2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案：章末分层突破4

章末分层突破
[自我校对]
①－1
②a＝c，b＝d
③＝a－bi
④Z(a，b)
⑤O
⑥a＋c
⑦(b＋d)i
⑧(a－c)＋(b－d)i
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复数的概念
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．
　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数．
【精彩点拨】　根据复数的分类列方程求解．
【规范解答】　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式．
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
[再练一题]
1．设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)
A．－3　　
B．－1　　　　
C．1　　　　
D．3
(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．
【解析】　(1)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.
由复数相等的充要条件，得解得
故复数z的实部是1.
法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.
【答案】　(1)D　(2)1
复数的四则运算
复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数．
　(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)
A．－2　
B．－2i
C．2　　　
D．2i
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)
A．2＋3i　
B．2－3i
C．3＋2i　　　
D．3－2i
【精彩点拨】　(1)先求出及，结合复数运算法则求解．
(2)利用方程思想求解并化简．
【规范解答】　(1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.
(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.
【答案】　(1)C　(2)A
[再练一题]
2．已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为(　　)
A.＋i　　　　　
B．－i
C．－＋i
D．－－i
【解析】　因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.
【答案】　A
复数的几何意义
1.复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
　(1)在复平面内，复数对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为(　　)
A．(0，－1)
B．(0,1)
C.
D．
【精彩点拨】　先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．
【规范解答】　(1)复数＝＝＝＋i.
∴复数对应点的坐标是.
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.
(2)∵＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.
【答案】　(1)A　(2)A
[再练一题]
3．(1)已知复数z对应的向量如图4 1所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)
图4 1
(2)若i为虚数单位，图4 2中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)
图4 2
A．E　
B．F　　　
C．G　　　
D．H
【解析】　(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.
(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
【答案】　(1)A　(2)D
转化与化归思想
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．
　设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
【精彩点拨】　本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
【规范解答】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋＝＋i，
∵z＋∈R，∴y－＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1，
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数．
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
[再练一题]
4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
【解】　设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝x＋3＋yi.由已知，得
因为y≠0，
所以解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．
1．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝(　　)
A．－1＋2i
B．1－2i　　
C．3＋2i　　
D．3－2i
【解析】　由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴＝3＋2i，故选C.
【答案】　C
2．(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　)
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
【解析】　∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
【答案】　A
3．(2015·山东高考)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
【解析】　由已知得＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.
【答案】　A
4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)
A．－3
B．－2
C．2
D．3
【解析】　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.
【答案】　A
5．(2016·北京高考)复数＝(　　)
A．i
B．1＋i
C．－i
D．1－i
【解析】　＝＝＝i.
【答案】　A
6．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝(　　)
A．0
B．2
C．2i
D．2＋2i
【解析】　(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
【答案】　C
7．(2016·天津高考)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
【解析】　因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
【答案】　1
8．(2016·江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
【解析】　因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.
【答案】　5
章末综合测评(四)　数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈C，下列命题正确的是(　　)
A．3i<5i　　　　　　　
B．a＝0 |a|＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．a2≥0
【解析】　A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.
【答案】　B
2．i是虚数单位，则的虚部是(　　)
A.i　
B．－i　　　
C.　　　
D．－
【解析】　＝＝＝＋i.
【答案】　C
3.＝(　　)
A．2
B．2
C.
D．1
【解析】　由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
【答案】　C
4.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i　　　　　　
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
【解析】　法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi，∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，
∴b＝－1.故z＝1－i.
法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，
∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.
【答案】　D
5．复数的共轭复数为(　　)
A．－＋i
B.＋i
C.－i
D．－－i
【解析】　∵＝＝＝－＋i，
∴其共轭复数为－－i.故选D.
【答案】　D
6．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为(　　)
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
【解析】　∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题为p2，p4.
【答案】　C
7．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是(　　)
A．－2＋3i
B．－3－2i
C．2－3i
D．3－2i
【解析】　设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得∴
∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.
【答案】　B
8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
【解析】　要使复数不是纯虚数，则有
解得a≠－1.
【答案】　C
9．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】　复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，
又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，
－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
∴复数对应的点在第四象限．故选D.
【答案】　D
10．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，2)
B．(－2,2)
C．(－1,1)
D．(－，
)
【解析】　因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝<2，所以a2＋1<4，所以a2<3，即－【答案】　D
11．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3
B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1
D．b＝2，c＝－1
【解析】　因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
【答案】　B
12．设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
【解析】　∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
【答案】　3
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
【解析】　＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
【答案】　
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．
【解析】　a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.
【答案】　8
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
【答案】　2π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)；(2)＋2
016.
【解】　(1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋2016
＝＋1
008＝i(1＋i)＋1
008
＝－1＋i＋(－i)1
008＝－1＋i＋1＝i.
18．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．
【解】　由①得解得
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
所以
所以a＝1，b＝2.
19．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
【解】　(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
20．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【解】　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
21．(本小题满分12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2
，求点P对应的复数．
【解】　(1)证明：∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，
即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四点共圆．
(2)∵A(0，)，B(，－)，
∴＝(，－－)．
设P(x，y)，则＝(x，y－)，
若＝2
，那么(，－－)＝(2x,2y－2)，
∴
解得
∴点P对应的复数为＋i.
22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量O1，O2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求O1·O2的值．
【解】　由题意，得1＝－(10－a2)i，
则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2可以与任意实数比较大小，
所以1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以O1＝，O2＝(－1,1)．
所以O1·O2＝×(－1)＋1×1＝.
模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)
A．i　　
B．－i　　　　
C．1　　　　
D．－1
【解析】　因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.
【答案】　A
2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为(　　)
A．工序流程图
B．程序流程图
C．知识结构图
D．组织结构图
【解析】　由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．
【答案】　B
3．下列框图中，可作为流程图的是(　　)
A.→→
B.→→
C.→→→→→
D.
【解析】　流程图具有动态特征，只有答案C符合．
【答案】　C
4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是(　　)
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除
D．a，b有一个不能被5整除
【解析】　“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．
【答案】　B
5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为(　　)
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】　一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.
【答案】　C
6．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】　＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.
【答案】　B
7．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：
种子处理
种子未处理
总计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
总计
93
314
407
根据以上数据，则(　　)
A．种子经过处理跟是否生病有关
B．种子经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
【解析】　计算与可知相差很小，故选B.
【答案】　B
8．给出下面类比推理：
①“若2a<2b，则a②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“＝＋(c≠0)”；
③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；
④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．
其中结论正确的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】　①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.
【答案】　B
9．(2015·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图1，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(　　)
图1
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】　逐次运行程序，直至输出n.
运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062
5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062
5＝0.062
5，m＝0.031
25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031
25，m＝0.015
625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015
625，m＝0.007
812
5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007
812
5，m＝0.003
906
25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
【答案】　C
10．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为(　　)
A．3
B．－3
C．6
D．－6
【解析】　a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…，
观察可知{an}是周期为6的周期数列，故a33＝a3＝3.
【答案】　A
11．(2016·大同高二检测)设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.
【答案】　C
12．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：
平均气温/℃
－2
－3
－5
－6
销售额/万元
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y＝bx＋a的系数b＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为(　　)
A．34.6万元
B．35.6万元
C．36.6万元
D．37.6万元
【解析】　＝＝－4，
＝＝25，
所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．
因为b＝－2.4，
把样本中心点代入线性回归方程得a＝15.4，
所以线性回归方程为y＝－2.4x＋15.4.
当x＝－8时，y＝34.6.故选A.
【答案】　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
【解析】　z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
∴m2－m＝0，∴m＝0或1.
【答案】　0或1
14．在平面几何中，△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比|AE|∶|EB|＝|AC|∶|CB|(如图2①)，把这个结论类比到空间，如图2②，在三棱锥A?BCD中，平面CDE平分二面角A?CD?B且与AB相交于E，结论是__________________．
图2
【解析】　依平面图形与空间图形的相关元素类比，线段之比类比面积之比．
【答案】　S△ACD∶S△BCD＝AE2∶EB2
15．(2015·山东高考)执行下边的程序框图3，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．
图3
【解析】　当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13.
【答案】　13
16．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论________.
【解析】　由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴＝.
【答案】　＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2016·哈尔滨高二检测)设z＝，求|z|.
【解】　z＝＝，
∴|z|＝＝＝.
18．(本小题满分12分)给出如下列联表：
患心脏病
患其他病
总计
高血压
20
10
30
不高血压
30
50
80
总计
50
60
110
由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？
(参考数据：P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥7.879)＝0.005)
【解】　由列联表中数据可得
χ2＝≈7.486.
又P(χ2≥6.635)＝0.010，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系．
19．(本小题满分12分)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1(分别用综合法、分析法证明)．
【证明】　综合法：∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2，
∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)．
又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
∴2(ax＋by)≤2，∴ax＋by≤1.
分析法：
要证ax＋by≤1成立，
只要证1－(ax＋by)≥0，
只要证2－2ax－2by≥0，
又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
∴只要证a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0，
即证(a－x)2＋(b－y)2≥0，显然成立．
20．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．
【解】　某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：
21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：
广告支出x(单位：万元)
1
2
3
4
销售收入y(单位：万元)
12
28
42
56
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
【解】　(1)散点图如图：
(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a，b.
i
xi
yi
x
xiyi
1
1
12
1
12
2
2
28
4
56
3
3
42
9
126
4
4
56
16
224
于是＝，＝，
代入公式得：b＝＝＝，
a＝－b＝－×＝－2.
故y与x的线性回归方程为y＝x－2.
(3)当x＝9万元时，y＝×9－2＝129.4(万元)．
所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．
22．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4①，②，③，④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
图4
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
【解】　(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n f(n＋1)＝f(n)＋4n f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝
＝，
∴＋＋＋…＋
＝1＋·
＝1＋＝－.