2017年天津市河西区高考数学模拟试卷（解析版）

2017年天津市河西区高考数学模拟试卷
　
一、选择题（共25分，每个3分）
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∪B等于（　　）
A．{1，3} B．{1，2，3，4，5} C．{2，4} D．{1，3，4}
2．函数y=sinx?cosx，x∈R的最小正周期为（　　）
A．2 B．π C．2π D．
3．若向量=（2，3），=（﹣1，2），则2﹣的坐标为（　　）
A．（1，5） B．（1，1） C．（5，4） D．（3，5）
4．i是虚数单位，复数等于（　　）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
5．函数f（x）=的定义域为（　　）
A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）
6．如图所示，程序框图的输出结果是（　　）

A． B． C． D．
7．若变量x、y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．3 D．7
8．椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的焦点为（2，0），则此双曲线的渐近线方程是（　　）
A．y=x B．y= C．y= D．y=x
10．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
11．下列函数中是偶函数的是（　　）
A．y=x3 B．y=cosx C．y=2x D．y=lnx
12．若直线l1：mx﹣y﹣2=0与直线l2：（2﹣m）x﹣y+1=0互相平行，则实数m的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
13．设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}前8项的和为（　　）
A．128 B．80 C．64 D．56
14．要得到函数y=sin（2x﹣），x∈R的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R图象上所有的点（　　）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
15．已知sinα=，α∈（，π），则sin2α的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．16π﹣16 B．8π﹣8 C．16π﹣8 D．8π﹣16
17．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
18．从1，2，3，4，5这五个数中，任取两个不同的数，则这两个数之和为3或6的概率为（　　）
A． B． C． D．
19．若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c三个数的大小关系是（　　）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c
20．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
21．若函数f（x）=log2x+x﹣k（k∈N）在区间（2，3）上只有一个零点，则k=（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
22．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题是真命题的是（　　）
A．若m∥n，m∥β，则n∥β B．若m∥β，α⊥β，则m⊥α
C．若m∥n，m⊥β，则n⊥β D．若m?α，n?β，α∥β，则m∥n
23．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．0
24．某农场给某种农作物施肥量x（单位：吨）与其产量y（单位：吨）的统计数据如表：
施肥量x（吨）
2
3
4
5
产量y（吨）
26
39
49
54
由于表中的数据，得到回归直线方程为=9.4x+，当施肥量x=6时，该农作物的预报产量是（　　）
A．72.0 B．67.7 C．65.5 D．63.6
25．对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（　　）
A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点
C．3是f（x）的极值 D．点（2，8）在曲线y=f（x）上
　
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
26．已知向量=（1，0），=（1，1），则
（Ⅰ）与2+同向的单位向量的坐标表示为　　；
（Ⅱ）向量﹣3与向量夹角的余弦值为　　．
27．若函数f（x）=x3﹣3x2+a在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则实数a的值为　　．
28．已知{an}是递增的等比数列，若a2=3，a4﹣a3=18，则a5的值为　　；{an}的前5项的和S5的值为　　．
29．若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是　　．
30．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于　　m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73．

　

2017年天津市河西区高考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共25分，每个3分）
1．已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∪B等于（　　）
A．{1，3} B．{1，2，3，4，5} C．{2，4} D．{1，3，4}
【考点】并集及其运算．
【分析】利用并集定义求解．
【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5}，
∴A∪B={1，2，3，4，5}．
故选：B．
　
2．函数y=sinx?cosx，x∈R的最小正周期为（　　）
A．2 B．π C．2π D．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用二倍角公式化简后，根据求解．
【解答】解：函数y=sinx?cosx=sin2x．
周期T=．
故选B
　
3．若向量=（2，3），=（﹣1，2），则2﹣的坐标为（　　）
A．（1，5） B．（1，1） C．（5，4） D．（3，5）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】由向量=（2，3），=（﹣1，2），利用向量的坐标运算法则能求出2﹣的坐标．
【解答】解：∵向量=（2，3），=（﹣1，2），
∴2﹣=（4，6）﹣（﹣1，2）=（5，4）．
故选：C．
　
4．i是虚数单位，复数等于（　　）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解： =，
故选：C．
　
5．函数f（x）=的定义域为（　　）
A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．
【解答】解：要使函数有意义需，
解得x＞﹣1且x≠1．
∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．
故选C．
　
6．如图所示，程序框图的输出结果是（　　）

A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S的值．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
满足条件2＜8，S=，n=4，
满足条件4＜8，S=，n=6，
满足条件6＜8，S=，n=8，
不满足条件8＜8，程序结束，输出S==，
故选：C
　
7．若变量x、y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．3 D．7
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得C（2，3），
化z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过C（2，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×2+3=7．
故选：D．
　
8．椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆的方程可知，a，b，c 的值，由离心率e=求出结果．
【解答】解：由椭圆的方程可知，a=5，b=4，c=3，∴离心率 e==，
故选A．
　
9．已知双曲线的焦点为（2，0），则此双曲线的渐近线方程是（　　）
A．y=x B．y= C．y= D．y=x
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．
【分析】先根据题意可知双曲线的半焦距c，进而利用=2求得a，则双曲线渐近线方程可得．
【解答】解：依题意可知=2
∴a=±
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x
故选C
　
10．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），可得=1，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），
∴=1，
∴p=2．
故选：B．
　
11．下列函数中是偶函数的是（　　）
A．y=x3 B．y=cosx C．y=2x D．y=lnx
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】根据函数奇偶数的定义进行判断即可．
【解答】解：A．y=x3为奇函数．
B．y=cosx为偶函数．
C．y=2x为非奇非偶函数，
D．y=lnx的定义域为（0，+∞），则函数为非奇非偶函数，
故选：B
　
12．若直线l1：mx﹣y﹣2=0与直线l2：（2﹣m）x﹣y+1=0互相平行，则实数m的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由两直线平行，结合系数间的关系列式求得m的值．
【解答】解：∵直线l1：mx﹣y﹣2=0与直线l2：（2﹣m）x﹣y+1=0互相平行，
∴，解得：m=1．
故选：C．
　
13．设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}前8项的和为（　　）
A．128 B．80 C．64 D．56
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可求解．或利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质a2+a7=a1+a8求解．
【解答】解：解法1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由等差数列的通项公式以及已知条件得，
解得，故s8=8+=64．
解法2：∵a2+a7=a1+a8=16，
∴s8=×8=64．
故选C．
　
14．要得到函数y=sin（2x﹣），x∈R的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R图象上所有的点（　　）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】把函数y=sin（2x﹣）变形为y=sin2（x﹣），则答案可求．
【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），
∴要得到函数y=sin（2x﹣），x∈R的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R图象上所有的点向右平行移动个单位长度．
故选：B．
　
15．已知sinα=，α∈（，π），则sin2α的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】二倍角的正弦．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．
【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），
∴cosα=﹣=﹣，
∴sin2α=2sinαcosα=﹣．
故选：C．
　
16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．16π﹣16 B．8π﹣8 C．16π﹣8 D．8π﹣16
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体为一个圆柱挖去一个四棱柱所得的组合体，代入柱体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体为一个圆柱挖去一个四棱柱所得的组合体，
圆柱的底面半径为2，棱柱的底面棱长为2，
两个柱体的高均为4，
故组合体的体积V=（π?22﹣2×2）×4=16π﹣16，
故选：A
　
17．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】求满足事件“3a﹣1＜0”发生的a的范围，利用数集的长度比求概率．
【解答】解：由3a﹣1＜0得：a＜，
数集（0，）的长度为，
数集（0，1）的长度为1，
∴事件“3a﹣1＜0”发生的概率为．
故选A．
　
18．从1，2，3，4，5这五个数中，任取两个不同的数，则这两个数之和为3或6的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】列举可得总的基本事件共10个，符合题意得有3个，由概率公式可得．
【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中，任取两个不同的数由如下10中情形：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），
（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），
其中这两个数之和为3或6的共有（1，2），（1，5），（2，4），3中情形，
故所求概率：P=
故选：A
　
19．若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c三个数的大小关系是（　　）
A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵0＜a=0.32＜0.30=1，
b=log20.3＜log21＜0，
c=20.3＞20=1，
∴a，b，c三个数的大小关系为b＜a＜c．
故选：D．
　
20．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即 （x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，
故弦心距d==．
再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4，
故选：B．
　
21．若函数f（x）=log2x+x﹣k（k∈N）在区间（2，3）上只有一个零点，则k=（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由题意可得f（2）f（3）＜0，解关于k的不等式可得．
【解答】解：∵函数f（x）=log2x+x﹣k在区间（2，3）上单调递增，
又∵函数f（x）=log2x+x﹣k（k∈N）在区间（2，3）上只有一个零点，
∴f（2）f（3）＜0，即（3﹣k）（3+log23﹣k）＜0，
解得3＜k＜3+log23，由k∈N可得k=4，
故选：C．
　
22．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题是真命题的是（　　）
A．若m∥n，m∥β，则n∥β B．若m∥β，α⊥β，则m⊥α
C．若m∥n，m⊥β，则n⊥β D．若m?α，n?β，α∥β，则m∥n
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在A中有可能n?β；在B中m与α相交、平行或m?α；在C中由直线与平面垂直的判定定理得n⊥β；在D中m与n有可能异面．
【解答】解：在A中：若m∥n，m∥β，则n∥β或n?β，故A错误；
在B中：若m∥β，α⊥β，则m与α相交、平行或m?α，故B错误；
在C中：若m∥n，m⊥β，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥β，故C正确；
在D中：若m?α，n?β，α∥β，则m与n平行或异面，故D错误．
故选：C．
　
23．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．0
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】利用中点，取AD的中点为F，连接EF，CE则EF∥BD，所以异面直线CE与EF所成的夹角就是CE与BD所成的夹角，利用余弦定理求解．
【解答】解：设AD的中点为F，连接EF，CE，则EF∥BD，
∴异面直线CE与EF所成的夹角就是CE与BD所成的夹角，
由题意：设正四面体ABCD的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=a，
由余弦定理可得cos∠CEF=
故选A

　
24．某农场给某种农作物施肥量x（单位：吨）与其产量y（单位：吨）的统计数据如表：
施肥量x（吨）
2
3
4
5
产量y（吨）
26
39
49
54
由于表中的数据，得到回归直线方程为=9.4x+，当施肥量x=6时，该农作物的预报产量是（　　）
A．72.0 B．67.7 C．65.5 D．63.6
【考点】线性回归方程．
【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．
【解答】解：∵=3.5， =42，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程y=bx+a中b为9.4，
∴42=9.4×3.5+a，
∴=9.1，
∴线性回归方程是=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5（吨），
故选C．
　
25．对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（　　）
A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点
C．3是f（x）的极值 D．点（2，8）在曲线y=f（x）上
【考点】二次函数的性质．
【分析】可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．
【解答】解：可采取排除法．
若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，
即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，
又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．
若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈?，不成立；
若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；
若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．
故选：A．
　
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
26．已知向量=（1，0），=（1，1），则
（Ⅰ）与2+同向的单位向量的坐标表示为　（）　；
（Ⅱ）向量﹣3与向量夹角的余弦值为　　．
【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模；单位向量；平面向量的坐标运算．
【分析】（I）由已知可求2+，进而可求|2+|，而与2+同向的单位向量，再利用坐标表示即可
（II）设﹣3与向量夹角θ，由已知可求，|，，||，代入向量的夹角公式cosθ=可求
【解答】解：（I）∵=（1，0），=（1，1）
∴2+=（2，0）+（1，1）=（3，1），|2+|=
∴与2+同向的单位向量的坐标表示=
（II）设﹣3与向量夹角θ
∵=（1，0），=（1，1），
∴，
∴=﹣2，||=，||=1
则cosθ===
故答案为：；
　
27．若函数f（x）=x3﹣3x2+a在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则实数a的值为　2　．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是f（0）=a=2即可．
【解答】解：f′（x）=3x（x﹣2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1]递减，
∴f（x）max=f（0）=a=2，
故答案为：2．
　
28．已知{an}是递增的等比数列，若a2=3，a4﹣a3=18，则a5的值为　81　；{an}的前5项的和S5的值为　121　．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设递增的等比数列{an}的公比为q，∵a2=3，a4﹣a3=18，
∴a1q=3，（q﹣1）=18，解得a1=1，q=3；或a1=﹣，q=﹣2（舍去）．
则a5=34=81；
{an}的前5项的和S5==121．
故答案为：81，121．
　
29．若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是　　．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数恒成立问题．
【分析】本题要根据题设中所给的条件解出f（x）的底数a的值，由x∈，得2x2+x∈（0，1），至此可由恒有f（x）＞0，得出底数a的取值范围，再利用复合函数单调性求出其单调区间即可．
【解答】解：函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，
由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a∈（0，1）
对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，
函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）
故应填（﹣∞，﹣）
　
30．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于　60　m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73．

【考点】解三角形的实际应用．
【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．
【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，
AB=，
根据正弦定理
得BC==≈60m．
故答案为：60．

　

2017年1月15日