江苏省常州市新北区新桥中学2016-2017学年高一（上）10月调研数学试卷（解析版）

2016-2017学年江苏省常州市新北区新桥中学高一（上）10月调研数学试卷
　
一、填空题（共14小题，每题3分，共42分）
1．设集合A={1，2，3}，B={1，3，9}，其中x∈A且x B，则x=　　．
2．已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示正确的有　　个；
①1∈A；②{﹣1}∈A；③ A；④{1，﹣1} A．
3．已知函数f（x）=|x|，则下列与函数y=f（x）相等的函数是　　；
（1）g（x）=（）2；（2）h（x）=；（3）s（x）=x；（4）y=．
4．设函数f（x）=，则f（f（3））=　　．
5．函数y=的定义域为　　．
6．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是　　．
7．若函数f（x）=x2+2ax+1在[1，2]上是单调递增函数，则a的取值范围是　　．
8．设A={x|x﹣1＞0}，B={x|x＜a}，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是　　．
9．函数的最大值是　　．
10．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是　　．
11．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2﹣x）．若方程f（x）=k有两解，则实数k的取值范围是　　．
12．已知函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是　　．
13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足的x的取值范围是　　．
14．已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=则F（x）的最大值是　　．
　
二、解答题（共6题，15-19题各10分，20题8分）
15．已知集合A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若A∩B={﹣3}，求实数a的值．
16．已知集合A={x|0＜x﹣m＜3}，B={x|x≤0或x≥3}，
（1）当m=1时，求A∩B
（2）当A∪B=B时，求m的取值范围．
17．已知函数f（x）=px+（实数p、q为常数），且满足f（1）=，f（2）=．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，]上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（3）当x∈（0，]时，函数f（x）≥2﹣m恒成立，求实数m的取值范围．
18．“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x（x≤7）吨，应交水费为f（x）．
（1）试求出函数f（x）的解析式；
（2）若本季度他交了12.6元，求他本季度实际用水多少吨？
19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且与x轴有唯一的交点（﹣1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，k]时，求函数f（x）的最小值．
20．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=﹣bx，其中a，b，c∈R且满足a＞b＞c，f（1）=0．
（Ⅰ）证明：函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，试求a，b的值．
　
2016-2017学年江苏省常州市新北区新桥中学高一（上）10月调研数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（共14小题，每题3分，共42分）
1．设集合A={1，2，3}，B={1，3，9}，其中x∈A且x B，则x=　2　．
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】根据元素与集合的关系进行判断
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3，9}，
∵x∈A，
∴x=1或2或3，
x B，
∴x≠1或3或9，
故得x=2．
故答案为：2
　
2．已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示正确的有　3　个；
①1∈A；②{﹣1}∈A；③ A；④{1，﹣1} A．
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答时，可以先将集合A的元素进行确定．然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可．
【解答】解：因为A={x|x2﹣1=0}，
∴A={﹣1，1}，
对于①，1∈A显然正确；
对于②，{﹣1}∈A，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；
对于③， A，根据集合与集合之间的关系易知正确；
对于④，{1，﹣1} A．同上可知正确．
故答案是：3．
　
3．已知函数f（x）=|x|，则下列与函数y=f（x）相等的函数是　（2）（4）　；
（1）g（x）=（）2；（2）h（x）=；（3）s（x）=x；（4）y=．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．
【解答】解：对于（1），函数g（x）=（）2=x（x≥0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；
对于（2），函数g（x）==|x|（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；
对于（3），函数s（x）=x（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的对应关系不相同，不是相等函数；
对于（4），函数y==|x|（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；
综上，相等的函数是（2）（4）．
故答案为：（2）（4）．
　
4．设函数f（x）=，则f（f（3））=　　．
【考点】函数的值．
【分析】根据分段函数的定义域先求出f（3），再求出f（f（3）），注意定义域；
【解答】解：∵函数，3＞1
∴f（3）=，
∴f（）=（）2+1=+1=，
故答案为；
　
5．函数y=的定义域为　（1，2）∪（2，+∞）　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：∵函数y=，
∴；
解得x≥1，且x≠1，x≠2，
∴y的定义域为（1，2）∪（2，+∞）．
故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．
　
6．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是　f（x）=3x﹣1　．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】利用换元法即可得出．
【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，
∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，
∴f（x）=3x﹣1．
故答案为f（x）=3x﹣1．
　
7．若函数f（x）=x2+2ax+1在[1，2]上是单调递增函数，则a的取值范围是　a≥﹣1　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数在闭区间[﹣1，2]上为单调递增函数，得到抛物线的对称轴小于等于1，即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=x2+2ax+1在[1，2]上是单调递增函数，
∴x=﹣=﹣a≤1，
解得：a≥﹣1，
故答案为：a≥﹣1．
　
8．设A={x|x﹣1＞0}，B={x|x＜a}，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是　（1，+∞）　．
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出集合A和B，由此利用交集的性质能求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵A={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，
B={x|x＜a}，A∩B≠ ，
∴a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
　
9．函数的最大值是　4　．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
【分析】分别求f（x）在x≤0、0＜x≤1、x＞1上的最大值，再取其中最大的即可．也可画出f（x）的图象，由图象求最大值．
【解答】解：x≤0时，y=2x+3≤3，
0＜x≤1时，y=x+3≤4，
x＞1时，y=﹣x+5＜4
综上所述，y的最大值为4
故答案为：4
　
10．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是　[﹣10，2]　．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值域．
【分析】根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程f（﹣x）=f（x），即可求出函数的值域．
【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，
∴定义域关于原点对称，即1+a+2=0，
∴a=﹣3．
又f（﹣x）=f（x），
∴ax2﹣bx+2=ax2+bx+2，
即﹣b=b解得b=0，
∴f（x）=ax2+bx+2=﹣3x2+2，定义域为[﹣2，2]，
∴﹣10≤f（x）≤2，
故函数的值域为[﹣10，2]．
故答案为：[﹣10，2]．
　
11．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2﹣x）．若方程f（x）=k有两解，则实数k的取值范围是　{k|k=1或k＜0}　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用配方法化简解析式，由偶函数的图象关于y轴对称、一元二次函数的图象画出f（x）的图象，由题意和图象求出实数k的取值范围．
【解答】解：由题意知，当x≥0时，
f（x）=x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1，
又函数f（x）是定义域为R的偶函数，
则函数的图象如图所示：
∵方程f（x）=k有两解，
∴由图可得，
实数k的取值范围是{k|k=1或k＜0}，
故答案为：{k|k=1或k＜0}．
　
12．已知函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是　（1，3]　．
【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．
【分析】由题意知，函数f（x）在区间[1，a]上单调递减，结合二次函数的对称轴求出实数a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），
又∵函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，∴1＜a≤3，
故答案为：（1，3]．
　
13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足的x的取值范围是　（﹣∞，）∪（，+∞）　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由偶函数性质得f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），根据f（x）在[0，+∞）上的单调性把该不等式转化为具体不等式，解出即可．
【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），
所以 f（|2x﹣1|）＜f（），
又f（x）在[0，+∞）上单调递减，
所以|2x﹣1|＞，解得x＜，或x＞，
所以x的取值范围为，
故答案为．
　
14．已知f（x）=3﹣2|x|，g（x）=x2﹣2x，F（x）=则F（x）的最大值是　7﹣2　．
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据F（x）的定义求出函数F（x）的表达式，利用数形结合即可求出函数的最值．
【解答】解：由f（x）=g（x）得3﹣2|x|=x2﹣2x，
若x≥0时，3﹣2|x|=x2﹣2x等价为3﹣2x=x2﹣2x，
即x2=3，解得x=．
若x＜0时，3﹣2|x|=x2﹣2x等价为3+2x=x2﹣2x，
即x2﹣4x﹣3=0，
解得x=2或x=2（舍去）．
即当x≤2﹣时，F（x）=f（x）=3+2x
当2﹣＜x＜时，F（x）=g（x）=x2﹣2x，
当x时，F（x）=f（x）=3﹣2x，
则由图象可知当x=2﹣时，F（x）取得最大值F（2﹣）=f（2﹣）=3+2（2﹣）=7﹣2．
故答案为：7﹣2．
　
二、解答题（共6题，15-19题各10分，20题8分）
15．已知集合A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若A∩B={﹣3}，求实数a的值．
【考点】交集及其运算．
【分析】由A∩B={﹣3}得﹣3∈B，分a﹣3=﹣3，2a﹣1=﹣3，a2+1=﹣3三种情况讨论，一定要注意元素的互异性．
【解答】解：∵A∩B={﹣3}，
∴﹣3∈B，而a2+1≠﹣3，
∴当a﹣3=﹣3，a=0，A={0，1，﹣3}，B={﹣3，﹣1，1}，
这样A∩B={﹣3，1}与A∩B={﹣3}矛盾；
当2a﹣1=﹣3，a=﹣1，符合A∩B={﹣3}
∴a=﹣1
　
16．已知集合A={x|0＜x﹣m＜3}，B={x|x≤0或x≥3}，
（1）当m=1时，求A∩B
（2）当A∪B=B时，求m的取值范围．
【考点】交集及其运算．
【分析】（1）m=1时求出集合A，根据交集的定义求出A∩B即可；
（2）A∪B=B时，A B，由子集的定义写出m的取值范围．
【解答】解：（1）m=1时，
集合A={x|0＜x﹣m＜3}={x|0＜x﹣1＜3}={x|1＜x＜4}，
又B={x|x≤0或x≥3}，
∴A∩B={x|3≤x＜4}；
（2）当A∪B=B时，A B，
∵A={x|m＜x＜3+m}，
∴m≥3或m+3≤0，
解得：m≥3或m≤﹣3．
　
17．已知函数f（x）=px+（实数p、q为常数），且满足f（1）=，f（2）=．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，]上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（3）当x∈（0，]时，函数f（x）≥2﹣m恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）由题意f（1）=，f（2）=，带入计算即可求出p，q的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）直接利用定义法证明单调性．
（3）当x∈（0，]时，函数f（x）的最小值，即f（x）min≥2﹣m成立求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意：函数f（x）=px+（实数p、q为常数），
∵，
∴，
解得：，
故得：函数f（x）的解析式：f（x）=．
（2）由（1）可知f（x）=，
∴在区间（0，]上的单调递减．
证明：设；
f（x1）﹣f（x2）==2（x1﹣x2）==（x2﹣x1）
∵；
∴0＜x2x1，1﹣4x1x2＞0
则：f（x1）﹣f（x2）＞0
所以：f（x）=在区间（0，]上的单调递减．
（3）由（2）可知当x∈（0，]时，函数f（x）是单调减函数
∴当x=时，函数f（x）取得最小值，即f（x）min=f=2
要使x∈（0，]时，函数f（x）≥2﹣m恒成立，
只需f（x）min≥2﹣m成立，
即：2≥2﹣m，
解得：m≥0
故得实数m的取值范围[0，+∞）．
　
18．“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x（x≤7）吨，应交水费为f（x）．
（1）试求出函数f（x）的解析式；
（2）若本季度他交了12.6元，求他本季度实际用水多少吨？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由题意可知当0＜x≤5时，y=1.2x；当5＜x≤6时，y=3.6x﹣12；当6＜x≤7时，y=6x﹣26.4．由此能求出函数f（x）的解析式．
（2）由，y=12.6，利用分段函数的性质能求出他本季度实际用水6.5吨．
【解答】解：（1）由题意可知：
当0＜x≤5时，y=1.2x；
当5＜x≤6时，y=3.6x﹣12；
当6＜x≤7时，y=6x﹣26.4．
∴．
（2）∵，y=12.6，
∴当0＜x＜5时，1.2x=12.6，解得x=10.5，不合题意；
当5＜x≤6，3.6x﹣12=12.6，解得x=4.1，不合题意；
当6＜x≤7时，6x﹣26.4=12.6，解得x=6.5．
∴他本季度实际用水6.5吨．
　
19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且与x轴有唯一的交点（﹣1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，k]时，求函数f（x）的最小值．
【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．
【分析】（Ⅰ）依题意可得c=1，再由，b2﹣4ac0=0求出a=1，b=2，c=1，从而得到f（x）的表达式．
（Ⅱ）如图所示：当﹣2＜k≤﹣1时，最小值为f（k），当k＞﹣1时，最小值为f（﹣1）．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，把点（0，1）代入函数的解析式求得c=1，
再由，b2﹣4ac=0．解得a=1，b=2，c=1，
从而f（x）=x2+2x+1．
（Ⅱ）如图所示：由于二次函数的对称轴为x=﹣1，
当﹣2＜k≤﹣1时，最小值为f（k）=k2+2k+1．
当k＞﹣1时，最小值为f（﹣1）=0．
　
20．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=﹣bx，其中a，b，c∈R且满足a＞b＞c，f（1）=0．
（Ⅰ）证明：函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，试求a，b的值．
【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．
【分析】（I）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=﹣bx，分别求出a＞0，c＜0，易根据二次方程根的个数及△的关系，得到答案．
（II）由题意可得F（x）=ax2+2bx+c，我们可根据二次函数在闭区间上的最值求法，结合函数F（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值为21，构造关于a，b的方程，解方程即可求出答案．
【解答】证明：（Ⅰ）由已知f（1）=0，得：a+b+c=0，
而a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，
∴△=4b2﹣4ac＞0；
因此函数f（x）与g（x）图象交于不同的两点；
解：（Ⅱ）由题意知，F（x）=ax2+2bx+c
∴函数F（x）的图象的对称轴方程为x=﹣，又∵a+b+c=0
∴x==1+＜1
又a＞0
∴F（x）在[2，3]单增
∴，
即，
∴．
　
2017年1月15日