2017年天津市南开区高考数学模拟试卷（解析版）

2017年天津市南开区高考数学模拟试卷
　
一、选择题。每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={0，2，3}，则A∩?UB等于（　　）
A．{1} B．{2，3} C．{0，1，2} D．?
2．函数y=cos（2x﹣）的最小正周期是（　　）
A． B．π C．2π D．4π
3．已知=（3，1），=（﹣2，5），则3﹣2=（　　）
A．（2，7） B．（2，﹣7） C．（13，﹣7） D．（13，13）
4． =（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i
5．下列四个函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（　　）
A．y=log3x B．y=3x C．y=x D．y=x﹣1
6．若sinα=，且α为锐角，则tanα的值等于（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（　　）
A．3 B．11 C．38 D．123
8．设变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（　　）
A．0 B．0.5 C．2 D．9
9．计算1﹣2sin222.5°的结果等于（　　）
A． B． C． D．
10．已知椭圆=1长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
11．已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则a的值为（　　）
A．4 B． C．﹣4 D．﹣
12．在等比数列{an}中，a5=﹣16，a8=8，则a11=（　　）
A．﹣4 B．±4 C．﹣2 D．±2
13．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
14．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6=（　　）
A．16 B．24 C．36 D．48
15．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字（不允许重复），则这两个数字之和为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
16．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（　　）
A．0 B．﹣8 C．2 D．10
17．如图，一个空几何体的正视图（或称主视图）与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（　　）
A．π B．3π C．2π D．
18．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
19．将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（　　）
A． B． C．y=sin2x D．y=﹣sin2x
20．对于直线a，b，l，以及平面α，下列说法中正确的是（　　）
A．如果a∥b，a∥α，则b∥α B．如果a⊥l，b⊥l，则a∥b
C．如果a∥α，b⊥a，则b⊥α D．如果a⊥α，b⊥α，则a∥b
21．已知a=21.2，b=（）﹣0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
22．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是（　　）
A． B． C． D．
23．圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（　　）
A．x2+y2+10y=0 B．x2+y2﹣10y=0 C．x2+y2+10x=0 D．x2+y2﹣10x=0
24．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
25．已知函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则实数k的取值范围为（　　）
A．（0，） B．[0，] C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]
　
二、填空题:本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上.
26．若工人月工资（元）依劳动产值（万元）变化的回归直线方程为=60+90x，则下列说法正确的是　　（填序号）．
①劳动产值为10000元时，工资为50元；
②劳动产值提高10000元时，工资提高150元；
③劳动产值提高10000元时，工资提高90元；
④劳动产值为10000元时，工资为90元．
27．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=　　；f（x）的最小值为　　．
28．在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=　　．
29．函数f（x）=x（x﹣m）2在x=1处取得极小值，则m=　　．
30．过点M（﹣3，﹣）且被圆x2+y2=25截得弦长为8的直线的方程为　　．
　

2017年天津市南开区高考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题。每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={0，2，3}，则A∩?UB等于（　　）
A．{1} B．{2，3} C．{0，1，2} D．?
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先由补集的定义求出CUB再利用交集的定义求A∩CUB
【解答】解：∵U={0，1，2，3}，B={0，2，3}，
∴CUB═{1}，
∴A∩CUB={1}，
故选A．
　
2．函数y=cos（2x﹣）的最小正周期是（　　）
A． B．π C．2π D．4π
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】由条件利用函数y=Acos（ωx+φ）的周期为，求得结果．
【解答】解：∵y=cos（2x﹣），
∴函数y=cos（2x﹣）的最小正周期T==π．
故选：B．
　
3．已知=（3，1），=（﹣2，5），则3﹣2=（　　）
A．（2，7） B．（2，﹣7） C．（13，﹣7） D．（13，13）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】由=（3，1），=（﹣2，5），利用平面向量坐标运算法则能求出3﹣2．
【解答】解：∵=（3，1），=（﹣2，5），
∴3﹣2=（9，3）﹣（﹣4，10）=（13，﹣7）．
故选：C．
　
4． =（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．
【解答】解： ====﹣1+i．
故选 B．
　
5．下列四个函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（　　）
A．y=log3x B．y=3x C．y=x D．y=x﹣1
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据对数函数、指数函数、幂函数和反比例函数的单调性，便可找出在区间（0，+∞）上是减函数的选项．
【解答】解：函数在区间（0，+∞）上都是增函数；
函数y=x﹣1在（0，+∞）上为减函数．
故选D．
　
6．若sinα=，且α为锐角，则tanα的值等于（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由题意求出cosα的值，然后求出正切值．
【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，
∴cosα===，
∴tanα===．
故选：A．
　
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（　　）
A．3 B．11 C．38 D．123
【考点】程序框图．
【分析】通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果．
【解答】解；经过第一次循环得到a=12+2=3
经过第一次循环得到a=32+2=11
不满足判断框的条件，执行输出11
故选B
　
8．设变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（　　）
A．0 B．0.5 C．2 D．9
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过点O（0，0）时，z最大值即可．
【解答】解：作出可行域如图，
由z=x+2y知，y=﹣x+z，
所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最小值时，
目标函数取得最小值．
由得O（0，0）．
结合可行域可知当动直线经过点O（0，0）时，
目标函数取得最小值z=0+2×0=0．
故选：A．
　
9．计算1﹣2sin222.5°的结果等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的余弦．
【分析】利用二倍角公式把要求的式子化为cos45°，从而可得结果．
【解答】解：由二倍角公式可得1﹣2sin222.5°=cos（2×22.5°）=cos45°=，
故选 B．
　
10．已知椭圆=1长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】根据椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．
【解答】解：∵椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，
∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4，满足题意．
故选：A．
　
11．已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则a的值为（　　）
A．4 B． C．﹣4 D．﹣
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的准线方程求解即可．
【解答】解：抛物线y=ax2的准线方程为y=1，
∴﹣=1，
解得a=﹣4，
故选：C
　
12．在等比数列{an}中，a5=﹣16，a8=8，则a11=（　　）
A．﹣4 B．±4 C．﹣2 D．±2
【考点】等比数列的性质．
【分析】根据等比数列的性质得到a8等于a5的与q3的积，把已知的a5和a8的值代入即可求出q3的值，然后再利用等比数列的性质得到a11为a8与q3的积，将a8及求出的q3的值代入即可求出值．
【解答】解：根据等比数列的性质得：a8=a5q3，
由a5=﹣16，a8=8，得到q3==﹣，
则a11=a8q3=8×（﹣）=﹣4．
故选A
　
13．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．
【解答】解：由双曲线的离心率为，
则e==，即c=a，
b===a，
由双曲线的渐近线方程为y=x，
即有y=x．
故选D．
　
14．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6=（　　）
A．16 B．24 C．36 D．48
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】结合已知条件，利用等差数列的前n项和公式列出关于d的方程，解出d，代入公式，即可求得s6．
【解答】解：∵，S4=20，
∴S4=2+6d=20，
∴d=3，
∴S6=3+15d=48．
故选D．
　
15．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字（不允许重复），则这两个数字之和为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】首先计算出所以基本事件总数为：C52=10，再计算出这两个数字之和为奇数的取法，进而计算出事件发生的概率．
【解答】解：由题意可得：从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字共有不同的取法有：C52=10．
则这两个数字之和为奇数的取法有：（1，2），（1，4）．（2，3），（2，5），（3，4），4，5）；共有6中取法．
所以这两个数字之和为奇数的概率为：．
故选B．
　
16．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（　　）
A．0 B．﹣8 C．2 D．10
【考点】斜率的计算公式．
【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．
【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，
∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，
∴=﹣2，解得，
故选 B．
　
17．如图，一个空几何体的正视图（或称主视图）与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（　　）

A．π B．3π C．2π D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】先管仔细观察给出几何体的主视图和侧视图便可知该几何体为圆锥，根据圆锥表面积公式的求法便可求出该几何体的全面积．
【解答】解：仔细观察几何体的主视图侧视图可知该几何体为圆锥，
由图象可知：圆锥的圆心角为60°，圆锥的母线L长为2，半径为1．
根据圆锥表面积公式的求法：S=πRL+πRR=π×1×2+π×1×1=3π，
故选B．
　
18．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
【考点】充要条件．
【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1?a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．
【解答】解：a＞b+1?a＞b；
反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，
故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．
故选：A．
　
19．将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（　　）
A． B． C．y=sin2x D．y=﹣sin2x
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到的新函数的解析式要在x上减去平移的大小，再用诱导公式得到结果．
【解答】解：∵将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，
∴解析式为y=cos2（x﹣）=cos（）=sin2x
故选C．
　
20．对于直线a，b，l，以及平面α，下列说法中正确的是（　　）
A．如果a∥b，a∥α，则b∥α B．如果a⊥l，b⊥l，则a∥b
C．如果a∥α，b⊥a，则b⊥α D．如果a⊥α，b⊥α，则a∥b
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】A，B，C，写出所有可能，对于D，根据线面垂直的性质，可得a∥b．
【解答】解：若a∥b、a∥α，则b∥α或b?α，故A错误；
如果a⊥l，b⊥l，则a∥b或a，b相交、异面，故B错误；
如果a∥α，b⊥a，则b⊥α、相交、平行，都有可能，故C错误；
如果a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质，可得a∥b，故D正确．
故选：D．
　
21．已知a=21.2，b=（）﹣0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵b=（）﹣0.2=20.2＜21.2=a，
∴a＞b＞1．
∵c=2log52=log54＜1，
∴a＞b＞c．
故选：C．
　
22．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】本题是几何概型问题，欲求点M在球O内的概率，先由正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的内切球O，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．
【解答】解：本题是几何概型问题，设正方体的棱长为：2．
正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的内切球O的半径是其棱长的一倍，

其体积为：V1=π×13=，
则点M在球O内的概率是=
故选：C．
　
23．圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（　　）
A．x2+y2+10y=0 B．x2+y2﹣10y=0 C．x2+y2+10x=0 D．x2+y2﹣10x=0
【考点】圆的一般方程．
【分析】设出圆的圆心与半径，利用已知条件，求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程．
【解答】解：圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，
设圆的圆心（0，r），半径为r．
则： =r．
解得r=5．
所求圆的方程为：x2+（y﹣5）2=25．即x2+y2﹣10y=0．
故选：B．
　
24．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．
【解答】解：由题意，连接A1C1，交B1D1于点O
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4
∴C1O⊥B1D1
∴C1O⊥平面DBB1D1
在Rt△BOC1中，
∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为
故选C．
　
25．已知函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则实数k的取值范围为（　　）
A．（0，） B．[0，] C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]
【考点】函数的图象；二次函数的性质．
【分析】若函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则函数有正数零点，结合一次函数和二次函数的图象和性质，分类讨论，可得答案．
【解答】解：当k=0时，函数f（x）=﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点满足条件；
当k≠0时，若函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则函数有正数零点，
当k＜0时，函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象开口朝下，且过（0，1）点，此时必有正数零点，
当k＞0时，函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象开口朝上，且过（0，1）点，对称轴在y轴右侧，
若函数有正数零点，则，解得：a∈（0，]，
综上可得：实数k的取值范围为（﹣∞，]，
故选：D．
　
二、填空题:本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上.
26．若工人月工资（元）依劳动产值（万元）变化的回归直线方程为=60+90x，则下列说法正确的是　③　（填序号）．
①劳动产值为10000元时，工资为50元；
②劳动产值提高10000元时，工资提高150元；
③劳动产值提高10000元时，工资提高90元；
④劳动产值为10000元时，工资为90元．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】根据所给的线性回归方程，当x增加1时，y要增加90元，当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，这里的值是平均增加90元．
【解答】解：∵回归直线方程为=60+90x，
∴当x增加1时，y要增加90元，
∴当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，
故答案为：③．
　
27．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=　36　；f（x）的最小值为　24　．
【考点】基本不等式．
【分析】利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：f′（x）=4﹣==，（x＞0，a＞0）．
可知：x=时，函数f（x）取得最小值，∴3=，解得a=36．
f（3）=12+=24．
故答案为：36，24．
　
28．在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=　2　．
【考点】余弦定理．
【分析】由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b即可．
【解答】解：由余弦定理可知b2=a2+c2﹣2accosB=22+﹣2×2×2×=4．
因为b是三角形的边长，所以b=2．
故答案为：2．
　
29．函数f（x）=x（x﹣m）2在x=1处取得极小值，则m=　1　．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】通过对函数f（x）求导，根据函数在x=1处有极值，可知f'（1）=0，解得m的值，再验证可得结论．
【解答】解：求导函数可得f'（x）=3x2﹣4mx+m2，
∴f'（1）=3﹣4m+m2=0，解得m=1，或m=3，
当m=1时，f'（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），函数在x=1处取到极小值，符合题意；
当m=3时，f'（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），函数在x=1处取得极大值，不符合题意，
∴m=1，
故答案为：1．
　
30．过点M（﹣3，﹣）且被圆x2+y2=25截得弦长为8的直线的方程为　x+3=0或3x+4y+15=0　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由圆的方程找出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，一下分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在，显然x=﹣3满足题意；若斜率存在，设出斜率为k，由直线过P点，由P的坐标及设出的k表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而得到所求直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线方程．
【解答】解：由圆的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=5，
∵直线被圆截得的弦长为8，
∴弦心距==3，
若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然x=﹣3满足题意；
若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k，
∴所求直线的方程为y+=k（x+3），
∴圆心到所设直线的距离d==3，
解得：k=﹣，
此时所求方程为y+=﹣（x+3），即3x+4y+15=0，
综上，此弦所在直线的方程为x+3=0或3x+4y+15=0．
故答案为：x+3=0或3x+4y+15=0
　

2017年1月15日