(x-y) ( )(2) x2-y2=(x+y)(x-y) ( ) (3) -x2+y2=(-x+y)(-x-y) ( )(4) -x2-y2=-(x+y)(x-y) ( )√×××不能能能不能当堂练习（4）a3-ab2a(a+b)(a-b)（3）9x4-36y29(x2+2y)(x2-2y)（5）25x4y2-x23.把下列各式因式分解:（6）2a(x2+1)2-2ax2x2(5xy+1)(5xy-1)2a(x2+x+1)(x2-x+1)4. 手表表盘的外圆直径D=3.2cm，内圆直径d=2.8cm，在外圆与内圆之间涂有防水材料.试求涂上防水材料 的圆环的面积(结果保留π).怎样计算较简便？ 5. 如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82－4×1.62＝6.82－ (2×1.6)2＝6.82－3.22＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)＝10×3.6＝36 (cm2)答：剩余部分的面积为36 cm2.6.你知道992-1能否被100整除吗？解：因为 992-1=(99+1)(99-1)
=100×98，所以992-1能否被100整除.能力提升：n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？解:原式＝（2n+1+5）(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
所以， （2n+1)2-25能被4整除.分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法;
(2)看是否能用公式法 ;
(3)务必检查是否分解到底了;多项式具有如下特征时，可以运用平方差公式因式分解：1.多项式是二项式或可以成二项式；
2.两项符号相反；
3.每项都可以写成某数或某式的平方形式.提公因式后不要漏掉“1”或“-1”这一项.(4)答案要写成最简形式.课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。3.3 公式法第3章 因式分解导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优七年级数学下（XJ）
教学课件第2课时 利用完全平方公式进行因式分解1.理解并掌握用完全平方公式分解因式并． （重点）
2.灵活应用公式法分解因式解决实际问题． （难点）1.因式分解我们学了哪些方法？提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)2.因式分解的步骤和应注意的问题有哪些？(1) 16m2-n2(2) ax4-ax2 (3) x4-16分解要彻底先提公因式（4m+n)(4m-n)ax2(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)(x2+4)回顾与思考导入新课我们学过完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，
(a-b)2= a2-2ab+b2 . x2+4x+4= x2+2·x·2+22= (x+2)2 .如何把 x2 +4x +4因式分解？首项是x2,末项是22，而4x是2·x·2符合公式特征，用完全平方公式进行因式分解.讲授新课完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍. 完全平方式:简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a- b)2=a2-2ab+b2.a2+2ab+b2 =(a+b)2
a2- 2ab+b2 =(a-b)2完全平方公式整式乘法因式分解完全平方式解：解:解:分析：可以用平方差公式吗？把（a+b）看成一个整体，就能用完全平方公式分解.解: 因式分解中必须进行到每个因式都不能再分解为止. 例5 把下列完全平方公式分解因式：
1002－2×100×99+992 解：原式=（100－99)2
=1.本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.1.填空（若某一栏不适用，填入“不适用”）.(x-5)2不适用a表示x,b表示5a表示1,b表示 (2x-3y)2a表示2x,b表示3y不适用当堂练习2.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36，
（2）4a2-4a+1. （2）原式=（2a）2 － 2·2a·1+（1）2
=（2a － 1）2.解：（1）原式 =x2－2·x·6+（6）2
=（x－6）25.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.解:(1)原式＝(2x)2＋2?2x?1＋1＝(2x+1)2××课堂小结完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特点（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.见《学练优》本课时练习课后作业课件19张PPT。要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 小结与复习第3章 因式分解学练优七年级数学下（XJ）
教学课件1．因式分解的意义
把一个多项式化成几个整式的 的形式，叫做多项式的因式分解．
因式分解的过程和 的过程正好相反．
2．用提公因式法分解因式
公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的
；字母取多项式各项 的字母；各字母指数取次数最 的．
积整式乘法最大公约数相同低要点梳理
一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到 外面，将多项式写成 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
[注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时先要考虑多项式的各项有无公因式．括号因式乘积3．用公式法分解因式
把 反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．这两个公式是：
逆用平方差公式和完全平方公式
乘法公式(a＋b)(a－b)＝ .a2－b2=a2±2ab＋b2(a±b)24.因式分解的步骤
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先 ；
(2)在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用 公式分解因式；三项式可以尝试运用 公式分解因式；
(3)分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能
为止．提取公因式平方差两数和(差)的再分解 例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：
(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;
(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;
(3)x2-6x+9=(x-3)2;
(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.考点讲练解：（1）不是，因为最后不是做乘法运算，不是积
的形式；
（2）不是，因为从左边到右边是做乘法运算；
（3）是；
（4）不是，因为令x=2,y=1,左边=10，右边=32，不
是恒等变形. 因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.1.下列变形，是因式分解的是（ ）
A. a(x+y)=ax+ay
B. x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1)
C. am2-a=a(m+1)(m-1)
D. m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3.
C(1) 8a3b2 + 12ab3c；例2 把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.例3 把下列多项式分解因式. 2.把下列多项式分解因式（先说说使用的方法）.一提；二套.一提；二套.一提；二套.解：例4 分解因式： …………一提（公因式）……二套（公式）三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）分解因式的一般步骤例5 把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2 ； 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；（2）（a+b)2-12(a+b)+36.(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.3.把下列多项式分解因式课堂小结公式法因式分解公式法平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)步骤一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2提公因式法见《学练优》本章热点专练课后作业课件16张PPT。七年级数学下册（XJ）课件20张PPT。七年级数学下册（XJ）
