2017年天津市西青区高考数学模拟试卷（解析版）

2017年天津市西青区高考数学模拟试卷
　
一、选择题
1．设全集A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8，10}，则A∪B=（　　）
A．{2，4} B．{1，2，3，4，5，6，8，10}
C．{1，2，3，4，5} D．{2，4，6，8，10}
2．设函数f（x）=2sinx，x∈R的最小正周期为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
3．已知向量=（2，3），=（1，﹣2），则?的值为（　　）
A．﹣4 B．8 C．﹣1 D．﹣7
4．已知i是虚数单位，则复数i（1+i）等于（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
5．函数f（x）=+的定义域为（　　）
A．{x|x≠2} B．{x|x＜﹣3或x＞3} C．{x|﹣3≤x≤3} D．{x|﹣3≤x≤3且≠2}
6．在等差数列{an}中，若a3=9，a6=15，则公比a12等于（　　）
A．3 B．12 C．27 D．36
7．椭圆+y2=1的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
8．双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=2x，其实轴长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．若抛物线y2=2px的交点坐标为（4，0），则其准线方程为（　　）
A．x=﹣2 B．x=﹣4 C．x=﹣8 D．x=﹣16
10．以下函数在R上为减函数的是（　　）
A．y=logx B．y=x﹣1 C．y=（）x D．y=x2
11．若直线l1：（m﹣2）x﹣y﹣1=0，与直线l2：3x﹣my=0互相平行，则m的值等于（　　）
A．0或﹣1或3 B．0或3 C．0或﹣1 D．﹣1或3
12．执行如图的程序框图，若p=4，则输出的S=（　　）

A． B． C． D．
13．已知x＞0，y＞0且x+y=4，若不等式+≥m恒成立，则m的取值范围是（　　）
A．{m|m＞} B．{m|m≥} C．{m|m＜} D．{m|m≤}
14．函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（　　）
A． B． C． D．
15．已知sinα+cosα=﹣，则tanα+的值等于（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
16．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
17．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，以A为圆心，AD为半径在矩形内部作扇形AED，若向矩形ABCD内部随机投放一点，则所投点落在扇形外部的概率为（　　）

A． B．1﹣ C． D．1﹣
18．在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为（　　）
A．5 B．6 C．10 D．11
19．已知a=2ln3，b=2lg2，c=（），则（　　）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
20．已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y=0，若倾斜角为的直线l被圆C所截得的弦长为2，则直线l的方程为（　　）
A．y=x+1 B．y=x﹣3 C．y=x+1或y=x﹣3 D．y=x+1或y=x+3
21．已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　）
A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1
22．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（　　）
（1）m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β （2）n∥m，n⊥α?m⊥α
（3）α∥β，m?α，n?β?m∥n （4）m⊥α，m⊥n?n∥α
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥面ABC，若AB=AA1，则直线A1B与AC所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
24．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x （万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76， =﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（　　）
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
25．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）
C．（） D．（﹣∞，﹣，）
　
二、填空题
26．设向量=（，1），=（1，﹣），则向量的模为　　；向量、的夹角为　　．
27．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x+3，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为　　．
28．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表{an}的前n项的和，若a1=3，a2a4=144，则公比q的值为　　；前十项和S10的值为　　．
29．当时，4x＜logax，则a的取值范围　　．
30．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

　

2017年天津市西青区高考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．设全集A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8，10}，则A∪B=（　　）
A．{2，4} B．{1，2，3，4，5，6，8，10}
C．{1，2，3，4，5} D．{2，4，6，8，10}
【考点】并集及其运算．
【分析】利用并集定义求解．
【解答】解：∵全集A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8，10}，
∴A∪B={1，2，3，4，5，6，8，10}．
故选：B．
　
2．设函数f（x）=2sinx，x∈R的最小正周期为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，求得结果．
【解答】解：∵f（x）=2sinx，可得： =2π，
∴函数y=2sinx的最小正周期为2π，
故选：C．
　
3．已知向量=（2，3），=（1，﹣2），则?的值为（　　）
A．﹣4 B．8 C．﹣1 D．﹣7
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】进行数量积的坐标运算即可求出的值．
【解答】解：∵；
∴．
故选A．
　
4．已知i是虚数单位，则复数i（1+i）等于（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：i（1+i）=i2+i=﹣1+i，
故选：C．
　
5．函数f（x）=+的定义域为（　　）
A．{x|x≠2} B．{x|x＜﹣3或x＞3} C．{x|﹣3≤x≤3} D．{x|﹣3≤x≤3且≠2}
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：﹣3≤x≤3或x≠2，
故函数的定义域是{x|﹣3≤x≤3且≠2}，
故选：D．
　
6．在等差数列{an}中，若a3=9，a6=15，则公比a12等于（　　）
A．3 B．12 C．27 D．36
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由已知可知a3，a6，a9，a12构成等差数列，求其公差，再由等差数列的通项公式求得a12 ．
【解答】解：在等差数列{an}中，a3，a6，a9，a12构成等差数列，
设新数列构成为d，则d=a6﹣a3=15﹣9=6，
∴a12=a3+3d=9+3×6=27．
故选：C．
　
7．椭圆+y2=1的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆+y2=1焦点在x轴上，a=2，b=1，则c==，椭圆的离心率e==，即可求得答案．
【解答】解：由椭圆+y2=1焦点在x轴上，a=2，b=1，则c==，
由椭圆的离心率e==，
∴椭圆+y2=1的离心率，
故选B．
　
8．双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=2x，其实轴长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程为y=±x，即可求出a的值，
【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为 y=±x，
又已知一条渐近线方程为y=2x，∴=2，a=1，
则实轴长为2a=2
故选：B
　
9．若抛物线y2=2px的交点坐标为（4，0），则其准线方程为（　　）
A．x=﹣2 B．x=﹣4 C．x=﹣8 D．x=﹣16
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的准线方程求解即可．
【解答】解：由于抛物线y2=2px的交点坐标为（4，0），
则=4，
解得p=8，
则其准线方程为x=﹣4，
故选：B
　
10．以下函数在R上为减函数的是（　　）
A．y=logx B．y=x﹣1 C．y=（）x D．y=x2
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据对数函数的定义域，反比例函数、指数函数和二次函数的单调性便可找出正确选项．
【解答】解：的定义域为（0，+∞），不能说在R上为减函数；
y=x﹣1，y=x2在R上都没有单调性；
指数函数在R上为减函数．
故选：C．
　
11．若直线l1：（m﹣2）x﹣y﹣1=0，与直线l2：3x﹣my=0互相平行，则m的值等于（　　）
A．0或﹣1或3 B．0或3 C．0或﹣1 D．﹣1或3
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互平行的条件即可得出．
【解答】解：m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣y﹣1=0，x=0，此时两条直线不平行，舍去．
m≠0，由于l1∥l2，则，解得m=﹣1或3，经过验证满足条件．
综上可得：m=﹣1或3．
故选：D．
　
12．执行如图的程序框图，若p=4，则输出的S=（　　）

A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=+++…+的值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算S=+++…+，
∵S=+++…+=1﹣，
由于p=4，
∴S=．
故选：B．
　
13．已知x＞0，y＞0且x+y=4，若不等式+≥m恒成立，则m的取值范围是（　　）
A．{m|m＞} B．{m|m≥} C．{m|m＜} D．{m|m≤}
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质求解+的最小值可得答案．
【解答】解：x＞0，y＞0且x+y=4，
则：，
那么（+）（）=+1≥=，当且仅当2x=y=时取等号．
∴+的最小值为．
要使不等式+≥m恒成立，
∴m．
故选D．
　
14．函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据函数解析式可得当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]＞0，故排除A，D；当x=时，y=sin0=0，故排除C，从而得解．
【解答】解：当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]=﹣sin（）=sin=＞0，故排除A，D；
当x=时，y=sin（2×﹣）=sin0=0，故排除C；
故选：B．
　
15．已知sinα+cosα=﹣，则tanα+的值等于（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由已知条件求出sinαcosα的值，利用切化弦化简所求表达式代入求解即可．
【解答】解：∵sinα+cosα=﹣，
∴（sinα+cosα）2=（﹣）2，
解得sinαcosα=，
∴tanα+=+===2．
故选：A．
　
16．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．
【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，
所以，正确答案为D．
故选D
　
17．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，以A为圆心，AD为半径在矩形内部作扇形AED，若向矩形ABCD内部随机投放一点，则所投点落在扇形外部的概率为（　　）

A． B．1﹣ C． D．1﹣
【考点】几何概型．
【分析】求出扇形和长方形的面积，从而求出所投点落在扇形外部的概率．
【解答】解：由题意得：扇形的面积是：π，
长方形的面积是：2，
故所投点落在扇形外部的概率为：p==1﹣，
故选：B．
　
18．在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为（　　）
A．5 B．6 C．10 D．11
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】设口袋中原有小球的个数为2x个，即装有白球x个和黑球x个口袋中放进一个白球，由此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，列出方程能求出口袋中原有小球的个数．
【解答】解：设口袋中原有小球的个数为2x个，
即装有白球x个和黑球x个口袋中放进一个白球，
此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，
∴，
解得x=5，
∴口袋中原有小球的个数为2x=10．
故选：C．
　
19．已知a=2ln3，b=2lg2，c=（），则（　　）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较；对数的运算性质．
【分析】利用对数函数的运算性质和单调性、指数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵=．
，
∴，
又a=2ln3，b=2lg2，
∴a＞b＞c．
故选：B．
　
20．已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y=0，若倾斜角为的直线l被圆C所截得的弦长为2，则直线l的方程为（　　）
A．y=x+1 B．y=x﹣3 C．y=x+1或y=x﹣3 D．y=x+1或y=x+3
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】先将圆化为标准方程，然后利用倾斜角为的直线l被圆C所截得的弦长为2，得出圆心到直线的距离，即可得出结论．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，圆心为（2，1），半径为r=．
因为倾斜角为的直线l被圆C所截得的弦长为2，
所以圆心到直线的距离d==．
设直线方程为y=x+b，则=
所以b=1或﹣3，
所以直线l的方程为y=x+1或y=x﹣3．
故选C．
　
21．已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　）
A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】对k进行分类讨论，当k=0时恒成立，k＜0时不等式不能恒成立，当k＞0时，只需△≤0求得k的范围，最后综合得到答案．
【解答】解：当k=0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立，
当k＜0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立，
当k＞0时，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立，
需△=36k2﹣4（k2+8k）≤0，
解得0≤k≤1，
故选：A．
　
22．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（　　）
（1）m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β （2）n∥m，n⊥α?m⊥α
（3）α∥β，m?α，n?β?m∥n （4）m⊥α，m⊥n?n∥α
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由空间中的线面关系逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：对于（1），m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β，错误，当m∥n时，α与β可能相交；
对于（2），n∥m，n⊥α?m⊥α，正确，原因是：n⊥α，则n垂直α内的两条相交直线，又m∥n，则m也垂直α内的这两条相交直线，则m⊥α；
对于（3），α∥β，m?α，n?β?m∥n，错误，m与n可能异面；
对于（4），m⊥α，m⊥n?n∥α，错误，也可能是n?α．
∴正确命题的个数是1个．
故选：B．
　
23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥面ABC，若AB=AA1，则直线A1B与AC所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】由题意，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥面ABC，通过补形将三棱柱ABC﹣A1B1C1的转化为长方体，找到直线A1B与AC所成角平面角，利用余弦定理求解．
【解答】解：底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥面ABC，过B，C点分别作AC，AB的平行线交于F，同理，作过B1，C1点分别作A1B，A1C1的平行线交于E，连接EF，可得ABCF﹣A1B1C1E为长方体．底面是菱形．
∴AC∥BF，
故直线A1B与AC所成角即为∠A1BF（或补角）
∵底面ABC为正三角形，设AB═AC=AA1=a，则A1B=，
AF=，A1F=．
那么|cos∠A1BF|=||=
故选A．

　
24．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x （万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76， =﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（　　）
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
【考点】线性回归方程．
【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．
【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，
=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，
代入回归方程可得═8﹣0.76×10=0.4，
∴回归方程为=0.76x+0.4，
把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，
故选：B．
　
25．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1）
C．（） D．（﹣∞，﹣，）
【考点】对数函数的图象与性质；函数单调性的性质．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，
且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，
导数为f′（x）=+＞0，
即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，
平方得3x2﹣4x+1＜0，
解得：＜x＜1，
所求x的取值范围是（，1）．
故选：B．
　
二、填空题
26．设向量=（，1），=（1，﹣），则向量的模为　2　；向量、的夹角为　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可先求出，，这样即可根据求出的值，从而得出向量的夹角．
【解答】解：，，；
∴=；
又；
∴的夹角为．
故答案为：2，．
　
27．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x+3，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为　y=﹣2x+2　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．
【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2﹣3x+3，
∴f′（x）=3x2﹣2x﹣3，
则f′（1）=3﹣2﹣3=﹣2，
又f（1）=1﹣1﹣3+3=0，即切点坐标为（1，0），
则函数在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=﹣2（x﹣1），
即y=﹣2x+2，
故答案为：y=﹣2x+2．
　
28．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表{an}的前n项的和，若a1=3，a2a4=144，则公比q的值为　2　；前十项和S10的值为　3063　．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：∵a1=3，a2a4=144，∴32×q4=144，q＞0，解得q=2，
S10==3063．
故答案为：2，3063．
　
29．当时，4x＜logax，则a的取值范围　　．
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】若当时，不等式4x＜logax恒成立，则在时，y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方，在同一坐标系中，分析画出指数和对数函数的图象，分析可得答案．
【解答】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示
若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=
故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1
故答案为：（，1）

　
30．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

【考点】解三角形的实际应用．
【分析】先根据内角和求得∠DAB和，∠DBA及进而求得∠ADB，在△ADB中利用正弦定理求得DB的长，进而利用里程除以速度即可求得时间．
【解答】解：由题意知AB=5（3+）海里，
∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，
∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°，
在△ADB中，有正弦定理得=
∴DB===10
又在△DBC中，∠DBC=60°
DC2=DB2+BC2﹣2×DB×BC×cos60°=900
∴DC=30
∴救援船到达D点需要的时间为=1（小时）
答：该救援船到达D点需要1小时．

　

2017年1月15日