2017年天津市和平区高考数学模拟试卷（解析版）

2017年天津市和平区高考数学模拟试卷
　
一、选择题
1．设全集U={1，3，5，7，9}，A={1，7}，B={1，5，9}，则B∩（?UA）等于（　　）
A．{1，5} B．{1，9} C．{5，9} D．{7，9}
2．函数f（x）=2cos（）（x∈R）的最小正周期为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
3．已知平面向量=（1，﹣1），=（1，1），则向量﹣等于（　　）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（1，0） D．（2，﹣1）
4．若i是虚数单位，则计算的结果为（　　）
A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i
5．函数f（x）=的定义域是（　　）
A．（1，2） B．（1，2] C．[1，2] D．（1，+∞）
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（　　）
A．14 B．20 C．30 D．55
7．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9=a72，a2=1，则a1等于（　　）
A． B． C． D．2
8．已知椭圆=1（a＞5）的焦点为F1，F2，且离心率e=，若点P在椭圆上，|PF1|=4，则|PF2|的值为（　　）
A．2 B．6 C．8 D．14
9．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦距为10，一条渐近线为y=x，则该双曲线的方程为（　　）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
10．抛物线y2=8x的准线方程是（　　）
A．x=2 B．y=2 C．x=﹣2 D．y=﹣2
11．下列函数①y=2x；②y=log0.5（x+1）；③y=；④y=|x﹣1|，其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
12．直线l1：ax﹣2y+2=0与直线l2：x+（a﹣3）y+1=0平行的充要条件是（　　）
A．a=1 B．a=2 C．a=6 D．a=1或a=2
　
13．已知a＞0，b＞0，且满足=1，则ab的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
14．将函数y=sin（x+）（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（　　）
A．y=sin（x+） B．y=sin（x﹣） C．y=sin（x+） D．y=sin（x﹣）
15．已知sinα+cosα=﹣，则sin2α的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（　　）
A．6 B．12 C．18 D．36
17．在区间[﹣2，3]上随机取一个数x，则x∈[﹣1，1]的概率是（　　）
A． B． C． D．
18．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
19．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
20．以点（2，﹣1）为圆心，且被直线x+y﹣6=0截得弦长为的圆的方程是（　　）
A．（x+2）2+（x﹣1）2=40 B．（x﹣2）2+（x+1）2=40 C．（x+2）2+（x﹣1）2=20 D．（x﹣2）2+（x+1）2=20
21．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]
22．已知m．n是空间两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为假命题的是（　　）
A．m⊥α，n∥α?m⊥n B．m⊥α，n⊥α?m∥n
C．m⊥α，n⊥m?n∥α或n?α D．m∥α，n⊥m?n⊥α或n∥α或n?α
23．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BB1=4，则BB1与平面ACD1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
24．已知x，y的取值如表所示，
x
0
1
2
3
4
y
2.3
3.9
4.6
5.1
6.6
从所得散点图分析，y与x线性相关，且=0.98x+a，则a的值为（　　）
A．2.45 B．2.54 C．2.64 D．3.04
25．函数f（x）=2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为（　　）
A．25，﹣2 B．50，14 C．50，﹣2 D．50，﹣14
　
三、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
26．已知向量，满足||=1，||=6，且?（）=2，则的值为　　，与的夹角是　　．
27．已知函数f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2，且曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率等于3，则曲线y=f（x）在该点处的切线方程为　　．
28．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+2a4=a6，S3=3，则a9=　　，S10=　　．
29．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x+1）＜f（5）的x的所在区间是　　．
30．如图，在救灾现场，搜救人员从A点出发沿正北方向行进x米到达B处，探测到一个生命迹象，然后从B处沿南偏东75°行进30米到达C处，探测到另一个生命迹象，如果C处恰好在A处的北偏东60°方向上，那么x=　　米．
　

2017年天津市和平区高考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．设全集U={1，3，5，7，9}，A={1，7}，B={1，5，9}，则B∩（?UA）等于（　　）
A．{1，5} B．{1，9} C．{5，9} D．{7，9}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．
【解答】解：∵全集U={1，3，5，7，9}，A={1，7}，B={1，5，9}，
∴?UA={3，5，9}，
则B∩（?UA）={5，9}，
故选：C．
　
2．函数f（x）=2cos（）（x∈R）的最小正周期为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．
【解答】解：函数f（x）=2cos（）（x∈R）
函数的周期T=，
故选D
　
3．已知平面向量=（1，﹣1），=（1，1），则向量﹣等于（　　）
A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（1，0） D．（2，﹣1）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】由平面向量=（1，﹣1），=（1，1），利用向量的坐标运算法则能求出向量﹣．
【解答】解：∵平面向量=（1，﹣1），=（1，1），
∴向量﹣=（）﹣（）=（1，﹣2）．
故选：B．
　
4．若i是虚数单位，则计算的结果为（　　）
A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解： ===﹣1+3i，
故选：C．
　
5．函数f（x）=的定义域是（　　）
A．（1，2） B．（1，2] C．[1，2] D．（1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
log0.5（x﹣1）≥0，
即0＜x﹣1≤1，
解得：1＜x≤2，
故函数的定义域是（1，2]，
故选：B．
　
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（　　）
A．14 B．20 C．30 D．55
【考点】程序框图．
【分析】根据框图，可得S=12+22+32+42=30．故选C
【解答】解：执行程序框图有
S=0，i=1
第1次执行循环体，S=1，i=2
不满足条件i＞4，第2次执行循环体S=5，i=3
不满足条件i＞4，第3次执行循环体S=14，i=4
不满足条件i＞4，第4次执行循环体S=30，i=5
满足条件i＞4，输出S的值为30．
故选：C．
　
7．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9=a72，a2=1，则a1等于（　　）
A． B． C． D．2
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．
【解答】解：∵等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9=a72，
∴=，可得a6=a7，∴公比q=
a2=1，则a1===．
故选：B．
　
8．已知椭圆=1（a＞5）的焦点为F1，F2，且离心率e=，若点P在椭圆上，|PF1|=4，则|PF2|的值为（　　）
A．2 B．6 C．8 D．14
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆的焦点在x轴上，b=，c=，则离心率e==，即=，解得：a2=9，a=3，根据椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=6，即|PF2|=2．
【解答】解：椭圆=1（a＞5），椭圆的焦点在x轴上，b=，c=，
则离心率e==，即=，解得：a2=9，a=3
∴椭圆的长轴长为2a=6，
由椭圆的定义可知：，|PF1|+|PF2|=6，即|PF2|=2，
故选A．
　
9．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦距为10，一条渐近线为y=x，则该双曲线的方程为（　　）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程为y=±x，得到a=2b，再根据a2+b2=c2=25，即可求出，
【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，
又已知一条渐近线方程为y=x，
∴=，a=2b，
又双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦距为10，
∴c=5，
又a2+b2=c2=25，
解得a2=20，b2=5，
∴=1，
故选：A
　
10．抛物线y2=8x的准线方程是（　　）
A．x=2 B．y=2 C．x=﹣2 D．y=﹣2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的准线方程求解即可．
【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣=﹣2，
故选：C
　
11．下列函数①y=2x；②y=log0.5（x+1）；③y=；④y=|x﹣1|，其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】逐一分析给定四个函数在区间（0，1）上的单调性，可得答案．
【解答】解：函数①y=2x在区间（0，1）上单调递增；
②y=log0.5（x+1）在区间（0，1）上单调递减；
③y=在区间（0，1）上单调递增；
④y=|x﹣1|在区间（0，1）上单调递减；
故选：D
　
12．直线l1：ax﹣2y+2=0与直线l2：x+（a﹣3）y+1=0平行的充要条件是（　　）
A．a=1 B．a=2 C．a=6 D．a=1或a=2
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由直线l1：ax﹣2y+2=0与直线l2：x+（a﹣3）y+1=0平行，得到a（a﹣3）=﹣2，且a≠2，求解即可．
【解答】解：因为直线l1：ax﹣2y+2=0与直线l2：x+（a﹣3）y+1=0平行，
所以a（a﹣3）=﹣2，且a≠2，解得a=1．
故选：A．
　
13．已知a＞0，b＞0，且满足=1，则ab的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且满足=1，
∴1≥，化为：ab≤3，当且仅当a=，b=2时取等号．
则ab的最大值是3．
故选：B．
　
14．将函数y=sin（x+）（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（　　）
A．y=sin（x+） B．y=sin（x﹣） C．y=sin（x+） D．y=sin（x﹣）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．
【解答】解：把函数y=sin（x+）的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为：
y=sin[（x+）+]=sin（x+）．
故选：C．
　
15．已知sinα+cosα=﹣，则sin2α的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】二倍角的正弦．
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：∵sinα+cosα=﹣，
∴两边平方可得：1+sin2α=，
∴sin2α=．
故选：D．
　
16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（　　）

A．6 B．12 C．18 D．36
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体为四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体为四棱锥，
体积V==×2×3×3=6，
故选：A
　
17．在区间[﹣2，3]上随机取一个数x，则x∈[﹣1，1]的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】本题利用几何概型求概率，再利用解得的区间长度与区间[﹣2，3]的长度求比值即得．
【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，
∴﹣1≤x≤1的概率为：
P（﹣1≤x≤1）==，
故选：B．
　
18．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数n==15，再求出其和为奇数包含的基本事件个数m==9，由此能求出其和为奇数的概率．
【解答】解：从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，
基本事件总数n==15，
其和为奇数包含的基本事件个数m==9，
∴其和为奇数的概率p==．
故选：D．
　
19．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求出a，b，c的大小即可．
【解答】解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，
则a＜c＜b，
则选：C．
　
20．以点（2，﹣1）为圆心，且被直线x+y﹣6=0截得弦长为的圆的方程是（　　）
A．（x+2）2+（x﹣1）2=40 B．（x﹣2）2+（x+1）2=40 C．（x+2）2+（x﹣1）2=20 D．（x﹣2）2+（x+1）2=20
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出圆心到直线的距离，利用以点（2，﹣1）为圆心，且被直线x+y﹣6=0截得弦长为，得出半径，即可求出圆的方程．
【解答】解：圆心到直线的距离d==，
∵以点（2，﹣1）为圆心，且被直线x+y﹣6=0截得弦长为，
∴r==，
∴以点（2，﹣1）为圆心，且被直线x+y﹣6=0截得弦长为的圆的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=20，
故选D．
　
21．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．
【分析】由g（x）=f（x）﹣a有三个零点可得f（x）=a有三个零点，即y=f（x）与y=a的图象有san个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．
【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣a有两三个零点，
∴f（x）=a有三个零点，即y=f（x）与y=a的图象有三个交点，
由于函数f（x）=的图象如图：
函数g（x）=f（x）﹣a有三个零点，f（x）=﹣（x+1）2+1≤1．
可得0＜a＜1．
故选：A．

　
22．已知m．n是空间两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为假命题的是（　　）
A．m⊥α，n∥α?m⊥n B．m⊥α，n⊥α?m∥n
C．m⊥α，n⊥m?n∥α或n?α D．m∥α，n⊥m?n⊥α或n∥α或n?α
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由可知的线面关系逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由n∥α，可知α内有直线l∥n，又m⊥α，∴m⊥l，则m⊥n，故A正确；
由m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质可得m∥n，故B正确；
由m⊥α，n⊥m，可得n∥α或n?α，故C正确；
由m∥α，n⊥m，可得n与α相交或n∥α或n?α，故D错误．
　
23．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BB1=4，则BB1与平面ACD1所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．设平面ACD1的法向量为=（x，y，z），则，设BB1与平面ACD1所成角为θ，利用sinθ=||=即可得出．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，4），
B（2，2，0），B1（2，2，4），=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，4），
=（0，0，4）．
设平面ACD1的法向量为=（x，y，z），则，解得，
取=（2，2，1），
设BB1与平面ACD1所成角为θ，
则sinθ=||===．
故选：A．

　
24．已知x，y的取值如表所示，
x
0
1
2
3
4
y
2.3
3.9
4.6
5.1
6.6
从所得散点图分析，y与x线性相关，且=0.98x+a，则a的值为（　　）
A．2.45 B．2.54 C．2.64 D．3.04
【考点】线性回归方程．
【分析】根据回归直线=0.98x+a过样本中心点（，），求出a的值即可．
【解答】解：根据表中数据得，
=×（0+1+2+3+4）=2，
=×（2.3+3.9+4.6+5.1+6.6）=4.5；
且回归直线=0.98x+a过样本中心点（2，4.5），
所以a=4.5﹣0.98×2=2.54．
故选：B．
　
25．函数f（x）=2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为（　　）
A．25，﹣2 B．50，14 C．50，﹣2 D．50，﹣14
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求导，分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数f（x）=2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值．
【解答】解：∵函数f（x）=2x3+9x2﹣2，
∴f′（x）=6x2+18x，
当x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]时，f′（x）＞0，函数为增函数；
当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＜0，函数为减函数；
由f（﹣4）=14，f（﹣3）=25，f（0）=﹣2，f（2）=50，
故函数f（x）=2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为50，﹣2，
故选：C．
　
三、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
26．已知向量，满足||=1，||=6，且?（）=2，则的值为　3　，与的夹角是　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知展开向量等式可得的值；再由数量积公式求得与的夹角．
【解答】解：由||=1，||=6，且?（）=2，
得，即，∴；
设与的夹角是θ，则cosθ=，
∴．
故答案为：3；．
　
27．已知函数f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2，且曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率等于3，则曲线y=f（x）在该点处的切线方程为　3x﹣y﹣1=0　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出原函数的导函数，利用曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率等于3，得到f′（x0）=3，x0=1，再求得f（x0）的值，代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2，得f′（x）=3x2﹣6x+6，
∵曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率等于3，
∴f′（x0）=3，∴x0=1
又f（x0）=2．
∴曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），
即3x﹣y﹣1=0．
故答案为：3x﹣y﹣1=0．
　
28．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+2a4=a6，S3=3，则a9=　15　，S10=　80　．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a1+2a4=a6，S3=3，
∴，
解得a1=﹣1，d=2，
∴a9=a1+8d=﹣1+16=15，
S10=．
故答案为：15，80．
　
29．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x+1）＜f（5）的x的所在区间是　（﹣3，2）　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f（2x+1）＜f（5）得f（|2x+1|）＜f（5），解该绝对值不等式便可得出x的取值范围．
【解答】解：∵f（x）为偶函数，
∴由f（2x+1）＜f（5）得f（|2x+1|）＜f（5）．
又f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴|2x+1|＜5，
解得﹣3＜x＜2，
∴x的取值范围是（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
　
30．如图，在救灾现场，搜救人员从A点出发沿正北方向行进x米到达B处，探测到一个生命迹象，然后从B处沿南偏东75°行进30米到达C处，探测到另一个生命迹象，如果C处恰好在A处的北偏东60°方向上，那么x=　10．　米．

【考点】解三角形．
【分析】AB=x，∠ABC=75°，∠A=60°，∠ACB=180°﹣135°=45°，由正弦定理可知： =，即可求得x的值．
【解答】解：由题意可知：AB=x，∠ABC=75°，∠A=60°，∠ACB=180°﹣135°=45°，
由正弦定理可知： =，
即=，解得：x=10，
故答案为：10．
　

2017年1月15日